大作业2—城市居民食品分类及零售价格预测

1、第四届文鼎创杯华中地区大学生数学建模邀请赛题目：城市居民食品分类及零售价格预测摘 要本文第一部分是关于城市居民消费食品的分类问题，根据武汉市2010年3月2011年3月的食品零售价格数据，建立谱系聚类分析模型，即模型一，采用欧式距离平方统计分析的方法，应用“SPSS17.0”统计分析软件，得出了一种食品分类方式，并分析了每类食品的特点。本文第二部分是关于居民食品零售价格的预测问题，从时间序列和灰色系统两个视角解决该问题，建立了两个预测模型。模型二：这里时间序列理解为食品价格按照时间顺序排列而成的一组观测值，它由食品价格在不同时间上的观测值和食品价格所属的时间构成，并认为不同年份在同一月份时间段

2、内的变化率相同，建立逐期增长量模型，用2010年4、5月份的价格环比增长率预测出了2011年4、5月的食品零售价格，并利用Matlab程序对模型进行了计算和分析。模型三：基于模型，即一个变量一阶灰色预测模型，引入其基本形式，是一个近似的差分微分方程，因其具有微分、差分、指数兼容的性质，将系统看成一个随时间而变化的函数。在此模型的基础上讨论食品零售价格走势，进行最小二乘估计，根据已知数据算得模型系数，由此预测出了2011年4、5月份武汉市居民食品零售价格，并对预测结果与已有数据进行了误差分析。根据所建立的两个预测模型，对最后得到的两组结果进行了比对，最后对研究合理的规范性做了充分和必要的论证。

3、本文第三部分是对于武汉市居民食品零售价格情况的分析，并通过市场价格基本态势的预测，显示出4、5月蔬菜价格受春节节日效应消褪和三月份回落影响，整体呈回落态势，市场供需情况较为平衡等。根据所得结果，可以帮助有关部门在保证民生和稳定物价等方面制定出合理的应对方案。1 问题的提出消费者物价指数（Consumer Price Index），英文缩写为CPI，也称消费价格指数，是反映与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标，是与人民生活密切相关的参考指标。而城市居民食品零售价格是消费者物价指数的重要组成部分，权威机构研究认为粮食生产、流通成本上涨一定会带动农

4、产品价格总体上涨，特别是2011年异常的气候情况，导致生产成本大量增加，国际粮价对国内供需的影响，食品价格未来可能发生上涨。刚公布3月份的CPI增幅达5.4%，创32个月来的新高，这使得年内的通货膨胀压力正在增强，对于国民经济的发展非常不利的。（1）若能根据一定时间段内部分食品的零售价格信息，建立恰当的数学模型对食品进行分类，并分析每类食品的特点，这对于更好地保障民生、发展经济显得格外重要；（2）若能根据在给定时间段内部分食品的零售价格信息，准确预测未来几个月城市居民食品零售价格走势，十分利于政府采取一定的措施，防止因价格的过快增长而产生的危机；（3）若能对于城市居民食品零售价格的情况进行分析

5、，同时对有关部门提出相关的建议，这些对于稳定人民的生活十分迫切。2 问题的分析对于问题1，根据附录（数据为城市居民经常购买的42种不同类别食品，在2010年3月5日2011年3月25日期间，每隔10天给出的食品的零售价格）所给出的城市居民食品零售价格数据，进行更近一步分析，发现要得出食品的适当分类，必须先对数据进行统一的标准化处理，再采用“SPSS17.0”统计分析工具1，进行谱系聚类分析得到聚类树形图，最后对于分析的结果进行检算。对于问题2，根据附录数据进行的可视化图表分析，发现在给定的时间段内，根据统计学的时间序列分析2，建立相应的预测模型，对于该预测模型采用Matlab软件进行计算，但是

6、这样做有失完整性，故在时间序列预测模型的基础上可以考虑更好的预测模型，首先想到的预测方法便是灰色预测法，可以继续采用Matlab软件4进行计算和误差检验。对于问题3，在对附录数据进行更进一步的分析后，在参考前两问的基础上，可以利用主成分分析对数据进行研究，以及找出影响物价大幅度变化的因素和得出相应的结论。从而提出对于相关部门提出一定的建议，可以使得有关部门在保证民生和稳定物价方面做出合理的措施，同时这些建议和意见也必须具有可操作性。3 模型的假设(1)各食品价格会受到多种因素的影响；(2)各食品变量间彼此独立；(4)两年相应月份影响价格变化率的因素相同；(5)所用数据稳定，无奇异数据。4 符号

7、说明符号说明食品食品食品、之间的距离符号说明食品类食品类数量食品类数量类和之间的距离每个食品指标量食品个数欧氏距离欧氏距离平方两两之间距离构成的对称矩阵是一个阶对称阵表示现象所属的时间 表示现象在不同时间上的观测值称为最初发展水平称为最末发展水平整个观测期内的发展水平与参照基期观测期内增长的绝对数量环比增长速度原始价格序列为一阶累加序列的紧邻均值序列值为发展系数， 反映模拟值的未来发展情况为灰色作用量准光滑条件系数准指数规律系数相对误差值5 模型的建立和求解5.1 问题一模型的建立与求解5.1.1 模型一的建立本文就食品聚类予以讨论，并为简单起见，以、等分别表示食品，,以表示食品、之间的距离，

8、用和表示两个类，它们所包含的食品个数分别记为和，类和之间的距离用表示。先就食品聚类予以讨论，为简单起见，以食品间的“相近性”度量距离设每个食品有个指标，它们的观测值可表示为：这时，每个食品可看成维空间中的一个点，个食品就组成组空间中的个点，很自然地用各点之间的距离来衡量各食品之间的靠近程度。在聚类分析中，有时所用的距离并不满足(三角不等式)，在广义的角度上仍称它为距离。为此，引入Euclidean distance（欧氏距离）： （1）Squared Euclidean distance（欧氏距离平方）： （2）在考虑实际情况后，本文模型一采用Squared Euclidean distanc

9、e（欧氏距离平方）模型，区组间联结为主要影响因素。5.1.2 模型一的求解步骤欧氏距离在型聚类中是比较常见的，但当指标的测量值相差悬殊时，应先对数据进行标准化，然后再用标准化的数据计算距离，具体求解步骤如下：令： （3） （4） （5）对数据的标准化采用以下方法： （6） （7）这里不考虑个指标的相关性问题。有了食品之间的距离以及类与类之间距离的定义后，便可进行谱系聚类，其基本步骤归纳如下：1.个食品一开始就作为个类，计算两两之间的距离构成一个对称矩阵,其对角线上的元素全为零(对相似系数矩阵，其对角线上元素全为1)。显然，此时有,记。2.选择中对角线元素的下三角部分（或上三角部分）中的最小元素

10、，设其为，则将与合并成一个新类。在中划去与所对应的两行与两列，并加入由新类与剩下的未聚合的各类之间的距离所组成的一行和一列，得到一个新的距离矩阵，是一个阶对称阵（若在中最小元素不唯一，对其它的最小元素也作如上相同处理，每合并两类，矩阵则降低一阶）。3.由出发，重复步骤2得到对称矩阵，从出发得到，依次类推，直到个食品聚为一个大类为止，经“SPSS17.0” 3进行分析后，得出表5-1食品聚类表。表 5-1： 食品聚类表群集成员案例18 群集17 群集16 群集15 群集14 群集13 群集12 群集11 群集10 群集9 群集8 群集7 群集6 群集1:菜籽油 11111111111112:大豆

11、油 11111111111113:花生油 22222222222224:大豆调和油 33333333333335:鲜猪肉(精瘦) 44444444444446:鲜猪肉(肋条) 55555555555557:鲜牛肉 66666666666668:鲜羊肉(去骨) 77777777777669:鲜羊肉(带骨) 888888886666610:活鸡 999999444444411:鸡肉 101010555555555512:鸡蛋 111111101010998887113:带鱼 12121211111110109955514:草鱼 111111111111115:鲤鱼 111111111111116:

12、芹菜 131313121210998887117:大白菜 141414131312111110887118:油菜 151514131312111110887119:黄瓜 131313121210998887120:萝卜 141414131312111110887121:茄子 161111101010998887122:西红柿 131313121210998887123:土豆 131313121210998887124:胡萝卜 131313121210998887125:青椒 131313121210998887126:尖椒 1716151414131211111127:圆白菜 14141413

13、1312111110887128:豆角 1716151414131211111129:蒜苔 1817161511111111130:韭菜 131313121210998887131:芦柑 131313121210998887132:苹果 111111111111133:香蕉 131313121210998887134:西瓜 131313121210998887135:豆腐 131313121210998887136:食用盐 141414131312111110887137:绵白糖 555555555555538:白砂糖 111111111111139:红糖 181716151111111114

14、0:酱油 111111111111141:醋 161111101010998887142:鲜牛奶 16111110101099888714.在合并过程中记下两类合并时食品的编号以及合并两类时的距离或相似系数的大小(我们称之为水平)，并绘成聚类的谱系图，然后可根据市场、气候等背景和要求选定相应的临界水平确定出类的个数，经过分析得到群集数图5-1：图5-1 谱系聚类聚集数进一步分析，得到食品聚类谱系图5-2： 图5-2 食品聚类谱系图结论：在分析所有的分类后，发现在分为7类后较合适，分类结果为：第一类：菜籽油，大豆油，草鱼，鲤鱼，尖椒，豆角，蒜苔，苹果，白砂糖，红糖，酱油；第二类：花生油；第三类：

15、大豆调和油第四类：鲜猪肉（精瘦），活鸡；第五类：鲜猪肉（肋条），鸡肉，带鱼，绵白糖；第六类：鲜牛肉，鲜羊肉(去骨)，鲜羊肉(带骨)；第七类：鸡蛋，芹菜，大白菜，油菜，黄瓜，萝卜，茄子，西红柿，土豆，胡萝卜，青椒，圆白菜，韭菜，芦柑，苹果，香蕉，西瓜，豆腐，食用盐，醋，鲜牛奶。5.2 问题二模型的建立与求解5.2.1.1模型二的建立时间序列模型时间序列式同一现象按照时间顺序排列而成的一组观测值，它由两部分构成：现象在不同时间上的观测值和现象所属的时间。现象的观测值根据表现形式的不同有绝对数、相对数和平均数等，因此时间序列可以分为绝对数时间序列、相对数时间序列和平均数时间序列。对于本文，每月的零售

16、商品价格是绝对数时间序列，价格消费指数就是相对数时间序列，由绝对数时间序列可以派生出相对数时间序列和平均数时间序列。时间析序列分的第一步通过作图来观察数据碎时间变化的规律，然后在此基础上展开分析和建模。时间序列中，令表示现象所属的时间，表示现象在不同时间上的观测值，也称为发展水平。设的取值为，相应的发展水平为，则称为最初发展水平，称为最末发展水平。若将整个观测期内的发展水平与参照基期的发展水平做对比，则对应的发展水平称为基期发展水平；而分析研究的其他时期称为报告期，所对应的指标值称为报告期发展水平。图5-3 各食品价格随时间变化增长量用来描述现象在观测期内增长的绝对数量，由报告期发展水平减去基

17、期发展水平得到。根据基期的不同选择，增长量分为逐期增长量和累计增长量。设时间序列观测值为，增长量为，其计算公式为：逐期增长量 ， （8）累计增长量 ， （9）根据基期的不同选择，增长速度可以分为环比增长速度和定基增长速度，这选用环比增长速度进行计算设时间序列观测值为，增长速度为，其计算公式为：环比增长速度 ， （10）5.2.1.2时间序列模型求解根据在2010年4月至5月的数据利用环比增长速度 可以得到在2011年4月至5月的预测价格。食品种类日期2011.4.052011.4.152011.4.252011.5.052011.5.152011.5.25菜籽油散装元/500克5.935.93

18、5.935.875.875.87大豆油散装元/500克5.585.585.565.535.535.53花生油一级桶装元/5升116.85116.85116.88116.88116.88118.73大豆调和油一级桶装元/5升62.1062.4062.3761.9461.6362.05鲜猪肉精瘦肉元/500克13.2013.7613.5313.5513.6213.28鲜猪肉肋条肉元/500克9.389.449.549.539.599.59鲜牛肉新鲜去骨元/500克18.5618.3118.2818.3418.5418.54鲜羊肉新鲜去骨元/500克21.4921.3321.2321.2321.23

19、21.23鲜羊肉新鲜带骨元/500克19.1419.0618.9418.9218.9218.92活鸡活肉鸡1-1.5公斤元/500克11.3411.1011.2511.7011.7212.06鸡肉白条鸡、开膛 上等元/500克8.078.247.997.817.537.48鸡蛋新鲜完整 鸡场蛋元/500克4.234.244.224.304.244.26带鱼冻 250克左右元/500克10.179.889.639.389.078.99草鱼活1000克左右一条元/500克5.185.185.125.135.045.045.2.2.1模型三的建立随着社会的不断进步和现代化建设的日益发展，人们在土地规

20、划、经济决策、大型工程施工及安全监测、灾情预报等方面都越来越离不开科学的预测方法， 好的预测方法和科学的预测成果无疑能对上述工作提供帮助， 减少不必要的损失， 而用于预测的方法很多， 在众多的预测方法中， 较好的预测方法是灰色预测法5， 这已被许多专家和学者认同。本文在结合附录数据无规律的变化情况下，由于不涉及到其它外生变量，因此考虑灰色系统理论下的模型，只从系统的背景序列对未来的食品零售价格趋势进行预测。假设原始价格序列为，将附录中每10天给出的均价作为一个值，因此每个商品有39个价格值： ， （11）则模型的基本形式为: ， （12）其中: 为一阶累加序列的紧邻均值序列; 值为发展系数，

21、反映模拟值的未来发展情况; 为灰色作用量，反映数据变化的关系，其确切内涵是灰的。对于每一种食品，均建立模型，采用建立的模型进行未来4和5月的价格预测，此时。5.2.2.2 模型的求解对于每一种食品建立的模型，分别去求，在求出时间响应式： （13）继续对于求出的的模拟值，由： （14）对于进行还原，再对于还原的结果采用相对误差进行误差检验，最后根据所求的时间响应式，将，代入继续求得的模拟值，还原求出的模拟值，即可。下面取第一种食品菜籽油进行举例分析，其它食品的计算均按照第一种计算即可：第一步：先取菜籽油生成序列， （15）再对作，得: （16）图5-4 菜籽油价格走势图第二步：对作准光滑性检验。

22、由： （17）得：，当 时，准光滑条件满足。第三步：检验是否具有准指数规律。由 （18）得：，当 时，准指数规律满足，故可对建立模型。第四步：对作紧邻均值生成。令： （19）得： ， （20）第五步：对参数列进行最小二乘估计。得： （21）第六步：确定模型： （22）及时间响应式，将代入得 （23）第七步：求的模拟值 （24）第八步：还原求出的模拟值。由式（14）可得：第九步：检验误差 （25）第十步：对4、5月份的价格进行预测中，将代入得到：根据式（14）：，还原，同时再减去误差积累值，求出在4、5月份的价格预测值如表5-1：表5-1 菜籽油4、5月份的预测价格食品种类计量单价预测价格201

23、1/4/52011/4/152011/4/252011/5/52011/5/152011/5/25菜籽油散装元/500克6.0426.0926.1426.1936.2446.296从而利用Matlab（源代码见附录二）求出的所有食品价格预测：表5-2 所有食品4、5月份的预测价格食品种类计量单价预测价格2011/4/52011/4/152011/4/252011/5/52011/5/152011/5/25菜籽油散装元/500克6.0426.0926.1426.1936.2446.296大豆油散装元/500克5.6945.7485.8035.8585.9145.970花生油一级桶装元/5升119

24、.523120.340121.162121.990122.823123.662大豆调和油一级桶装元/5升62.55563.07963.60764.14064.67865.220鲜猪肉精瘦肉元/500克14.11814.22814.33814.44914.56114.674鲜猪肉肋条肉元/500克10.45810.58710.71810.85010.98411.120鲜牛肉新鲜去骨元/500克17.98218.03918.09618.15418.21218.269鲜羊肉新鲜去骨元/500克21.44421.63721.83222.02922.22722.427鲜羊肉新鲜带骨元/500克18.97

25、319.13519.30019.46519.63219.800活鸡活肉鸡1-1.5公斤元/500克12.35912.42912.50012.57112.64312.715鸡肉白条鸡、开膛 上等元/500克8.4868.4948.5038.5128.5218.530鸡蛋新鲜完整 鸡场蛋元/500克4.8514.9034.9545.0075.0605.113带鱼冻 250克左右元/500克9.1419.1369.1309.1249.1199.113草鱼活1000克左右一条元/500克5.7995.8205.8425.8645.8855.907鲤鱼活500克以上一条元/500克5.9155.9315

26、.9475.9635.9795.995芹菜新鲜一级元/500克3.2063.2393.2713.3053.3383.372大白菜新鲜一级元/500克0.7770.7620.7480.7330.7190.705油菜新鲜一级元/500克1.4641.4511.4371.4241.4121.399黄瓜新鲜一级元/500克2.5762.6042.6322.6612.6902.719萝卜新鲜一级元/500克0.9470.9480.9490.9500.9500.951茄子新鲜一级元/500克3.0183.0213.0233.0263.0293.031西红柿新鲜一级元/500克3.0603.0853.109

27、3.1343.1593.184土豆新鲜一级元/500克2.4032.4262.4502.4742.4982.522胡萝卜新鲜一级元/500克1.9491.9521.9551.9581.9611.964青椒新鲜一级元/500克3.1893.2203.2523.2833.3153.347尖椒新鲜一级元/500克5.2155.2605.3065.3535.4005.447圆白菜新鲜一级元/500克1.5371.5521.5671.5831.5981.614豆角新鲜一级元/500克5.1625.2325.3035.3765.4495.523表5-3 各食品相对误差分析表:食品种类误差及日期2010/3

28、/52010/3/152010/3/252010/4/52010/4/152010/4/252010/5/5菜籽油散装0.0840.0700.0630.0550.0470.0390.011大豆油散装0.0860.0730.0640.0550.0460.0300.009花生油一级桶装0.0350.0280.0210.0150.0080.002-0.005苹果红富士 一级0.1330.0900.0340.025-0.008-0.021-0.082豆腐无包装0.0090.0070.0050.0030.000-0.002-0.004酱油当地主销 瓶装 500ml0.0040.0040.004-0.00

29、20.0030.0070.003醋当地主销 瓶装 500ml0.0190.0250.0250.0260.0260.0270.028鲜牛奶当地主销(袋装)0.0160.0140.0120.0110.0090.0080.0065.3问题三基于城市居民食品零售价格情况给有关部门的建议：尊敬的食品相关管理机构及部门领导：经分析，可以看出4、5月蔬菜价格受春节节日效应消褪影响，整体呈回落态势，市场供需情况较为平衡，蔬菜日交易量也较春节2月份期间稳定增加，一些大陆蔬菜品种如小白菜、茄子、黄瓜、莲藕、西红柿等品种降幅都超过一成，4、5月青椒价格涨幅较大，主要是薄皮青椒产地收购价格高，青椒市场需求量又较大，因

30、此批零终端都居高不下。我们预计随着四月气温的稳定上升，蔬菜种植将逐渐走出“春淡传统”效应影响，本地蔬菜上市量将增加，会拉动蔬菜市场价格呈小幅下降态势。本月粮油市场价格基本保持稳中温和上行态势，其中粮食价格的上涨主要还是由于国家2、3月份公布提高稻谷收购价的政策效应影响，进入月底，粮食批零价格上涨态势放缓，市场逐步恢复稳定，但受国际市场粮食价格依然高位运行以及国内通胀预期较高的影响，今后一段时间内，粮食价格仍然会保持缓和上行态势。食用油在进入传统消费淡季后，仍然呈高位运行态势，主要由于当前国际油脂期货价格仍然居高不下，而我国油脂压榨原料对外依存度较高，因此后期食用油价格下降可能性不大，基本在当前

31、价位小幅波动运行。猪肉价格在经历了春节期间高位运行期后，4、5月价格稳中回落，猪肉市场零售价格跌幅高于生猪收购价跌幅，主要是当前猪肉消费量较春节期间有所下降，而生猪收购价受饲料以及人工成本等因素影响，仍然保持高位坚挺运行态势，预计后期猪肉价格涨跌幅不会太大，基本保持当前价位。为保障4、5月份期间市场价格基本稳定，进一步规范市场价格秩序，营造良好的节日消费环境，市物价局需出台一些政策，应当加强市场价格监管，维护好广大经营者和消费者的合法权益。根据我们研究，具体地来说，要做好4、5月份市场价格监管，首先要加强价格监测，掌握市场动态。密切关注粮油、蔬菜、肉禽蛋奶、食用盐等居民基本生活必需品等价格的变

32、动情况，及时分析变动原因，把握变动趋势。针对节日消费的特点，结合当前监管工作的重点，加强市场流通领域的价格行为监管。今年以来，市场物价上涨的压力明显，消费者心理价格承受能力比较脆弱。价格是国民经济的综合反映，需要多部门综合施策，地方政府在稳定物价上要有所作为。一是要保障低收入群众的生活，在低收入群众的生活救助上反应要灵敏，措施不要滞后。二是要发挥价格调节的作用，要充分运用价格调节基金平抑市场，稳控物价。此致敬礼！某数学建模深资研究小组2011年5月3日6研究规范合理性的讨论（1）时间序列分析预测模型是根据市场过去的变化趋势预测未来的发展，它的前提是假定事物的过去会同样延续到未来。事物的现实是历

33、史发展的结果，而事物的未来又是现实的延伸，事物的过去和未来是有联系的。市场预测的时间序列分析法，正是根据客观事物发展的这种连续规律性，运用过去的历史数据，通过统计分析，进一步推测市场未来的发展趋势。市场预测中，事物的过去会同样延续到未来，其意思是说，市场未来不会发生突然跳跃式变化，而是渐进变化的。（2）通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述，结合该灰色预测模型的原理特点，是可行的。7模型的优缺点分析（1）针对预测建立的灰色模型，具有原始数据需求量小、对分布规律性要求不严、预测精度较高等优点。（2）时间序列预测法因突出时间序列而很少考虑外界因素影响，因

34、而存在着预测误差的缺陷。（3）对于模型在预测价格时，可以采用残差模型，来进一步降低相对误差，对原来的模型进行修正，以提高精度。参考文献1.金勇进，统计学，北京：中国人民出版社，2010。2.梅长林，周家良，实用统计方法，北京：科学出版社，2002。.3.何源等，SPSS统计分析，北京：人民邮电出版社，2010。.4.周燕等，Matlab在统计与工程数据分析中的应用，北京：电子工业出版社，2010。5.刘思峰，灰色系统与建模，开封：科学出版社，2004。周燕等，Matlab在统计与工附 录一、 时间序列Matlab源程序clc;avg=;sum=;for j=1:42for k=1:6for i

35、=k:k+1 sum(j，k)=0; sum(j，k)=sum(j，k)+(p10(j，i+1)-p10(j，i)/p10(j，i);endendendavg=sum./2;fcast1=base;for n=1:42 for g=1:6fcast1(n，g+1)=fcast1(n，g)*(avg(n，g)+1);endend二、单价预测Matlab源程序clc;x=;for i=1:42x(i，1)=data(i，1);endfor j=1:42for i=2:39 x(j，i)=x(j，i-1)+data(j，i);endendz=;for k=1:42for i=1:38 z(k，i)=0.5*(x(k，i)+x(k，i+1);endendone=;for i=1:38 one(end+1)=1;endB=;Y=;a=;b=;for g=1:42for j=1:38 Y(j，1)=data(g，1+j);