第一单元层次分析法——AHP简介

1、第一单元 层次分析法AHP简介第一单元层次分析法一AHP简介（The Analgtic Hierarachy Process-AHP）前言最优化技术在决策分析中占着极重要的位置，数学模型在最优化技术中占着统治地 位；由丁系统越來复杂，数学模型也越来越复杂，掌握运用困难很多，并且随着复杂性 增加，模型解与实际要求距离也在增加。事实上，数学模型也非万能，决策中大量因素 无法定量表示，所以，有时人们不得不回到决策的起点和终点：人的选择和判断， 需要认真地研究选择和判断的规律，这就是AHP产生的背景。匹兹堡大学Saaty教授于七十年代中期提出层次分析法AHP。于80年代初由Saaty 的学生介绍到我国

2、。层次分析AHP的特点：1. 输入信息主要是决策者的选择和判断。决策过程充分反映了决策者对决策问题的 认识；2. 简洁性：基于高中知识，可不用计算机完成计算；3. 实用性：能进行定量分析，也可定性分析；而通常最优化方法只能用于定量分析;4. 系统性：人们决策大致分三种：（因果判断、概率推断和系统推断），AHP把问题看作一个系 统屈于第三种，真正要搞清楚AHP原理，需要深刻的数学背景。好在我们只重应用， 并不过多涉及AHP的数学背景。AHP的主要不足在于：1. AHP只能用于选择方案，而不能生成方案；主观性太强，从层次结构建立，判断 矩阵的构造，均依赖决策人的主观判断，选择，偏好，若判断失误，即

3、可能造成决策失 误。规划论采用较严格的数学计算，把人的主观性降到最低程度；但有些决策结果 令决策人难以接受。AHP从本质上讲是试图使人的判断条理化，所得结果基本上依据人的主观判断, 当决策者的判断因受个人偏好影响对客观规律歪曲时，AHP的结果显然靠不住，所以， AHP中通常是群组判断方式。尽管AHP在理论上尚不完善，应用中也有缺陷；但由于AHP简单、实用，仍被视 为是多目标决策的有效方法，至今仍被广泛应用的一种无结构决策方法。 1 AHP预备知识（一）1. 特征根与特征向量设Af,为“阶方阵，若存在常数2和非饗维向量X = ,g2，A,g，使得Ag =Ag（1）则称，2是矩阵A的特征根（或特征

4、值），非寥向量是矩阵4关于特征根2的特征 向量。1.1特征根的求法由（1）得戚-励=0 n（4-征逆=0,这是一个元一次线性齐次方程组，按题 意该方程组有非零解，则其充分必要条件为：系数行列式为零，即|A-2E| = 0（2） 称(2)式为矩阵A的特征方程，它是一个一元7Z次方程，由代数基本定理知，该方程 有且只有/I个根。2. 重量模型设屿,“2,A ,叫为个物体,重量分别是gi，g2，A，gu。但是，我们并不知道物体的重 量，只知两两之间重量比的比值：设准则C为重量，问题是：已知阴(1GJS),在准则C下对元素绚,“2，人，冷排序，也就是按其重量大小排序 已知。Agi 828nA=kL =

5、邑邑Agl82gnMM0M邑邑A邑Is8 n y(1) a, 0(2) a.=a p(3)a* = aik显然a”满足(1) (2)：但是，(3)式通常不被满足，满足(1)、(2)的A为正互反矩阵；满足(1)、(2)并且(3)也成立时的称为一致性判断矩阵。问题是：已知判断矩阵A,在准则C下对n个物体排序。即按重量大小排序。如果，a 是，gj, g,是重量的精确值，此时(3)式必定成立，即A是一致 g性矩阵。令7g=(g|g2 A gj则 Ag = ng显见h是方阵A的特征根,g是A的与2 = n对应的特征向量;事实上此时不难验证: 川是方阵A=(a的最大特征根，其余小个特征根全为零，而g是4的

6、与最大特征根卅 对应的特征向量。(证明见附录)g的个分量是物体的相对重量，因此，可按此对 “1，2，A，鸣排序。如果对矩阵4有一个小的扰动，即勺不再是真实重量的比值，这时显然A不满足一 致性条件，此时A的最大特征根2唤不再是皿因扰动很小，自然血疵离不远，这时2唤 对应的特征向量虽然不会是个物体的真实重量& = (gi，g2, A,g,J，但是，变动也不会 太大。我们设想：如果扰动不大，则乂小离几就不远，此时人疵对应的特征向量Q与g 差不多，如果g不改变g的各分量的大小次序，则Q同样给出门个物体均上2，人，冷按 重量大小的真实排序。这样，对不满足一致性的止互反矩阵A = (. )_,我们求其最大

7、特征根2唤，再求 与人疵对应的特征向量小 则可按g对几个物体绚上2，人，冷按重量大小排序。但是，这 一番理论有儿个疑点：当月不满足一致性时，还有没有最大正的特征根：既使川有最大特征根，那么，这个最大特征根血瘁对应的特征向量的全部分量能否还是正数？ 因为，该特征向量的各个分量对应的是71个物体的相君重量（特征向量乘一个非零常数 仍是特征向量）。因为矩阵代数中Perro-Frobineus理论明确地回答了这个问题。Perro-Frob i neus 定理：1. 正矩阵存在重数为1重的正特征根，其它特征根的模均小于这个正特征根，该正 特征根对应的特征向量可以全部由正分量组成，经“归一化”处理后该特征

8、向量是帷一 的。（证明略）Perron定理明白地告诉我们，对正的互反矩阵A,既使它不满足一致性，也一定存 在最大正的实特征根，它对应的特征向量的各个分量都可以是正数，并且“归一化”后 是帷一的。但是，我们能否按这个归一化”后是帷一的特征向量对n个物体按重量大 小排序呢？或说这个“归一化”后的特征向量是否会改变扰动前的一致性矩阵A的最大 特征根几唤二対应的特征向量的各分量间大小的排序呢？这个问题太难了，人们简宜难 于正面明确地回答，而只能给出一个并不是十分令人满意的简接回答。那就是对判断矩 阵A = aj的一致性满意程度进行检验：我们说过，由于对A不大的扰动，最大特征根离n不应太远，所以一致性检

9、验自然 与有关。我们可以证明：只要A的一致性不被满足，那么A的最大特征根2唤一定比 几大，即2皿-心0。（证明略）令n 1显然，我们希望C./尽量小；但是，C.小到什么程度，才能使人ax与n对应的特征向 量“归一化”后各分量大小次序不被破坏呢？这仍是一个非常非常困难的问题，可以说, 人们难以正面回答这个问题。为此，Saaty给出了平均一致性检验值也。我们重复1000 次，对随机判断矩阵A的最大特征根进行计算后求取算术平均值得到如下平均随机一致 性检验指标如下：令当 C.R. 0.1 时,CR =C.I.R.I.认为判断矩阵A的一致性是可以被接受的。亦即当阶数123456789101112131

10、415R.I.000.520.89121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59C/?.0.1时, AHP不再适用，这时，只能回头考虑，变更递阶层次结构，或对判断矩阵A重新赋值。1-3第一单元 层次分析法AHP简介由此得层次分析法AHP的步骤如Fo结论：1. 给了 A后求2叫及相应特征向量；2. 将特征向量“规一”后，即得排序向量；3. 排序向量是否可信，须进行一致性检验，若检验难过则可信；否则重新检验A。 2 AHP的基本步骤用AHP解决问题，有四个步骤：1. 建立问题的递阶层次结构；2. 构造两两比较判断矩阵；3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重；4

11、. 计算各层元素组合权重，并进行一致性检验。下面通过一个应用实例说明AHP的每个步骤的实施。4HP决策方法应用实例例：某闹市区一商场附近交通拥挤。目标G：改善该街区交通环境。有三种方案可 供选择：A,：修天桥或修高架桥；A2：修地道；A3：商场搬迁。选择方案的准则有5个：c,：通车能力；c2：方便市民；c3：改造费用；安 全性；c5：市容美观。试用AHP方法决策决策步骤：一、建立递阶层次结构;1目标层2.准则层3.方案层递阶层次结构中，每一层的每一个元素均是下一层中每个元素的准则。 二、构造两两比较判断矩阵在单准则下分别构造，即在G下对c, c2 c3 c4 c5,构造A；分别在c, c2 c

12、3 c4 c5下对A A2 Aj构造A 在单一准则下，如何具体构造两两比较判断矩阵4 =（勺）呢？即如何具体确定比值勺 呢？在4HP中采用1-9比例标度法。2. 1关于1-9比例标度n个元素吗上2,A ,知，两两比较其重要性共要比较件U次。第i个元素冷与第j 个元素重要性之比为勺o问题是如何得出勺的值。4HP采用1-9比例标度来确定勺； 这是AHP的特点，也是优点。本来，个元素比较-1次，即可确定顺序，为什么要比 较气U次呢？这是由事物的复杂性和决策人的局限性决定的，事实证明，n个元素按2重要性只有两两比较，才能揭示重要性的内在规律，仅仅比较“-1次是决然不行的，因 为只比较次，其中若有一次失

13、误，则排序就将遭到破坏。而两两比较可减少失误。1-9比例标度表aij = 1表示给与勺重量相同，或重要性相同；a 31)J表示均比稍重；aij =5表示比幻明显重;a =71)表示旳比幻强烈重;a =9 y 夕表示均比知极端重；数2、4、6、8则为上述判断的中值。两两比较两个元素的重要性，总是在某种准则（准则层比较是以总目标G为准则， 方案层比较，分別以准则层中各元素为准则）下进行的。至于为什么取1-9比例标度， 而不取别的，是因为人们直觉最多只能判断出9个等级的差异，再细的差异，人的直觉 是分辨不出来的，而两两比较判断矩阵是领域专家靠感觉去分辨和构造的。从理论上讲, 用1-15比例标度也未尝

14、不可，只是人的直觉分辨不出。对料个物体，两两比较其重要 性得判断矩阵A = （,）_,显然呦满足：共计如个判断，所以A是正的互反矩阵，且对角线上元素为I,这样的阶矩阵可表示为上三角或下三角矩阵。但人的元素知通常不具有传递性，即这是由事物的复杂性和人的认识的局限性造成的。 如果aeajk =aik成立，则称A是一致性矩阵。从判断矩阵A出发到导出元素在某种准则C下按重 要性大小的排序，矩阵A的一致性起着至关重要的作用。按着1-9比例标度的上述说明，具体构造应用举例的六个准则下的两两比较判断矩 阵分别为：G通车C|方便C2费用C3安全市容5通车q13535方便c21/31313费用c31/51/31

15、1/33安全c41/31313市容1/51/31/31/31通车能力C|&%方便C2A天桥115天桥135地道115地道a21/312搬汪舛1/51/51搬迁州1/51/21费用A,鶴安全A天桥A,147天桥A,11/21/3地道a21/414地道a2211搬迁a31/71/41搬迁九311市容A天桥舛11/21/3地道a2211搬迁311三、计算单一准则下各元素的相对权重对给出的共6个正互反矩阵，分别求人疵(2)与人唤对应的特征向量并归一化得排序相对权重向量。(3)每个矩阵求2唤后，都要进行一致性检验。例如：1.以q作准则的判断矩阵为:115、A= 115因阶数低，可直接求出最大特征根。由于

16、A是一致的，知2_=3,.1/5 1/5 1?其它的特征根均为0。下而来验证这一点:1-21511A-AE 1=11-25=11 21/51/51-/11/51/51-17+ (久)(2? 22)=(-2)2=(-2)2(2-2)2.考虑：准则C2下的久显然A不满足一致性，如如23 = 3x2 = 6h。13 = 5 r 13由人=1/31J/5 1/25)21-235135A-AE 1=1/31-22=1/31 A.21/51/21-21/51/21A135=021/3+(-2)(才-22)+ (久)0 -1/101-2 21/21-2=(莎+討3)2(2_刃 = (/) +勿+才(2-刃由

17、于人出现一个小的扰动而不满足一致性，此时不能再有2_=3,而是2_3,这 是，通常用迭代算法求解出血疵再进行一致性检验。3.1补充：求最大特征根的迭代算法步骤1：对4 =（勺）加，设初值向量为：吧=人陷 伙=12 A）步骤2:计算迭代过程中，每一个W-均是“归一化” 了的。步骤3：对预先设定的阀值0,计算使时，则停止，否则继续。其中，光,是向量的第个分量。步骤4：计算由此求出最大特征根2唤，以备作一致性检验用。在此，归一化后的叫便是排序 向量。关于用迭代法求血皿的思路1.由设W是“归一化”了的，由Perro/i定理知与血瘁对应的特征向量归一化后是帷一的,所以，令n 1 n-,A -彳n nn)

18、=Wkk = 1,2,A每迭代一次得瓦，将西归一化后作为下一次迭代初值，直到 max陆- W（_）v e为止，则叫就是帷一的归一化后的特征向量。结合上述具体例子，进行AHP的第四步四、计算各层元素的组合权重1. 设第一层元素相对于总目标的排序权重向量为：a =,amY （本例中 m=5）第2层在第一层/元素准则下的排序向量为：片=（%,矚,A 比）（j = l,2,A 9m）（本例中 n=3）令 /=（彳，皆,A,）（m=5）则第2层如=3）个元素相对于总目标的组合权重向量为:在本例中为:最后得到的（*,*,*）就是方案A、B、C在总目标G下的排序向量。2.对于递阶层次组合判断的一致性检验我们

19、要逐层计算C./.,若得到第一层的计算结果为：C./.j /?/C.R.则第二层的相应指标为：C./.2 =（C./.；,C./；,A ,（7./.泪R2A RI；）a本例中加=5,则CR2= C.R.、+也r.i.2上面c/；和/?/；分别是第一层第i个准则下判断矩阵的一致性指标和平均随机一 致性指标。当C.R.2 uj ,含意是两者比赛完后陽得分“比知得 分“力多，即旳胜了；若判断矩阵（如）满足：当U. uy , uj uk时，有ut uk,则称判断矩阵；）”“=“具有一致性。注意：冷,/,而uk 在此并不罕见，即甲胜乙、乙胜丙，而丙胜甲的 连环套是常有的。一致性矩阵的含意是：全部比赛未出

20、现“连环套”的情况，允许甲大 胜乙，乙大胜丙，而甲仅仅小胜丙的情况出现。此时重量模型的一致性不被满足，但是 球赛的一致性却可以被满足，故球赛型比重量模型的两两比较判断矩阵的一致性要求要 低很多。给的总得分f严乞氏，显然n111=-n（n-）总共比赛一/1（川一1）场，共得一咻一1）分。/.I222叫=咻_1)*（在得分准则F）称叫为相对权向量，以上讨论可由下表给出:准则C2 Un12 如wc“2“21“22 “2“)rn2hh0NhUn人2 Pnn由于两两比较测度判断矩阵的一致性是；两两比较比例标度判断矩阵nxn（勺）,“的一致性要求aajk=aik，显然在AHP的判断矩阵的一致性要求高，通常

21、的判 断矩阵的一致性不被满足；而AHM的判断矩阵的一致性要求很低，只要甲比乙强、乙 比丙强，则甲比丙强，至于强多少没有具体要求，所以一致性要求低，在AHP中一致 性不被满足时，对应到AHM时一致性却经常可以被满足，并且一致性可从可）自身 中观察检验，通常有下述定理：定理（一致性判定定理）若1,兀 0.5g（x）= 0, x0.5,即i比丿强，所以，/, 非空是指i不是最小者。证明：必要性，若一致性成立，即则洛纵成立。因此ut uk知 pik 0.5=g（/,J = l,所以（1）成立。、充分生若厶非空是，g（如）-g工仏J AO （kUk丿是，有w, Uk O证：因为/,非空，j G /.知，

22、冷 Uj ,又因为Uj uk知非空，且“必 0.5 , Z、知g工ingSQi，所以ui uk 证毕。冋 丿应用中不必用此定理，对（呦）进行逐行检验即可验证。注：比赛模型有两类：一类如田径、游泳、跳水、体操运动员的成绩可以单独测 量出来；另一类如击剑、拳击、球赛，只有通过两队比赛才能定出来。重量模型、球赛 模型反映了这两类不同的比赛。模型不同，处理方法不同：AHP用特征根法，AHM则不用。用特征根法则要求判 断矩阵A = M 的一致性被允许条件下，由比较测度矩阵A转化换后求出导出测度w, s nxn才是重耍性排序权向量。AHM中的比较判断矩阵“=（厲）通常是难以求出的，但可由AHP中的比较判断

23、矩 阵A = （a,）中导出:转模公式为：A妙+ 1如=“承+ 10.52k2k+ 112110.50au = k1当0TOO时,相当于两队比赛，一队胜得1分, “力 T 0定，如0=2如上右式。k=9,如=0.9474,这相当于全胜，极端强：2, “ =0.8,微强；3,如=0.857,稍强；k=5,如=0.909,明显强；k=0 “” =0.923,特别强；另一队败得0分，当“取通常情况下0 = 2比较合适。有了上述定理（或从（“”）中直接）检验一致性，就可以应用AHMo实际上当（均）一 致性成立，就可用来按分量大小对他排序；综合得分率最高者认为名次在前。事实上，当判断矩阵“ 不满足一致性

24、时，仍然可以计算各队的得分率，并按得分率对各队排序也是可以的，故 一致性检验是非本质的。AHM层次决策例仍用“AHP”的例子，某闹市区一商场附近交通拥挤。目标G：为改善该街区交通 环境。有三种方案可供选择：A,：修天桥或修高架桥；A2：修地道；A3：商场搬迁。 选择方案的准则有5个：q：通车能力；c2：方便市民；c3：改造费用：c4：安全性; c5：市容美观。两两比较的比例标度判断矩阵如前。问题：选择哪种方案？解：1、建立递阶层次结构：2、单一准则下的相对权向量转换公式：2k2k+ 10.50G通不C|方便C2费用安全q市容通车C00.8570.9090.8570.9090.3530方便C20

25、.14300.8570.50.8570.2360费用c30.0910.14300.1430.8570230安全c40.1430.50.85700.8570.2360市容c50.0910430.1430.14300.0520通车能力A方便C2人2天桥00.50.9090.47天桥00.8570.9090.589地道40.500.9090.47地道0.14300.80.314搬迁().()91().09100.06搬迁().0910.2()().0975A人2E沪）A00.8570.9091.7660.5887人20.14300.80.9430.31430.0910.200.2910.0970比如

26、计算准则5 （方便市民）按下面方法2费用C3Aa2W刊天桥00.8890.9330.067地道0.11100.8890333搬迁0.()670.11100.()6 n安全c4A天桥A00.20.1430.114地道a20.800.50.433搬迁a30.8570.500.453市容JA%令沪天桥A,00.20.1430.114地道舛0.800.50.433搬迁a30.8570.500.453准则c“2 %nU2“21“22 “2”hKh0NhPn“”2Anni-ln(n -1)2n(n-)h2丿 7 A!A2 tz戶/円卜排序权重，上述比较矩阵显然满足一致性条同理得准则G, q , c2 9 c3 9 c4, 件。3、计算各方案对冃标的合成权重即:0.353、0.47 0.589 0.607 0.114 0.114、0.2360.412、0.47 0.314 0.333 0.433 0.433023=0.406、0.06 0.0970.060.453 0.453,0.23