2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义（教、学案） 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（教、学案）

1、 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义一、教材分析 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二教学目标1了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。三、教学重点难点重点： 1、平面向量数量积的

2、含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1实验法：多媒体、实物投影仪。2学案导学：见后面的学案。3新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习六、课前准备1学生的学习准备：预习学案。2教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学

3、具有了针对性。（二）情景导入、展示目标。创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型概念性质运算律应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 （三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念sf1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力f的作用下产生位移s，那么力f所做的功：w= |f|

4、|s| cos。 （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：w（功）是 量，f（力）是 量，s（位移）是 量，是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1） 数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 bcos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：= cos（2）定义说明：记法“”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数

5、量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。（4）学生讨论，并完成下表：的范围090=900180的符号例1 ：已知，当，与的夹角是60时，分别求.解：当时，若与同向，则它们的夹角，cos036118；若与反向，则它们的夹角180，cos18036（-1）18；当时，它们的夹角90，；当与的夹角是60时，有cos60369评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当时，有0或180两种可能. 变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把cos（cos

6、）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：ob1=cos2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积等于的长度与在的方向上的投影cos 的乘积。 3. 研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较与的大小，你有什么结论？ 设和b都是非零向量，则 1、 =0 2、当与同向时，=；当与反向时，= -， 特别地，=2或= 3、2、明晰：数量积的性质3.数量积的运算律 （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？预测：学生可能会提出以下猜想： = （）= () （

7、 + ） = + （2）、分析猜想：猜想的正确性是显而易见的。关于猜想的正确性，请同学们先来讨论：猜测的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测是不正确的。 （3）、明晰：数量积的运算律：已知向量、 、和实数，则：（1）= （2）（）=（)= （）（3）（ + ）= + 例2、（师生共同完成）已知=6，=4, 与的夹角为60，求（+2 ）（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：（+2 ）（-3）=.-3.+2.-6. =36-3460.5-644 = -72评述：可以和实数做类比记忆数

8、量积的运算律变式：（1）(+)2=2+2+2 （2）(+ )(-)= 22（四）反思总结，当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）（五）发导学案、布置预习。我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。九、板书设计平面向量数量积的物理背景及其含义一、 数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高1、 概念

9、： 例1：2、 概念强调 （1）记法 例2：（2）“规定” 三、数量积的运算律 3、几何意义：4、物理意义：十、教学反思本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量

10、积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。 临清三中数学组 编写人：王晓燕 审稿人：刘桂江 李怀奎2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：1.平面向量数量

11、积（内积）的定义： 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 3“投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义： 5两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.1 e= e = 2 = 设、为两个非零向量，e是与同向的单位向量.e =e = 3 当与同向时，= 当与反向时， = 特别的= |2或4 cosq = 5 | |三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1说出平面向量的数量积及其几何意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直

12、的问题；学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 探究一：数量积的概念sf1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力f的作用下产生位移s，那么力f所做的功：w= （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：w（功）是 量，f（力）是 量，s（位移）是 量，

13、是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 cos叫做与的数量积（或内积），记作：，即：= cos（2）定义说明：记法“”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？ （4）学生讨论，并完成下表：的范围090=900180的符号例1 ：已知，当，与的夹角是60时，分别求.解： 变式：. 对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角.探究二：研究数量积

14、的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，记做：ob1=cos2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？ 3. 研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质： 探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较与的大小，你有什么结论？2、明晰：数量积的性质 设和b都是非零向量，则 1、 =0 2、当与同向时，=；当与反向时，= -， 特别地，=2或= 3、3.数量积的运算律 （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？ （2）、明晰：数量积的运算律：已知向量、 、和实数，则：（1）= （2）（）=（)

15、= （）（3）（ + ）= + 例2、（师生共同完成）已知=6，=4, 与的夹角为60，求（+2 ）（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：变式：（1）(+)2=2+2+2 （2）(+ )(-)= 22（三）反思总结 (四)当堂检测1 .已知|=5， |=4， 与的夹角=120o，求.2. 已知|=6， |=4，与的夹角为60o求(+2)(-3).3 .已知|=3， |=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直. 4.已知，当，与的夹角是60时，分别求.5.已知|=1，|=，(1)若，求；(2)若、的夹角为，求|+|；(3)若-与垂直，求与的夹角.6.设m、n是两个单位向

16、量，其夹角为，求向量=2m+n与=2n-3m的夹角.课后练习与提高1.已知|=1，|=，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）a.60 b.30 c.135 d.2.已知|=2，|=1，与之间的夹角为，那么向量m=-4的模为（ ）a.2 b.2 c.6 d.123.已知、是非零向量，则|=|是(+)与(-)垂直的（ ）a.充分但不必要条件 b.必要但不充分条件c.充要条件 d.既不充分也不必要条件4.已知向量、的夹角为，|=2，|=1，则|+|-|= .5.已知+=2i-8j，-=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么= .6.已知、c与、的夹角均为60，且|=

17、1，|=2，|c|=3，则(+2-c)_.2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。二教学目标1学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。2（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方

18、法。3经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方

19、法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。五、教学方法1实验法：多媒体、实物投影仪。2学案导学：见后面的学案。3新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习。六、课前准备1学生的学习准备：预习学案。2教师的教学准备：多媒体课件制作

20、，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。（二）情景导入、展示目标。创设问题情景，引出新课a与b的数量积 的定义？向量的运算有几种?应怎样计算？出示学习目标：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表示、向量的 夹角、模的 公式.2、两个向量垂直的坐标表示3、运用两个向量的数量积的坐标表示初步解决处理有关长度垂直的几个问题.（三）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积ab呢？ab=(x1,y1)(x2,y2

21、)=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2ij+x2y1ij+y1y2j2=x1x2+y1y2即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和师生：学生回答提出的问题，教师点评学生：合作探索提出的问题。教师：巡视辅导学生，解决遇到的困难，估计学生对正交单位基向量i,j的运算可能有困难，点拨学：i2=1,j2=1,ij=0师生：学生展示探究结果，教师给予点评设计意图：回顾平面向量数量积的意义，为探究数量积的坐标表示做好准备。创设情境激发学生的学习兴趣，出示学习目标使学生了解本课的任务问题引领，培养学生的探索研究能力探究二：探索发现向量的模的坐标表达式若a=(x,y)，如何计算

22、向量的模|a|呢？ 若a(x1,x2),b(x2,y2)，如何计算向量ab的模两点a、b间的距离呢？教师提出问题学生：独立思考探究合作交流让学生展示探究的结论，教师总结设计意图：在向量数量积的坐标表示基础上，探索发现向量的模例1、如图，以原点和a(5， 2)为顶点作等腰直角oab，使b = 90，求点b和向量的坐标.解：设b点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x-5， y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29由b点坐标或；=或 评述：用向量

23、的垂直关系的坐标表示作为此题的突破点。变式：已知探究三：向量夹角、垂直、坐标表示设a,b都是非零向量，a=(x1,y1),b(x2,y2),如何判定ab或计算a与b的夹角呢？1、向量夹角的坐标表示 2、abab=0x1x2+y1y2=03、ab x1y2-x2y1=0学生：独立思考、探究，合作交流，师生：让学生展示探究的结论，教师总结提醒学生ab与ab坐标表达式的不同设计意图：在向量数量积的坐标表示基础上两向量垂直，两向量夹角的坐标表达式例2 在abc中，=(2， 3)，=(1， k)，且abc的一个内角为直角，求k值.解：当a = 90时，= 0，21 +3k = 0 k = 当b = 90

24、时，= 0，=-= (1-2， k-3) = (-1， k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 当c = 90时，= 0，-1 + k(k-3) = 0 k = 评述：熟练应用向量的夹角公式。变式：已知，当k为何值时，（1）垂直？（2）平行吗？平行时它们是同向还是反向？（四）反思总结，当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）（五）发导学案、布置预习。我们已经学习数量积的坐标运算。模。夹角。下节学习平面向量应用举例这节课后大家可以先预习这一部分，着重体会向量是一种处理几何问题。物理问题的

25、工具增强应用意识提高解题能力九、板书设计平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（一）平面向量数量积的坐标表示 二、平面向量的模 例1：3、 概念强调 （1）记法 例2：（2）“规定” 三、平面向量数量积的夹角 十、教学反思1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学

26、生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。2教学手段：利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，极大提高学生的学习兴趣。十一、学案设计(见下页)临清三中数学组 编写人：王晓燕 审稿人：刘桂江 李怀奎2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课前预习学案一、预习目标：预习平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。了解向量的模、夹角等公式。二、预习内容：1.平面向量数量积（内积）的坐标表示 2.引入向量的数量积的坐标表示，我们得

27、到下面一些重要结论：(1)向量模的坐标表示： 能表示单位向量的模吗？ (2)平面上两点间的距离公式： 向量a的起点和终点坐标分别为a(x1，y1)，b(x2，y2)ab= (3)两向量的夹角公式cosq = 3. 向量垂直的判定（坐标表示） 4.向量平行的判定（坐标表示） 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 学习重难点：平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用二、学习过程（一）创设问题情景，引出新课a与b的数量积 的定义？向量的运算有几种?应怎样计算？（二）合作探究，精讲点拨探究一：已知两个非零向量a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示数量积ab呢？ab=(x1,y1)(x2,y2)=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2ij+x