广东省深圳市盐田区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东省深圳市盐田区八年级（上）期中数学试卷一、单选题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分）1．（3分）实数，，，2π，，|﹣3|，0.313113111…（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（3分）如图，已知OA＝OB，点A到数轴的距离为1，则数轴上B点所表示的数为（）A．﹣ B．﹣ C． D．3．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（）A．5m B．7m C．8m D．10m5．（3分）对于函数y＝﹣2x+3的图象，下列结论错误的是（）A．图象必经过点（1，1） B．图象经过第一、二、四象限 C．与x轴的交点为（0，3） D．若两点A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则y1＞y26．（3分）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图，则大圆柱形容器水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致（）A． B． C． D．7．（3分）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）A． B． C． D．8．（3分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm．把纸片沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则重叠部分△ACF的面积为（）A．5cm2 B．10cm2 C．15cm2 D．20cm2二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共计15分）9．（3分）﹣3是的立方根．10．（3分）直线y＝2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是．11．（3分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和n+1之间，则n的值是．12．（3分）△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD长为．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D、E分别是AB，BC上动点，且AD＝BE，连接CD，AE，则CD+AE的最小值是．三、解答题：（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）14．（5分）计算：．15．（7分）已知：a、b、c满足+|c﹣3|＝0．（1）求a、b、c的值；（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状；若不能构成三角形，请说明理由．16．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是（﹣2，0）．（1）点A的坐标是，点C的坐标是；（2）请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；（点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应）（3）y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小．则PA+PC的最小值是．17．（8分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺，BE⊥OA于E），此时踏板升高离地五尺（EC＝BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．18．（9分）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水x吨，应交水费y元．（1）若0＜x≤8，请写出y与x的函数关系式．（2）若x＞8，请写出y与x的函数关系式．（3）如果该户居民这个月交水费23元，那么这个月该户用了多少吨水？19．（12分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝，其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．（1）利用材料1解决下面的问题：当，b＝3，时，求这个三角形的面积？（2）利用材料2解决下面的问题：已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC．①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度；②若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．20．（12分）综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A，B，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线AB上的一个动点．（1）求直线BC的表达式与点C的坐标；（2）如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线AB上是否存在点P，使PQ＝BC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

2024-2025学年广东省深圳市盐田区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共计24分）1．（3分）实数，，，2π，，|﹣3|，0.313113111…（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫无理数，即可解答．【解答】解：实数，，，2π，，|﹣3|，0.313113111…（每两个3之间依次多一个1）中，是无理数的有：，，2π，0.313113111…（每两个3之间依次多一个1），∴无理数的个数是4个，故选：C．2．（3分）如图，已知OA＝OB，点A到数轴的距离为1，则数轴上B点所表示的数为（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】根据勾股定理求出OA的长，然后根据数轴与实数的关系解答．【解答】解：∵OA＝OB＝，∴B点所表示的数为﹣．故选：A．3．（3分）下列运算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D选项进行判断．【解答】解：A．+＝2，所以A选项不符合题意；B．4﹣＝3，所以B选项不符合题意；C．÷＝＝2，所以C选项不符合题意；D．×＝＝，所以D选项符合题意．故选：D．4．（3分）如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高（）A．5m B．7m C．8m D．10m【分析】在折断的大树与地面构成的直角三角形中，由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出大树折断之前的高度．【解答】解：如图；．在Rt△ABC中，AB＝3米，BC＝4米，由勾股定理，得：AC＝＝5米，∴AC+AB＝3+5＝8（米），即大树折断之前有8米高．故选：C．5．（3分）对于函数y＝﹣2x+3的图象，下列结论错误的是（）A．图象必经过点（1，1） B．图象经过第一、二、四象限 C．与x轴的交点为（0，3） D．若两点A（1，y1），B（3，y2）在该函数图象上，则y1＞y2【分析】A．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数y＝﹣2x+3的图象必过点（1，1）；B．由k＝﹣2＜0，b＝3＞0，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限；C．利用x轴上一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴的交点为（，0）；D．由k＝﹣2＜0，可得出y随x的增大而减小，结合1＜3，可得出y1＞y2．【解答】解：A．当x＝1时，y＝﹣2×1+3＝1，∴一次函数y＝﹣2x+3的图象必过点（1，1），选项A不符合题意；B．∵k＝﹣2＜0，b＝3＞0，∴一次函数y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；C．当y＝0时，﹣2x+3＝0，解得：x＝，∴一次函数y＝﹣2x+3的图象与x轴的交点为（，0），选项C符合题意；D．∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（1，y1），B（3，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，且1＜3，∴y1＞y2，选项D不符合题意．故选：C．6．（3分）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图，则大圆柱形容器水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致（）A． B． C． D．【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出大圆柱形容器水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象．【解答】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，开始时大圆柱形容器水面的高度为0，故选项A不符合题意；用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h随t的增大而增大；当注入大圆柱形容器的水面高度到达小水杯的高后，开始向小杯中流水，这段时间h不变，故选项D不符合题意；当水注满小杯后，大圆柱形容器水面的高度h随t的增大而增大，且增加的速度比原来慢，故选项B不符合题意，选项C符合题意．故选：C．7．（3分）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为线段可以得出结论．【解答】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，∵圆柱的底面直径为AB，∴点B是展开图的一边的中点，∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，∴C选项符合题意，故选：C．8．（3分）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，AD＝4cm．把纸片沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则重叠部分△ACF的面积为（）A．5cm2 B．10cm2 C．15cm2 D．20cm2【分析】观察图形，要求折叠后重合部分的面积，即求△CAF的面积，已知CF边上的高DA的长度，故只需求出CF的长度即可；△ABC沿CA折叠得到△AEC，易知△ABC≌△AEC，由全等三角形的性质可知∠CAB＝∠CAE，而CD与AB是平行的，提示至此，相信你可以由勾股定理在△DAF中求出AF（即CF）的长度了．【解答】解：∵△ABC沿CA折叠得到△ACE，∴△ABC≌△AEC，∴∠CAB＝∠CAE．∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，∴CD∥AB，CD⊥DA，AD＝BC＝4，AB＝CD＝8．∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB．∵∠CAB＝∠CAE，∠DCA＝∠CAB，∴∠CAE＝∠DCA，∴CF＝AF．在Rt△DAF中，AD＝4，DF＝CD﹣CF＝8﹣CF，AF＝CF，∴（8﹣CF）2+42＝CF2，解得CF＝5．∵CF＝5，AD＝4，CD⊥DA，∴S△CAF＝×CF×DA＝10（cm2）．故选：B．二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共计15分）9．（3分）﹣3是﹣27的立方根．【分析】利用立方根定的义解答即可．【解答】解：﹣3是﹣27的立方根，故答案为：﹣27．10．（3分）直线y＝2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（2，0）．【分析】由平移的规律“上加下减”找出平移后直线的解析式，再令该解析式中y＝0求出x的值即可得出结论．【解答】解：直线y＝2x+2沿y轴向下平移6个单位后的解析式为y＝2x+2﹣6＝2x﹣4，令y＝2x﹣4中y＝0，则2x﹣4＝0，解得：x＝2．∴直线y＝2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（2，0）．故答案为：（2，0）．11．（3分）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数n和n+1之间，则n的值是1．【分析】根据二次根式的范围解答即可．【解答】解：∵≈2.236，∴，∴，即﹣1介于整数1和2之间，∴n＝1，故答案为：1．12．（3分）△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD长为．【分析】利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度．【解答】解：如图，由勾股定理得AC＝＝，∵S△ABC＝BC×2＝AC•BD，∴×2×2＝×BD，∴BD＝．故答案为：．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，点D、E分别是AB，BC上动点，且AD＝BE，连接CD，AE，则CD+AE的最小值是4．【分析】作BF⊥AB，使点F与点A在直线BC的异侧，且BF＝AC＝12，连接AF、EF，可证明△EBF≌△DAC，由∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，求得AB＝20，由FE+AE≥AF，且FE＝CD，AF＝＝4，得CD+AE≥4，则CD+AE的最小值为4，于是得到问题的答案．【解答】解：作BF⊥AB，使点F与点A在直线BC的异侧，且BF＝AC＝12，连接AF、EF，∵∠ABF＝∠ACB＝90°，∴∠EBF＝∠DAC＝90°﹣∠ACB，在△EBF和△DAC中，，∴△EBF≌△DAC（SAS），∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16，∴AB＝＝＝20，∵FE+AE≥AF，且FE＝CD，AF＝＝＝4，∴CD+AE≥4，∴CD+AE的最小值为4，故答案为：4．三、解答题：（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）14．（5分）计算：．【分析】先根据乘方的意义、平方根和立方根的定义，计算乘方和开方，再算加减即可．【解答】解：原式＝＝＝．15．（7分）已知：a、b、c满足+|c﹣3|＝0．（1）求a、b、c的值；（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请判断三角形的形状；若不能构成三角形，请说明理由．【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据等腰三角形的概念求解即可．【解答】解：（1）∵，∴，b﹣6＝0，，∴，b＝6，；（2）∵1＜2＜9，∴，即，∴，∴以a、b、c为边能构成三角形，∵，b＝6，∴a2+c2＝b2，∴三角形的形状是等腰直角三角形．16．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形），点B的坐标是（﹣2，0）．（1）点A的坐标是（﹣5，4），点C的坐标是（﹣1，2）；（2）请作出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′；（点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应）（3）y轴上存在点P，使得PA+PC的值最小．则PA+PC的最小值是．【分析】（1）由图可得答案．（2）根据轴对称的性质作图即可．（3）取点C关于y轴的对称点C''，连接AC''交y轴于点P，此时PA+PC的值最小，为AC''的长，利用勾股定理计算即可．【解答】解：（1）由图可得，A（﹣5，4），C（﹣1，2）．故答案为：（﹣5，4）；（﹣1，2）．（2）如图，△A′B′C′即为所求．（3）取点C关于y轴的对称点C''，连接AC''交y轴于点P，连接CP，此时PA+PC＝PA+PC''＝AC''，为最小值，由勾股定理得，AC''＝＝，∴PA+PC的最小值是．故答案为：．17．（8分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺，BE⊥OA于E），此时踏板升高离地五尺（EC＝BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．【分析】设OA＝OB＝x尺，用x表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5，则秋千绳索的长度为14.5尺．18．（9分）我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水x吨，应交水费y元．（1）若0＜x≤8，请写出y与x的函数关系式．（2）若x＞8，请写出y与x的函数关系式．（3）如果该户居民这个月交水费23元，那么这个月该户用了多少吨水？【分析】（1）当0＜x≤8时，根据“每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元”，得出水费＝用水量×1.5，即可求出y与x的函数关系式；（2）当x＞8时，根据“每户每月的用水不超过8吨时，水价为每吨1.5元，超过8吨时，超过的部分按每吨2.2元收费”，得出水费＝8×1.5+（用水量﹣8）×2.2，即可求出y与x的函数关系式；（3）经分析，当0＜x≤8时，y≤12，由此可知这个月该户用水量超过8吨，将y＝23代入（2）中所求的关系式，求出x的值即可．【解答】解：（1）根据题意可知：当0＜x≤8时，y＝1.5x；（2）根据题意可知：当x＞8时，y＝1.5×8+2.2×（x﹣8）＝2.2x﹣5.6；（3）∵当0＜x≤8时，y＝1.5x，y的最大值为1.5×8＝12（元），12＜23，∴该户当月用水超过8吨．令y＝2.2x﹣5.6中y＝23，则23＝2.2x﹣5.6，解得：x＝13．答：这个月该户用了13吨水．19．（12分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝，其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．（1）利用材料1解决下面的问题：当，b＝3，时，求这个三角形的面积？（2）利用材料2解决下面的问题：已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC．①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度；②若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．【分析】（1）根据海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，，代入值即可求出三角形的面积；（2）①依据△ABC三条边的长度分别是，，，即可得到当x＝2时，△ABC的最长边的长度；②依据根式有意义可得﹣1≤x≤4，进而化简得到△ABC的周长，由于x为整数，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出△ABC的面积．【解答】解：（1）当，b＝3，时，＝＝，∴p﹣a＝﹣＝，p﹣b＝﹣3＝，p﹣c＝﹣2＝，∴p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）＝×××＝×＝9×1＝9，∴＝＝3，∴三角形的面积为3；（2）①当x＝2时，＝，＝3，＝4﹣（）2＝4﹣2＝2，故△ABC中最长边的长度为3；②∵x+1≥0，4﹣x≥0，∴﹣1≤x≤4．∵4﹣（）2＝4﹣（4﹣x）＝x，三角形的边为正值，∴x＞0，∴0＜x≤4．∴＝5﹣x，4﹣（）2＝4﹣（4﹣x）＝x，∴C△ABC＝++＝+5﹣x+x＝+5，∵C△ABC＝+5（﹣1