2.1泰勒公式ppt课件

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第三节第三节 泰勒公式泰勒公式一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立1.问题的提出 根据函数的微分根据函数的微分, 有有 f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+o(x-x0)(当当|x-x0|很小时很小时), 略掉略掉o(x-x0), 得到求得到求f(x)的近似公式的近似公式 f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0)(当当|x-x0|很小时很小时), 其误差为其误差为 R(

2、x)=f(x)-f(x0)-f (x0)(x-x0). 近似公式的不足近似公式的不足: 精确度不高精确度不高, 误差难于估计误差难于估计. 为了达到一定的精确度要求为了达到一定的精确度要求, 可考虑用可考虑用n次多项式次多项式Pn(x)来近似表达来近似表达f(x). 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2.系数的确定 设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n1)阶导数, 我们希望找出一个关于(xx0)的n次多项式Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n来近似表达f(x). 我们自然希望Pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n1)阶导数)相等: f(x0)Pn

3、(x0), f (x0)=Pn(x0), f ( x 0 )P n( x 0 ) , f (x0)Pn(x0), , f (n)(x0)Pn(n)(x0). 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令)(xpn那么)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2

4、 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂)0(之间与在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn3. 余项估计余项估计)()()(xpxfxRnn令(称为余项) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn则有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0

5、 x)01(之间与在xx)102(之间与在x山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)() 1(0)0(之间与在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .)(xf公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :内具有的某开区间在包含若)

6、,()(0baxxf1n直到阶的导数 ,),(bax时, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以证明可以证明: 阶的导数有直到在点nxxf0)( 式成立山东农

7、业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂特例特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂称为麦克劳林（ Ma

8、claurin ）公式 ., ) 10(,00 xx则有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn则有误差估计式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上由此得近似公式山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林

9、公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRmsin(21)2xm2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(

10、12xRm其中)(12xRm! )22(mcos(1) xm) 10(m) 1(22mx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂) 1()1ln()()5(xxxf知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得)()(x

11、fkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差1! ) 1()(nnxnMxRM 为)() 1(xfn在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂知例例1. 计算无理数计算无理数 e

12、 的近似值的近似值 , 使误差不超过使误差不超过.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 10(由于, 30ee欲使) 1 (nR!) 1(3n610由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因而e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例2. 用近似公式用近似公式!21cos2xx计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解解: 近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x

13、解得588. 0 x即当588. 0 x时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx .127 原式原式山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例4 利用带有佩亚若型余项的麦克劳林公式，求极限 xxxxx30sincossinlim 解 由于分式的分母)0(sin33 xxx所以，用带有佩亚若型余项的三阶麦克劳林公式，即33sin(

14、),3!xxxo x331sincos()3xxxxo x33cos()2!xxxxo x30sincoslimsinxxxxx33301()3limxxo xx13山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 ( P140 P142 ),xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限