强度与破坏判据

1、Rock Mechanics and Engineering岩体力学及工程岩体力学及工程第第4章岩块的变形与强度性质章岩块的变形与强度性质Deformation of Rock Block and Strength Properties第三节第三节 岩块的强度性质岩块的强度性质 为什么要研究岩块的强度：为什么要研究岩块的强度： 大坝建在岩基上，岩基是否能承受外加的荷载呢？ 高边坡陡峻耸立，它会不会发生坍塌呢？ 在岩体内开挖地下洞室，围岩是否会破坏？ 三种破坏类型：三种破坏类型： （脆性破坏）（过渡型）（塑性/延性破坏）三种破坏机制：三种破坏机制： 拉破坏、剪切破坏和流动。岩块的强度岩块的强度（

2、Strength of rock）： 指岩块抵抗外力破坏的能力。它包括抗压强度、抗 拉强度和抗剪强度。 1定义：定义： 在单向压缩条件下，岩块能承受的最大压应力，在单向压缩条件下，岩块能承受的最大压应力， 简称抗压强度（简称抗压强度（ ）。 2意义：意义： 衡量岩块基本力学性质的重要指标衡量岩块基本力学性质的重要指标 岩体工程分类、建立岩体破坏判据的重要指标岩体工程分类、建立岩体破坏判据的重要指标 用来大致估算其他强度参数用来大致估算其他强度参数 一、单轴抗压强度一、单轴抗压强度（uniaxial compressive strength）c 3 抗压试验抗压试验：c=Pc/A （MPa）其中

3、Pc荷载（破坏时）（N）；A横断面积（mm2） 岩石试件通常为圆柱状或长方柱状 圆柱状： 直径D=5cm或7cm，h=（22.5）D 长方柱状：断面S=55cm2， h=（22.5） （为什么？） 断面S=77cm2， h=（22.5） SS 一、单轴抗压强度一、单轴抗压强度（uniaxial compressive strength）4影响因素：影响因素：岩石本身性质方面的因素，如矿物组成、结构构造、密度、风化岩石本身性质方面的因素，如矿物组成、结构构造、密度、风化 程度等等程度等等；试验条件试验条件： 试件的几何形状及加工精度； 加荷速率； 端面条件； 湿度和温度； 层理结构。 一、单轴抗

4、压强度一、单轴抗压强度（uniaxial compressive strength）1定义定义： 单向拉伸条件下，岩块能承受的最大拉应力单向拉伸条件下，岩块能承受的最大拉应力，简称简称抗拉强度（抗拉强度（ ）。）。二、单轴抗拉强度二、单轴抗拉强度（uniaxial tensile strength）2意义意义： 衡量岩体力学性质的重要指标衡量岩体力学性质的重要指标 用来建立岩石强度判据，确定强度包络线用来建立岩石强度判据，确定强度包络线 脆性度（脆性度（nb）：）： 一般一般1020，最大可达，最大可达50tcbnt3测试方法测试方法：二、单轴抗拉强度二、单轴抗拉强度（uniaxial ten

5、sile strength） 直接拉伸法：直接拉伸法：是将圆柱状试件两端固定在材料试验机的拉伸夹具内， 然后对试件施加轴向拉荷载至破坏。APttPt为试件破坏的轴向拉荷载（为试件破坏的轴向拉荷载（N）；）；A为试件横断面面积（为试件横断面面积（mm2）。）。3测试方法测试方法：二、单轴抗拉强度二、单轴抗拉强度（uniaxial tensile strength） 间接拉伸法：间接拉伸法： 劈裂试验（巴西试验）：劈裂试验（巴西试验）：是用圆柱体试件，横置于压力机的承压板上，且在试件上、下承压面上各放一根垫条。然后以一定的加荷速率加压，直至试件破坏。 根据弹性力学，在线布荷载根据弹性力学，在线布荷

6、载 P 的作用下，沿试件垂直向直径平面的作用下，沿试件垂直向直径平面内产生的近于均布的水平拉应力内产生的近于均布的水平拉应力 ： txdtP2 抗弯法，点荷载法：（自学）抗弯法，点荷载法：（自学）1定义：定义： 试件在三向压应力作用下能抵抗的最大的轴向应试件在三向压应力作用下能抵抗的最大的轴向应 力，（力，（ ） ？讨论：岩块的三轴抗压强度是否为一定值？讨论：岩块的三轴抗压强度是否为一定值2意义：意义： 评价岩石不同围压下抵抗破坏的能力，三轴压缩评价岩石不同围压下抵抗破坏的能力，三轴压缩 强度比较符合现场岩石实际的抗压能力强度比较符合现场岩石实际的抗压能力 可以确定抗剪强度指标（可以确定抗剪强

7、度指标（如何确定？）如何确定？） 三、三轴抗压强度三、三轴抗压强度（triaxial compressive strength）1m3 测试方法测试方法：真三轴试验 12 3常规三轴试验 12=3三、三轴抗压强度三、三轴抗压强度（triaxial compressive strength）1m1m的确定的确定 1m=Pm/A （MPa）, Pm试件破坏时的轴向荷载（N）A试件的初始横断面面积（mm2）。试验结果处理试验结果处理 根据一组试件（根据一组试件（4个以上）试验得到的三轴抗压强度个以上）试验得到的三轴抗压强度1m以及单轴抗拉强度以及单轴抗拉强度t。在在 坐标轴上可以绘制一组破坏应力圆及

8、其共切线，即得岩块的强度包络线。包坐标轴上可以绘制一组破坏应力圆及其共切线，即得岩块的强度包络线。包络线上所有点（除顶点外）的切线与络线上所有点（除顶点外）的切线与轴的夹角及其在轴的夹角及其在 轴上的截距分别代表相应轴上的截距分别代表相应破坏面的内摩擦角破坏面的内摩擦角与内聚力与内聚力C 。 当当3变化很大时，强度包络线常为一曲线，变化很大时，强度包络线常为一曲线，C,也并非常数也并非常数,图(a) 当当3变化不大时，强度包络线常可近似视为一直线变化不大时，强度包络线常可近似视为一直线, C,为常数为常数,图(b) 4常规三轴试验常规三轴试验：三、三轴抗压强度三、三轴抗压强度（triaxial

9、 compressive strength）6影响因素影响因素：岩块本身的性质、温度、湿度及试件高径比等因素有关。岩块本身的性质、温度、湿度及试件高径比等因素有关。围压（围压（ 3 ， 2 ）的影响。）的影响。三、三轴抗压强度三、三轴抗压强度（triaxial compressive strength） 四、剪切强度四、剪切强度 （Shear strength）1意义意义：2类型类型：（1）抗剪断强度抗剪断强度：指试件在一定的指试件在一定的法法向应力向应力作用下，沿作用下，沿预定剪切面预定剪切面剪断时的剪断时的最大剪应力，见（最大剪应力，见（a）。）。 （2）抗切强度抗切强度： 指试件上的指试

10、件上的法向应法向应力为零力为零时，沿时，沿预定剪切面预定剪切面剪断时的最大剪断时的最大剪应力剪应力,见（见（b）。）。 （3）摩擦强度摩擦强度： 指试件在一定的指试件在一定的法法向应力向应力作用下，沿作用下，沿已有破裂面已有破裂面（层面、（层面、节理等）再次剪切破坏时的节理等）再次剪切破坏时的 最大剪应力，最大剪应力，见（见（c）。）。Ctg CjjCtg 反映岩块的力学性质的重要指标反映岩块的力学性质的重要指标 用来估算岩体力学参数及建立强度判判据用来估算岩体力学参数及建立强度判判据STSP？讨论：同种类型的试件，抗切强度试验？讨论：同种类型的试件，抗切强度试验与抗剪断强度试验得出的与抗剪断

11、强度试验得出的C C值是否相等。值是否相等。 四、剪切强度四、剪切强度 （Shear strength）3抗剪断强度测试方法抗剪断强度测试方法：直剪试验直剪试验: 试验时，先在试件上施加法向压力试验时，先在试件上施加法向压力N，然后在水平方向逐渐，然后在水平方向逐渐施加水平剪力施加水平剪力T，直至试件破坏。，直至试件破坏。 四、剪切强度四、剪切强度 （Shear strength）3抗剪断强度测试方法抗剪断强度测试方法：变角板剪切试验变角板剪切试验: 将立方体试件置于变角板剪切夹具中（如图），然后将立方体试件置于变角板剪切夹具中（如图），然后在压力机上加压直至试件沿预定的剪切面破坏，这时作用于

12、剪切面上的剪在压力机上加压直至试件沿预定的剪切面破坏，这时作用于剪切面上的剪应力应力 和法向应力和法向应力 为：为：式中： 为试件破坏时的荷载； 为剪切面面积； 为剪切面与水平面的夹角； 为压力机压板与剪切夹具的滚动摩擦系数。)cos(sin)sin(cosfApfAppAf 四、剪切强度四、剪切强度 （Shear strength）3抗剪断强度测试方法抗剪断强度测试方法：三轴试验：三轴试验： 将一组试件试验得到的三轴抗压强度1m和相应和相应 的围压的围压3投到投到1 - 3坐标中，得到极限的坐标中，得到极限的1 - 3曲线（如图），然后在该曲线上曲线（如图），然后在该曲线上选择一最佳直线段，

13、求出其斜率选择一最佳直线段，求出其斜率m和和1轴上的截距轴上的截距b，按下式求剪切强，按下式求剪切强度参数度参数C，值：值：cos2)sin1 (11sin1bCmm 根据直线型试验曲线，可以求得岩块强度参数根据直线型试验曲线，可以求得岩块强度参数1m1m、C C、t t、c c、3 3之间的关系：之间的关系：ctg2/2/sin3131Cmm 当3=0时，1m=c五五. 典型关系公式推导典型关系公式推导,31Cfm,Cfcsin1sin12sin1sin131Cm2452245231tgCtgm2452sin1sin12tgCCc 根据直线型试验曲线，可以求得岩块强度参数根据直线型试验曲线，

14、可以求得岩块强度参数1m1m、C C、t t、c c、3 3之间的关系：之间的关系： 当1m=0,3=t时，代入下式,ctf2452245231tgCtgm24524524524524522222tgctgtgtgtgCccct2452tgct习惯上：2452sin1sin12tgCCc2452245231tgCtgm五五. 典型关系公式推导典型关系公式推导 根据直线型试验曲线，可以求得岩块强度参数根据直线型试验曲线，可以求得岩块强度参数1m1m、C C、t t、c c、3 3之间的关系：之间的关系：tcfC,2452245231tgCtgm2452sin1sin12tgCCc2452tgct

15、2222242452454245CtgtgCtgcctc 2tcC五五. 典型关系公式推导典型关系公式推导 根据直线型试验曲线，可以求得岩块强度参数根据直线型试验曲线，可以求得岩块强度参数1m1m、C C、t t、c c、3 3之间的关系：之间的关系：2452245231tgCtgm2452sin1sin12tgCCc2452tgcttcf,tctcarctg2课外作业：2tcCtctcarctg2五五. 典型关系公式推导典型关系公式推导小小 结结岩块强度岩块强度的概念（单轴抗压，单轴抗拉，三轴的概念（单轴抗压，单轴抗拉，三轴抗压，剪切强度）抗压，剪切强度）单轴抗压，单轴抗拉，三轴抗压，剪切强

16、度测单轴抗压，单轴抗拉，三轴抗压，剪切强度测试方法试方法1m、C、t、c、3相互关系相互关系2452245231tgCtgm2452sin1sin12tgCCc2tcCtctcarctg22452tgctRock Mechanics and Engineering岩体力学及工程岩体力学及工程第第4章岩块的变形与强度性质章岩块的变形与强度性质Deformation of Rock Block and Strength Properties第四节第四节 岩石的破坏判据岩石的破坏判据岩石在一定的受力条件下可能要发生破坏岩石在一定的受力条件下可能要发生破坏, ,用来判断岩石是否破坏需用到破坏判据。用来

17、判断岩石是否破坏需用到破坏判据。 破坏判据：破坏判据：表征岩石破坏条件的表征岩石破坏条件的应力状态与应力状态与岩石强度参数间岩石强度参数间的函数关系，称为破坏判据的函数关系，称为破坏判据或称强度准则、强度判据。或称强度准则、强度判据。 在岩体力学研究中在岩体力学研究中, ,用到的判据主要有用到的判据主要有: :库仑库仑-纳维尔判据、莫尔判据、格里菲斯判据和纳维尔判据、莫尔判据、格里菲斯判据和八面体强度判据。八面体强度判据。 一、库仑一、库仑- -纳维尔判据纳维尔判据 (1883)(1883)1 1、理论依据、理论依据 固体内任一点发生剪切破坏时，破坏面上的剪应力固体内任一点发生剪切破坏时，破坏

18、面上的剪应力( () )应等于或大于材料本身的抗切强度应等于或大于材料本身的抗切强度( (C C) )和作用于该面和作用于该面上由法向应力引起的摩擦阻力上由法向应力引起的摩擦阻力( (tgtg) )之和。之和。观点：岩石破坏为观点：岩石破坏为剪切破坏剪切破坏； 岩石抗剪能力由岩石抗剪能力由两部分两部分组成（组成（内聚力、内摩擦力内聚力、内摩擦力）。 强度准则形式强度准则形式直线型直线型：库仑准则可由库仑准则可由 AL AL 直线表示直线表示任意斜截面上应力为：任意斜截面上应力为：2sin22cos22313131当当任意斜截面为破坏面时，其上应力满足库仑准则。任意斜截面为破坏面时，其上应力满足

19、库仑准则。 由图：由图： 破坏面方向：破坏面方向：由图：由图：化简得化简得：09022450sin)2(sin313ctgcABBD231BD31sin1sin1sin1sin12 c（有两种方法推导： 代数、几何 ）2Cctg2sin3131 库仑库仑-纳维尔判据形式纳维尔判据形式 ： 剪切式： 三向应力式： 单向应力式：库仑-纳维尔判据应用： 判断岩石在某一应力状态下是否破坏（用应力圆）。 预测破坏面的方向：（与最大主平面成 ）； （X 型节理型节理锐角平分线方向为最大主应力方向）。 进行岩石强度计算强度计算。库仑-纳维尔判据评价：是最简单的强度准则，是莫尔强度理论的一个特例莫尔强度理论的

20、一个特例。 不仅适用于岩石压剪破坏，也适用于结构面压剪破坏。不适用于受拉破坏。没有考虑中间主应力2的影响。 2450理论要点理论要点：岩石的剪切破坏岩石的剪切破坏由剪应力引起由剪应力引起；但不是发生在最大剪但不是发生在最大剪应力应力作用面上；作用面上；剪切强度取决于剪切强度取决于剪切面上的正应力剪切面上的正应力和和岩石的性质岩石的性质，是，是剪切面上正应力的函数；剪切面上正应力的函数；剪切强度与剪切面上正应力的剪切强度与剪切面上正应力的函数形式有多种函数形式有多种：直线：直线型、二次抛物线型、双曲线型，等等；是一系列极限莫型、二次抛物线型、双曲线型，等等；是一系列极限莫尔圆的包络线，它由试验拟

21、合获得；尔圆的包络线，它由试验拟合获得；剪切强度曲线是剪切强度曲线是关于关于轴对称轴对称的曲线，破坏面成对成的曲线，破坏面成对成簇出现；簇出现；莫尔圆与强度曲线莫尔圆与强度曲线相切或相割时研究点破坏相切或相割时研究点破坏，否则不，否则不破坏；破坏；不考虑不考虑2 2的影响。的影响。二、莫尔判据二、莫尔判据(1900)(1900)1 1、基本理论依据、基本理论依据 莫尔考虑了三向应力状态下的库仑莫尔考虑了三向应力状态下的库仑-纳维尔纳维尔判据后认为：判据后认为：材料在极限状态下，剪切面上的剪材料在极限状态下，剪切面上的剪应力就达到了随法向应力和材料性质而定的极限应力就达到了随法向应力和材料性质而

22、定的极限值。值。 也就是说，当材料中一点可能滑动面上的剪也就是说，当材料中一点可能滑动面上的剪应力超过该面上的剪切强度时，该点就产生破坏，应力超过该面上的剪切强度时，该点就产生破坏，而而滑动面的剪切强度滑动面的剪切强度又是作用于该面上法向应又是作用于该面上法向应力力的函数。的函数。 2.2.莫尔强度包线的绘制：莫尔强度包线的绘制： （由单拉、单压、三压强度实验得到）特点：特点： 曲线左侧闭合，向右侧开放（耐压、不耐拉）；曲线左侧闭合，向右侧开放（耐压、不耐拉）； 曲线的斜率各处不同（内摩擦角、内聚力变化，与所受应力有曲线的斜率各处不同（内摩擦角、内聚力变化，与所受应力有关）；关）； 曲线对称于

23、正应力轴（破坏面成对出现，形成曲线对称于正应力轴（破坏面成对出现，形成 X X 型节理）；型节理）； 不同岩石其强度曲线不同（不同岩石具有不同的强度性质）。不同岩石其强度曲线不同（不同岩石具有不同的强度性质）。 判断岩石中一点是否会发生剪切破坏判断岩石中一点是否会发生剪切破坏时，可在莫尔时，可在莫尔包络线上，叠加上反映实际研究点应力状态的莫尔应力包络线上，叠加上反映实际研究点应力状态的莫尔应力圆，如果应力圆与包络线相切或相割，则研究点将产生圆，如果应力圆与包络线相切或相割，则研究点将产生破坏；如果应力圆位于包络线下方，则不会产生破坏。破坏；如果应力圆位于包络线下方，则不会产生破坏。3. 3.

24、莫尔包络线的三种形式莫尔包络线的三种形式 对于不同的岩石，莫尔包络线类型并不完全一致，对于不同的岩石，莫尔包络线类型并不完全一致，因此不能用一个统一的公式来表示，一般可以划分为以因此不能用一个统一的公式来表示，一般可以划分为以下三种类型，其破坏判据与适用条件均不相同。下三种类型，其破坏判据与适用条件均不相同。 )(f123 （1 1）抛物线型）抛物线型 对于岩性较坚硬至较软对于岩性较坚硬至较软弱岩石（如砂岩、泥灰岩、弱岩石（如砂岩、泥灰岩、页岩等）的强度包线为：页岩等）的强度包线为：n n为待定系数。为待定系数。利用图利用图4-444-44中的关系，有：中的关系，有：其中：其中： 将这些条件代

25、入上式，并消去式中的将这些条件代入上式，并消去式中的，得二次抛得二次抛物线型包络线的主应力表达式：物线型包络线的主应力表达式：23123142nnnt在在单轴压缩条件下，有单轴压缩条件下，有1 1=c c，3 3=0=0，代入上式得：代入上式得：02222ctcnn近似解得：近似解得：破坏判据：破坏判据：（2 2）双曲线型）双曲线型 适用于砂岩、灰岩、花适用于砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬、较坚硬岩岗岩等坚硬、较坚硬岩石石。 （3 3）直线型）直线型 tgcc单直线型双直线型 对莫尔判据理论的评价： 优点：优点： 适用于塑性岩石，也适用于脆性岩石的剪切破坏； 较好解释了岩石抗拉强度远远低于抗压强度特

26、征； 解释了三向等拉时破坏，三向等压时不破坏现象； 简单方便，同时考虑拉、压、剪，可判断破坏方向. 不足：不足： 忽视了2 的作用，误差：10； 没有考虑结构面结构面的影响； 不适用于拉断不适用于拉断破坏； 不适用于膨胀、蠕变膨胀、蠕变破坏。三、格里菲斯判据三、格里菲斯判据 （19201920、19211921） 库仑库仑- -纳维尔理论和莫尔强度理论都是把岩石看成纳维尔理论和莫尔强度理论都是把岩石看成完整、无裂隙的均匀连续介质完整、无裂隙的均匀连续介质，而对于在一般情况下呈，而对于在一般情况下呈脆性破坏的材料，很早就有人发现它们的实际强度与理脆性破坏的材料，很早就有人发现它们的实际强度与理论

27、强度有着不同程度的离散性。论强度有着不同程度的离散性。 也就是说，也就是说，这些理论不能理想地反映脆性材料的破这些理论不能理想地反映脆性材料的破坏机制坏机制，鉴于这种原因，格里菲斯针对脆性材料的破坏，鉴于这种原因，格里菲斯针对脆性材料的破坏提出了所谓的提出了所谓的GriffithGriffith强度理论强度理论, ,这一理论最初应用于这一理论最初应用于玻璃破坏方面，后来又被引用于岩石力学。玻璃破坏方面，后来又被引用于岩石力学。 （一）、基本理论依据（一）、基本理论依据 早在早在19201920年，年， GriffithGriffith试验研究了玻璃这种脆性试验研究了玻璃这种脆性材料，结果发现，

28、玻璃的实际强度比理论强度低材料，结果发现，玻璃的实际强度比理论强度低针对这种现象，针对这种现象，GriffithGriffith认为：认为： 固体中充满了随机分布的许多微固体中充满了随机分布的许多微裂纹和缺陷裂纹和缺陷，当，当固体受力时在裂纹和缺陷的周围产生固体受力时在裂纹和缺陷的周围产生应力集中应力集中，当局，当局部部拉应力拉应力集中到集中到一定程度时一定程度时，材料的破坏就不受其本，材料的破坏就不受其本身身抗剪强度抗剪强度的控制，而是的控制，而是沿裂纹开始扩展沿裂纹开始扩展，并导致，并导致宏宏观破裂观破裂，因而降低了强度。，因而降低了强度。微裂纹微裂纹微裂纹微裂纹 基于以上假设，基于以上假

29、设，GriffithGriffith首先从能量观首先从能量观点研究了这一问题，建立了点研究了这一问题，建立了裂纹扩展的能量裂纹扩展的能量准则准则（或破坏判据）（或破坏判据） , ,之后又从应力观点提之后又从应力观点提出了出了裂纹扩展的应力准则裂纹扩展的应力准则。 GriffithGriffith认为：具认为：具有细微裂隙的脆性材料，有细微裂隙的脆性材料，在力场的作用下，裂纹在力场的作用下，裂纹周边将激起切向拉应力。周边将激起切向拉应力。 一旦裂纹周边端部一旦裂纹周边端部附近某处的切向拉应力附近某处的切向拉应力高度集中到达材料的抗高度集中到达材料的抗拉强度值时，则材料就拉强度值时，则材料就将以该

30、处开始沿一定的将以该处开始沿一定的方向发生脆性破裂。方向发生脆性破裂。b13 因此，因此，应力准则是从裂纹尖端的局部应力场导应力准则是从裂纹尖端的局部应力场导出裂纹扩展的临界值。出裂纹扩展的临界值。 显然，显然，准则的建立必须首先知道裂纹尖端附近准则的建立必须首先知道裂纹尖端附近的应力集中（值），其次还要知道裂纹尖端附近岩的应力集中（值），其次还要知道裂纹尖端附近岩石的抗拉强度。石的抗拉强度。（二）裂纹尖端附近的拉应力（二）裂纹尖端附近的拉应力 为使问题简化，格氏作了以下为使问题简化，格氏作了以下四条假定条件四条假定条件：1.1.裂纹都是张开的，形状是一个很扁平的椭圆。裂纹都是张开的，形状是一

31、个很扁平的椭圆。 （岩石内空（岩石内空隙是张开的，形状多种多样，但大多数近于扁平椭圆状。）隙是张开的，形状多种多样，但大多数近于扁平椭圆状。）2.2.岩石性质的局部变化忽略不计。岩石性质的局部变化忽略不计。 （岩石是多矿物的集合体，（岩石是多矿物的集合体，具有高度的各向异性，岩石性质的局部变化忽略不计。）具有高度的各向异性，岩石性质的局部变化忽略不计。）3.3.裂纹之间互不发生影响。裂纹之间互不发生影响。（为确定椭圆形裂纹边壁周围的切（为确定椭圆形裂纹边壁周围的切向拉应力）向拉应力）4.4.椭圆形裂纹周围的高应力系统作为平面问题处理。椭圆形裂纹周围的高应力系统作为平面问题处理。（即材料（即材料

32、仅受两向应力作用，椭圆形孔洞洞轴方向的应力忽略不仅受两向应力作用，椭圆形孔洞洞轴方向的应力忽略不计。）计。） 基于以上假设条件，就可以将椭圆裂纹作为基于以上假设条件，就可以将椭圆裂纹作为半无限弹半无限弹性介质中的单孔情况性介质中的单孔情况处理（处理（带椭圆孔薄板的孔边应力集中问题）。）。裂纹周边附近的局部应力场如图：裂纹周边附近的局部应力场如图： 设裂纹长轴方向为设裂纹长轴方向为x x轴，并与轴，并与1 1成成角；角； 短轴方向为短轴方向为y y轴。轴。在在x x、y y轴方向的应力为轴方向的应力为x x、y y、xyxy、yxyx 则裂纹周边附近的应则裂纹周边附近的应力状态可用莫尔圆来表示力

33、状态可用莫尔圆来表示: : byx由莫尔应力圆可以推出：由莫尔应力圆可以推出： 2cos22)90(2cos2231313131yyx313131313131313131)2cos22(222cos22)90(2cos222sin231xy（1）（2）（3）byx求裂纹周边上的切求裂纹周边上的切向应力：向应力：现在把椭圆形裂纹现在把椭圆形裂纹单独拿出来研究：单独拿出来研究： 设椭圆的长、设椭圆的长、短半轴分别为短半轴分别为a a、b b椭圆裂纹上任一点，椭圆裂纹上任一点，偏心角为偏心角为，该点，该点坐标可由椭圆参数坐标可由椭圆参数方程来确定：方程来确定：cosax sinby （4）（5）A

34、A A点切向拉应力点切向拉应力b b（可按弹性理论平面问题，对椭（可按弹性理论平面问题，对椭圆孔进行计算），由圆孔进行计算），由InglisInglis 解答：解答：sincoscossinsincos222222222cossin12212mmmmmmxyxyb（6）其中其中 轴比，很小（因为裂纹为扁平椭圆）轴比，很小（因为裂纹为扁平椭圆） 因越靠近端部应力越集中，因而因越靠近端部应力越集中，因而椭圆周边最大椭圆周边最大拉应力势必发生在曲率半径最小的靠近椭圆端部附拉应力势必发生在曲率半径最小的靠近椭圆端部附近，亦即说偏心角近，亦即说偏心角很小的地方。很小的地方。 当时当时 ，则，则 ，而，而

35、 将之代将之代入（入（6 6）式，并略去分子中出现的二次微量）式，并略去分子中出现的二次微量（ ）则可得裂纹周边端部）则可得裂纹周边端部切向应力的近切向应力的近似表达式：似表达式：abm 0sin1cosmm 、22222mxyybm（7） 由（由（7 7）式可见，切向拉应力）式可见，切向拉应力b是偏心角是偏心角的函数，的函数，这意味着裂纹周边上，不同位置处的值是不同的，也就是这意味着裂纹周边上，不同位置处的值是不同的，也就是说说存在极值存在极值，而裂纹的进一步扩展，势必要从周边上拉应而裂纹的进一步扩展，势必要从周边上拉应力最大的点开始，力最大的点开始，为求最大切向拉应力：为求最大切向拉应力：

36、0ddb令：令：0222mxyymdd022222222mmxyyxym即：即：0222myxym显然显然xyymm222（8）将（将（8 8）代入（）代入（7 7）得：）得：xyxyxyxybmmmmmm2222222222（9）为使切向应力值可以用应力分量为使切向应力值可以用应力分量y y、xyxy表示，将表示，将（8 8）与（）与（9 9）式联立，消去）式联立，消去：由（由（8 8）式整理得：）式整理得：0222xyyxymm同除以同除以 得：得：xym220112122mxyym2222221214421xyyyxyxyyxyymmmm将之代入（将之代入（9 9）式得：式得：221xy

37、yybm 即为裂纹周边上最大切向拉应力值。即为裂纹周边上最大切向拉应力值。（三）强度准则：（三）强度准则： 当最大切向拉应力等于裂纹端点处的材料的抗当最大切向拉应力等于裂纹端点处的材料的抗拉强度时，椭圆裂纹尖端处就开始产生新的裂纹。拉强度时，椭圆裂纹尖端处就开始产生新的裂纹。 但是，但是，由于裂纹周边局部抗拉强度和轴比由于裂纹周边局部抗拉强度和轴比m m都难都难以测量，甚至于无法测量。以测量，甚至于无法测量。 如果我们能设法找到一个比较容易测量的量来如果我们能设法找到一个比较容易测量的量来代替代替b和和m m，那么问题也就解决了。，那么问题也就解决了。 为此可以设想了一种最简单的情况：为此可以

38、设想了一种最简单的情况： 假设，裂纹受单轴拉伸至破坏，且裂纹长轴垂直于假设，裂纹受单轴拉伸至破坏，且裂纹长轴垂直于拉应力。拉应力。（10）0 xy此时，此时， ， 代入代入（10）式（取正）可得：）式（取正）可得： tymmtttb2代入（代入（10）式得：）式得：2212xyyytmmyttxy 42即：即：（11）即为用即为用y、xy表示的表示的Griffith强度判据的强度判据的最大拉应力判据最大拉应力判据tyty上述关系式，是一个抛物线方程，它说明当垂直于椭上述关系式，是一个抛物线方程，它说明当垂直于椭圆裂纹方向上的正应力和剪应力之间的关系符合这个圆裂纹方向上的正应力和剪应力之间的关系

39、符合这个关系时，椭圆裂纹端点处就要开始产生新的裂纹。关系时，椭圆裂纹端点处就要开始产生新的裂纹。 上面导出的（上面导出的（1111）式用）式用y、xy表示的强度准则，表示的强度准则，如果我们要用主应力如果我们要用主应力1、3表示这一判据，那么将表示这一判据，那么将（2 2）、（）、（3 3）式代入（）式代入（1010）式得：）式得：2sin22cos223131312cos2222313122xyyybm2cos222cos22232123213131（12） 由上式可知，当岩石在某一确定的主应力由上式可知，当岩石在某一确定的主应力1 1、3 3的作用下，的作用下，b bm m的值又随裂隙与最

40、大主应力之间的夹角的值又随裂隙与最大主应力之间的夹角而变化。而变化。 这说明这说明岩体中不同方向的裂隙具有不同的岩体中不同方向的裂隙具有不同的bm值。值。因而，在此众多的裂隙中，必然存在着使因而，在此众多的裂隙中，必然存在着使bm为极值的为极值的裂隙。裂隙。 为求得该裂隙的位置（由为求得该裂隙的位置（由角确定），以及相应的角确定），以及相应的极值极值 bm：0dmdb令：令：02cos22212sin)232123213131(由上式可得：由上式可得： 02sin0即：即：02cos22212321232131（13）或或313122cos即：即：（14） 这里这里破裂发生角，即破裂发生角，即

41、当当满足（满足（1313）或）或（1414）式，裂纹最易发生扩展，（这一角度的裂纹最）式，裂纹最易发生扩展，（这一角度的裂纹最危险）危险）将（将（1414）代入（）代入（1212）式得：）式得： 312431mb（15） 上式即为用上式即为用1、3 表示的最易扩展的裂纹端部附表示的最易扩展的裂纹端部附近的最大切向拉应力。近的最大切向拉应力。 当这一切向拉应力值达到临界值时，材料就失稳。当这一切向拉应力值达到临界值时，材料就失稳。仍用单轴拉伸至破坏的抗拉强度来表示临界值。仍用单轴拉伸至破坏的抗拉强度来表示临界值。即将即将 、 代入（代入（1010）得：）得： ty0 xytbm2代入（代入（15

42、15）式得：）式得： 3124312tt831312即即:(16) 上式即为用主应力上式即为用主应力1 1、3 3表示的裂纹开始扩表示的裂纹开始扩展时的展时的GriffithGriffith强度准则。强度准则。 tyty讨论：讨论：由式（由式（1414）中，只有当）中，只有当 才有意义，即才有意义，即 亦即亦即 ，只有满足这一条件，准则（，只有满足这一条件，准则（1616）式）式才能成立。才能成立。若若 ，则准则（，则准则（1616）不成立，此时）不成立，此时3 3一定一定为负值，若为负值，若 ，将，将 及及 代入（代入（1212）式得式得 强度准则。强度准则。 此时此时 相当于裂纹长轴的方向与相当于裂纹长轴的方向与3 垂垂直，最大切向拉应力发生在裂纹尖端处，裂纹沿长轴直，最大切向拉应力发生在裂纹尖端处，裂纹沿长轴方向扩展。方向扩展。