平板应力分析.doc

1、第四节平板应力分析3. 4 平板应力分析3.4.1 概述3. 4. 2 圆平板对称弯曲微分方程3. 4. 3 圆平板中的应力3. 4. 4 承受对称载荷时环板中的应力3. 4.1 概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。2、平板的几何特征及平板分类几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。分类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。t / b1/ 5 时( 薄板)oxyz图 2-28 薄板w/ t 1/ 5 时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与内力载荷：平面载荷：作用于板中面内的

2、载荷横向载荷垂直于板中面的载荷复合载荷内力：薄膜力中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形弯曲内力弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。78本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。4、弹性薄板的小挠度理论基本假设 - - - 克希霍夫 Ki r chhof f 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线 w 的挠度 。只有 横向力载荷变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。类同于梁的平面假设: 变形前原为平面的梁的横截面变

3、形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。研究: 弹性, 薄板 / 受横向载荷 / 小挠度理论 / 近似双向弯曲问题3. 4. 2 圆平板对称弯曲微分方程分析模型dQrPQr +drdrpzrrM+dMdrdrMrt/2rMtt/2Mrzda.rdrQoc.yzPrdQdMQr +drdrRrrMrdMr+rrdrdM+dr droQrMTb.d.分析模型：半径 R，厚度 t 的圆平板受轴对称载荷 Pz，在 r 、 、z 圆柱坐标系中，内力 Mr 、 M 、Qr 三个内力分量轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在

4、r 、 、z 圆柱坐标系中，挠度 w 只是 r 的函数，而与无关。求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）弯曲挠度微分方程（ pz w ）求 w 求 内力 M r、 M 求 应力 r 、79t/2rt/2zd微元体：用半径为 r 和 r +dr 的圆柱面和夹角为 d 的两个径向截面截取板上一微元a.体。Royzdrr+ddrob.微元体内力 ：径向： Mr 、Mr +（ dMr / dr ）dr周向： M 、 M横向剪力：Qr 、Qr +（dQr / dr ）dr微元体外力 ：上表面 Ppzrd drrdQrdrQ +drPM+dMrdrrdrMrrMrMtdQrdroc.yzPdQ

5、r1、平衡方程drQr +dr微体内力与外力对圆柱面切线 T 的力矩代数和为零，即MT=0Mr80MrMr +dMdrrza.drr+drMrMtMrM rdM rd2M dr sin dQr rddr pzrd dr dr0dr r dr dM r rddrQrdr22dM r（2- 54）M rdro rM Qr r 0（圆平板在轴对称载荷下的平衡方程）c.yzPrrdQQ+ dr drMrMrdMrdMr+ drdroQrMTb.d.2、几何协调方程( W )取 ABdr ，径向截面上与中面相距为 z，半径为 r 与 rdr 两点 A 与 B 构成的微段rdrmm1zABrznn1a.d

6、b.板变形后：wmrm1BzAnn1d wz+d81zdz（第 2 假设）微段的径向应变为rdrz ddr过 A点的周向应变为2r z2 r（第 1 假设）2 rzr作为小挠度dw ，带入以上两式，得dr应变与挠度关系的几何方程：rz d 2 w2dr（2- 55）r dr3、物理方程根据第 3 个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为：Er12r（2- 56）Er124、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程( 2- 55) 代入( 2- 56) 式：rEzd 2 wdw12dr 2r dr（2- 57）Ez1 dwd 2 w12r drdr 2通过圆

7、板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩 M r 和 M 表示成 w 的形式 。由式（2- 57）可见，r 和沿着厚度 ( 即 z 方向) 均为线性分布，图 2- 31 中所示为径向应力的分布图。82lMoMrrzrrzzdoz2/t2/t图 2-31圆平板内的应力与内力之间的关系r 、的线性分布力系便组成弯矩 M r 、 M 。单位长 度上的径向弯矩为：ttEd 2 wdw 2M r2r zdz2tt2dr 2z dz22 1r drM rDd 2wrdw（2- 58a）dr 2dr同理 MD1 dwd 2 w（ 2- 58b）r drdr 2DEt 312 12参照 38 页壳体的抗弯刚度，“抗弯

8、刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关 ( 2- 58) 代入( 2- 57) ，得弯矩和应力的关系式为：r12M rzt3（2- 59）12Mzt 3( 2- 58) 代入平衡方程 ( 2- 54) ，得： d 3w1 d 2w1 dwQrdr 3r dr 2r 2 drD即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：d 1 d r dQr（2- 60）dr r dr drDQr 值可依不同载荷情况用静力法求得3. 4. 3 圆平板中的应力（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）承受均布载荷时圆平板中的应力：简支固支承受集中载荷时圆平板中的应力83一、承受均布载荷时圆平板中的应力rOrMr

9、MrQrQr图2-32 均布载荷作用时圆板内 Qr的确定r 2 ppr据图 2- 32，可确定作用在半径为 r 的圆柱截面上的剪力，即： Qr22 r代入 2- 60 式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：d1 dr dwprdrr drdr2D对 r 连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率：dwpr 3C1r C 2（2- 61）dr16D2r对 r 连续三次积分，得到中面在弯曲后的挠度 。pr 4C1r2（2- 62）w4C2 ln r C364 DC1、C2、C3 均为积分常数。对于圆平板在板中心处（r =0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2 0 ，于是上述方程改

10、写为：dwpr 3C r1dr16D2（2- 63）pr 4C1r 2wC364D4式中 C1、C3 由边界条件确定。下面讨论两种典型支承情况( 两种边界条件)周边固支圆平板周边简支圆平板84pprrRRRRzza.b.周边固支圆平板周边简支圆平板图 2- 33承受均布横向载荷的圆板1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角）prRRRza.周边固支圆平板rR,dw0drrR,w 0C1pR2 ,将上述边界条件代入式（2- 63），解得积分常数： 8D pR4C364D代入式（2- 63）得周边固支平板的斜率和挠度方程：dwprR2r 2dr16D（2- 64）pw2r2264 DR将挠

11、度 w对 r 的一阶导数和二阶导数代入式（2- 58），便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：85M rpR21r 2316（2- 65）pMR21r 21316由此（代入 2- 59）弯曲应力计算试，可得 r 处上、下板面的应力表达式：M r3 p21r23rt28 t2R6（2- 66）M3 pR21r21 3t 28 t26周边固支圆平板下表面的应力分布，如图 2- 34( a) 所示。最大应力在板边缘上下表面，即r max3 pR224tr r3(3+)pR2r28t223pRr23 pR+0.827-4 t23(1- )pR8 t 2(1+)r4t 2O0.51.0O0.51.0

12、r-RR0.6282-3 pR4 t 2a.b.图2-34圆板的弯曲应力分布（板下表面）2、周边简支圆平板将上述边界条件代入式（2- 63），解得积分常数 C1、C3：代入式（2- 63）得周边简支平板的挠度方程：wpR2r 224R2 R2r 21（2- 67）64DprrRRRzb.周边简支圆平板86弯矩表达式：M rp3R2r 216（2- 68）pMR2 3r 2 1 316应力表达式：3 p3R2r2r8 t2（2- 69）3 p2R2 3r 2 1 38 t可以看出，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心处 r0 ，M rMpR2maxmax163r3 3pR2maxmax8t2周边简

13、支板下表面的应力分布曲线见图 2- 34( b) 。 r r23(3+)pR8t222r3 pRr3pR20.827-4 t23(1-) pR8 t 2(1+)+r4t 2O1.0O0.51.0r0.5RR-20.628-3 pR4 t2a.b.图 2- 34圆板的弯曲应力分布（板下表面）3、比较两种支承a.边界条件周边固支时: r R,dw0drrR,w 0rR,w0周边简支时:R,M r0rb.挠度87周边固支时，最大挠度在板中心 w fpR4（2- 70）max64D周边简支时，最大挠度在板中心 wmaxs5pR4（2- 71）164D简支s wmax50.34.080.3固支wmaxf

14、10.3表明:周边简支板的最大挠度远大于周边固支板的挠度。c. 应力周边固支圆平板中的最大正应力为支承处的径向应力，其值为f3 pR2（2- 72）r max4t2周边简支圆平板中的最大正应力为板中心处的径向应力，其值为s3 3pR2r max8t2（2- 73）简支s3.3rmax0.3f1.65固支rmax2表明:周边简支板的最大正应力大于周边固支板的应力。内力引起的切应力：在均布载荷 p 作用下，圆板柱面上的最大剪力 Qr maxpR （ rR 处），3 Q ，2近似采用矩形截面梁中最大切应力公式 max2 bh3 Qr max3 pR得到max2 1 t4 t最大正应力与 R2同一量级

15、；t最大切应力则与 R t 同一量级。因而对于薄板 Rt ，板内的正应力远比切应力大 。从以上可以看出：max 与 wmax 圆平板的材料（E、）、半径、厚度有关。若构成板的材料和载荷已确定，则减小半径或增加厚度都可减小挠度和降低最大正应力。工程中较多的是采用改变其周边支承结构，使它更趋近于固支条件增加圆平板厚度或用正交栅格、圆环肋加固平板等方法来提高平板的强度与刚度4、结论88a. 板内为二向应力状态： r、 且为弯曲应力，平行于中面各层相互之间的正应力 z 及剪力 Qr 引起的切应力 均可予以忽略 。b. 应力分布: 沿厚度呈线性分布 , 且最大值在板的上下表面。沿半径呈抛物线分布, 且与

16、周边支承方式有关。工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。c. 强度:简支固支sss1.23pR2max r0rmaxmaxt2ffpR2maxrRrmax0.752tsrm a x1. 65frm a xd. 刚度:周边固支的圆平板在刚度和强度两方面均优于周边简支圆平板e. 薄板结构的最大弯曲应力与 R2t成正比，而薄壳的最大拉( 压) 应力m a xm a x与 R t 成正比。故在相同 R t 条件下，薄板所需厚度比薄壳大。二、承受集中载荷时圆平板中的应力F挠度微分方程式（2- 60）中，剪力 Qr 可由图 2- 35 中的平衡条件确定： Qr2 r采用与求解均布载荷圆平板应力相同的方法，可求得周边固支与周边简支圆板的挠度和弯矩方程及计算其应力值MrFMrrQrQr图 2- 35 圆板中心承受集中载荷时板中的剪力 Qr3. 4. 4 承受轴对称载荷时环板中的应力 通常的环板仍主要受弯曲，仍可利用上述圆板的基本方程求解环板的应力、应变，只是在内孔边缘上增加了一个边界条件。 当环板内半径和外半径比较接近时，环板可简化为圆环。圆环在沿其中心线（通过形心）均布力矩 M作用下，矩形截面只产生微小的转角 而