常见概率分布概率密度函数、意义及其应用

1、目录1.均匀分布12.正态分布（高斯分布）23.指数分布24.Beta分布（分布）25.Gamma分布36.倒Gamma分布47.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布)58.Pareto分布69.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）710.分布（卡方分布）711.t分布812.F分布913.二项分布1014.泊松分布（Poisson分布）1015.对数正态分布111. 均匀分布均匀分布是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作。正态分布为方差已知的正态分布

2、的参数的共轭先验分布。3. 指数分布指数分布是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中为尺度参数。指数分布的无记忆性：。4. Beta分布（分布）Beta分布记为，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布中的参数p的先验分布取，实验数据（事件A发生y次，非事件A发生n-y次），则p的后验分布，即Beta分布为二项分布的参数p的共轭先验分布。5. Gamma分布Gamma分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”，记为。其中为形状参数，为尺度参数。Gamma分布为指数分布的参数、Pois

3、son分布的参数的共轭先验分布。6. 倒Gamma分布倒Gamma分布记为。若随机变量，则。其中为形状参数，为尺度参数。倒Gamma分布为指数分布的参数、均值已知的正态分布的参数的共轭先验分布。7. 威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布)威布尔分布记为。其中为形状参数，为尺度参数。当，它是指数分布；时，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。常用于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。8. Pareto分布Pareto分布记为。其中为门限参数，为尺度参数。Pareto分布是一种厚尾分布。Pareto分布为均匀分布的参数的共轭先验分

4、布。9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）Cauchy分布记为。其中为位置参数，为尺度参数。中位数，期望、方差都不存在。如果是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数服从同样的柯西分布。标准柯西分布是t分布的一个自由度。这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。10. 分布（卡方分布）设是来自的样本，则称统计量服从自由度为n的分布，记为。11. t分布设，且X，Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布。记为。当自由度时，t分布将趋于。有时样本量很小，不知道总体的标准偏差，则可以依赖t统计量（也称为t分数）的分布，其值由下式给出：，其中是样本均值，是总体均值，s

5、是样本的标准偏差，n是样本大小。12. F分布设，且U，V相互独立，则称随机变量服从自由度为的F分布，记为。设与分别是来自正态总体和的样本，且这两个样本相互独立。设，分别是这两个样本的样本均值；，分别是这两个样本的样本方差，则有；当时，其中。13. 二项分布二项分布十分好理解，给你n次机会抛硬币，硬币正面向上的概率为p，问在这n次机会中有k次（kn）硬币朝上的概率为多少。记为。当n足够大，且p不接近于0也不接近于1时，二项分布可用正态分布来近似。14. 泊松分布（Poisson分布）泊松分布解决的是“在特定一段时间里发生n个事件的概率”，记为。当二项分布满足时，二项分布近似为泊松分布。泊松分布当足够大时，变成正态分布。15. 对数正态分布对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。如果Y是正态分布的随机变量，则exp(Y)是对数正态分布；同样，如果X是对数正态分布，则ln(X)为正态分布，如果一个变量可以看成是许多很小独立因子的乘