计画名称高等几何动态化研究(三)

1、、計畫名稱：高等幾何動態化研究(三) 計畫編號：NSC、關鍵詞：動態幾何、綜合幾何、教育工學、幾何教學、JavaSketchpad 動態 gif、論文摘要本計畫已經透過網際網路(http:/p on celet.math .n .tW. 以JavaSketchpad的型態發表超過 200幅的網頁。為了吸引較為被動 的使用者，我們也增添的大約100 幅的動態gif檔。這些新完成的檔 案令使用端不需要桌面式的 Geometer s Sketchp軟d體也能夠 透過網路瀏覽器體會到互動式的 幾何實驗。到目前為止整個計畫 已經累計超過1000頁的動態幾何 網頁。透過演講、示範、講習會 與

2、指導科展與網頁傳播，本計畫 已完成原本的遇期目標。AbstractWe have published more tha n 200 webpages of JavaSketchpad over the In ternet(http:/p on celet.math .n .tW. These webpages are used to distribute in teractive dyn amic geometry activities and curriculum. Users who may not have desktop Geometer s Sketchpad can

3、now access our work through a wired computer. For the passive lear ners, we have also created some 100 animated gif files illustrating various geometric prin ciples and phe nomena. We have now accumulated over one thousa nd主持人：全任重執行機關：國立清華大學in dividual webpages devoted to dyn amic geometry. Our proj

4、ect has achieved its goal accompa nied by the lectures,dem on stratio n-workshops, min i-courses and supervisi on of scientific projects.四、 計畫目的(1)開發幾何學裏能夠進行動態模擬 的素材，並且對材料進行教學法 的加工，使之形成教材。(2)提倡借助圖形直觀形象來進行邏 輯推理。(3)把握數學之建構主義(constructiionism)的精神，鼓勵正 向的數學思考與猜測。融合綜合 幾何之研究課題於動態幾何裏。五、 研究方法(1)針對可構造(constru

5、ctive)數學題 材研究其動態化。原因：存在性的 數學命題不適合作電腦動態模擬。(2)探討之數學題材以1900年左右出 版之論文和書籍為主，近代數學 缺乏動態模擬之素材。(3)應用網際網路探討遠距教學之科 技應用於幾何動態模擬之可行 性。六、 重要的結果與討論(1)結果(a)完成JavaSketchpad檔案共計兩百 個，置放於：http:/p on celet.math .n .tw/dis k4/jsp-all/jsp.html(b)完成animated gif檔共計93幅，置放於：http:/p on celet.math. .tw/chu an /zoo

6、/toc.html(c)指導暑期中學教師進修班學員 60 名完成動態幾何網頁，置放於： http:/p on celet.math. .tw/chu an/99s/(2)重要的結論(a) JavaSketchpac提供了非常重要的 新的動態幾何環境。在該環境下使 用者不需要桌面式的Geometer s Sketchpad軟體也能夠透過網路瀏 覽器體會到互動式的幾何實驗。當 前除了 Windows作業系統以外，我 們所製作的的JavaSketchpad當案 也能夠在傳統學術界所熱衷的作 業系統UNIX裏展示。過去幾年我 們在動態幾何所作的努力也由這 種跨越平抬的發展而能夠更發揚

7、光大。(b)由暑期教師進修班所製作的網頁中，我們發現到animated gif檔是 在網頁設計裏最能夠吸引注意的 地方。當動態幾何的圖形以 animated gif的型態呈現時，我們可 以主動的強迫閱讀者接受動態的 幾何訊息。除了引起瀏覽者的好奇 心以外，我們也同時在他們的腦海 中栽培幾何推理的原動力。當今進 入書店時，我們必然會見到人們最 熱衷的讀物是漫畫書。這表示：人 們相當樂於透過圖形接受各類的 資訊。我們相信：動態幾何以 ani mated gif檔案的形式展示將給 予人們龐大的想像空間。(3)重要的建議，研究或實務及政策上 應用(a)當今問世的百科全書都以電子書 籍的形態出現。當我們

8、翻到與數學 相關的討論時，所見到的插圖幾乎 都是靜態的圖片。在我們計畫所完 成的 JavaSketchpad檔及 animated gif檔都能夠直接呈現在這類的文 獻裏。假如百科全書的出版者希望 他們的讀者感受到動態幾何的訊 息，或者能夠透過滑鼠達到互動式 的幾何教學效果，最簡單的辦法就 是採用本計畫所研發出來的成果。(b)由於傳統的數學論文都以TeX的 形態呈現，而目前由TeX轉換成如 MathML的形態使得任意瀏覽器都 能透過網路如意的呈現進行得並 不十分順暢。因此，數學教師當今 並不能夠很順利的進行遠距教學。大家可以考慮數學遠距教學的 另一個形態：不要強調文字及符號 的表達，而強調透過

9、圖片來表達數 學概念。我們的研究成果顯示：無 論靜態或動態的圖像，網路以經可 以迅速、清楚的傳遞到使用者面 前，而收訊者只需要非常單純的可 上網電腦即能接收教學內容。(c)幾何教學乃是當今國內各師範大 學及院校最無法掌握的數學課程。據說大多數的中學教師也承認 不知道要如果去教幾何。或許數學 教師們應該利用進修機會參加動 態幾何的工作坊，聆聽動態幾何的 演講，上網作動態幾何實驗，亦或 買台電腦來玩GSP他們的確需要 將自己浸入動態幾何環境來培養 功力。(d)我們曾經致力於 Cabri Geometry的 研究，並且也於五月期間與該軟體 的作者Jean-Marie Laborde討論該 軟體之最新

10、發展狀況及中文化之 可行性等事宜。然而當今最令人失 望之事是 : 目前 Cabri-java 環境下 並不能夠呈現軌跡，而我們的研究 內容卻幾乎無法脫離軌跡的製 作。再者，國內尚無 Cabri Geometry 的代理者，在中文 Windows 下某些 符號及文字無法正確的顯示，對於 推廣該軟體我們面臨極大的困 難。雖然由歷史的角度與學術角度 看來，Cabri Geometry 比 Geometer s Sketchpad更為優秀，可是以現實狀 況評估，我們只能以等待作為 對策。(e)為了促進動態幾何落實於校園 裏，計畫主持人曾經由台北到屏東 到各地演講。其中有些學校為了推 廣 GSP 而購買

11、校園版本來迎接演 講，也有學校在各機器上安裝免費 的策試版，而大多數的學校則以好 奇的心情觀看演說者作秀。至於網 路的連線方面，似乎以竹苗地區因 為與交大連線所以特別通暢。我們 明顯的感受到不同地區面對不同 程度的資訊氣候。而影響這些氣候 的因素往往與數學教師有密切的 關係。辦得好的學校的背後大致都 存在一位對資訊感興趣的數學教 師來協助準備演講所用到的設備。JavaSketchpac雖然能夠不受作業 系統的限制將動態幾何的環境設 立於每一台上網的電腦，可是比較 起桌面式的 Geometer s Sketchpad 它卻具有若干缺點：1.使用者不容易透過JavaSketchpac的 原始文字檔

12、來瞭解動態圖形的設計 原理，令人有知其然而不知其所 以然的感覺。2. JavaSketchpad目前仍然處於測試階 段，在設定軌跡時會呈現出不符合 幾何定義的缺口或作不恰當的連 接。雖然我們能夠透過精心的設計 避免某些缺陷，可是依然存在一些 無法由數學方法來處理的瑕疵。3.執行計畫的時候我們享用最先進的 電腦來測試及修改。然而典型的中 學電腦室的電腦配備的速度只有設 計環境的三分之一。目前並沒有快 速的Java Engine當中學電腦實驗 室興高采烈的找到我們的動態幾何 首頁之後，接著下來的感受可能以 意識到了來形容慢如牛步的動 態展示。雖然如此，JavaSketchpad卻能作到若 干桌面式

13、的 Geometer s Sketchpa所不 能作的事:1.熟悉GSP的使用者很容易的透過 script 功能將作圖的過程逐步的重覆 一番。假若設立動態幾何圖形的目 的是促使幾何思考而不是背誦，透 過history playback功能則有點像考 試作弊那般的背道而馳。由此看 來，JavaSketchpac可以用來設定理 想的動態幾何考試環境。2.在GSP環境下使用者可以選擇進行 多種類的作圖動作。往往就是因為 選擇的自由度過大而模糊了幾何實 驗的目標。在JavaSketchpac環境 下，我們能夠控制使用者集中注意 力於某特定的物件作實驗，令人明 確的感受到探討的目標。3. JavaSke

14、tchpac必定位於網頁的Java Applet 區域中，因此呈現時就可以 很自然的將相關的資料及 hyperlink 的按鈕集中在一起，瀏覽時有一體 成型的感覺。七、計畫成果自評(1)本計畫的研究內容與原計畫相符 程度達95%我們沒有預料到 JavaSketchpac的測試版已經能夠 達到如此令人滿意的程度，因此沒 有在申請計畫的時候強調Java語 言對本計畫有何影響。我們也沒有 預料至U Cabri Geometry forWindows是如此的令人失望。Cabri-java既不能展示軌跡，連 Cabri Geometry本身也無法在中文Windows下正確的顯示文字。(2)達成預期目標情

15、況：(a)比起去年同時我們已添增超過 500 頁的動態幾何網頁(http:/p on celet.math .n .tw)，增添了各題材彼此之間之 hyperli nk，增添了各題材與其他數 學學習領域(如Maple V、試算表、Turbo Basic、Derive)彼此之間之 hyperl ink(http:/www.math. .tw/li nks/t oc.html )，增添不需要安裝特殊軟 體即可看到動態模擬的JavaSketchpad及 animated gif 檔。(b)仍然繼續研發幾何學裏能夠進行 動態模擬的素材。就如同數學研究 一般，我們不能預測何

16、時會發現數 學定理，但是專業的知覺告訴我 們:可以探討的資源依然相當的豐 富。(c)依據我們的瞭解國外各學校及研 究機構所設立的動態幾何網站的 內容都不如我們的豐富。原本想對 於各相關網頁作評估，並且將評估 的結果發表於Springer-Verlag出版 之國際科教e-journal中。但是不幸 該e-journal的計畫由於1999年1 月1日Springer-Verlag被賣掉而胎死腹中。(d)過去一年計畫主持人的所得稅扣 繳憑單多達20份，其中大部份都 是應各校之邀請前往作專題演講 介紹動態幾何及舉辦講習班的所 得。演講內容可見：http:/p on celet.math .n thu.

17、edu.tw/chu an /talk/(e)以 International Program Commettee 成員身份參加1998年在日本舉辦 之亞洲數學科技會議ATCM 8(http:/www.ru /atcm/ATCM 98/i ndex.html)。本計畫主持人發表 論文 Allowing the Uses of the Computer in a Mathematical Competiti on(http:/www.ru /atcm/ATC M98/ATCMA043/abstract.html )、主 持講習班 Tutorial on Dynamic

18、Geometry(http:/www.ru /atcm/ATCM 98/ATCMT001/tutorial.html)及講 習班 Mathematical Visualization with Maple(http:/www.ru /atcm/ATCM 98/ATCMT014/tutorial.html)(f)指導學生黃志芳完成碩士論文圓 錐曲線的公切線相交點與焦點， 指導學生葉千雅完成碩士論文圓 的內外擺線的性質及應用。於清 華大學數學實驗、幾何作圖、微積分等課程裏傳授本計畫的 研究成果。(g)輔導建台中學學生陳靖塘以、Ce nters, Euler Line,

19、Feuerbach Circle and Conjugate Euler Line of a Triangle爲題參加國際科展50th Intern ati onal Science and Engin eerFair,榮獲二等大會獎及三等America n Mathematical Society 獎。(3)研究成果的學術及應用價值(a)學術價值1.在動態幾何的領域裏，我們無法由 別的網頁或文獻裏找到以下的數學結 果。動態幾何極有可能因為這些成果 增添學術上的深度。圓之內、外擺線的相切構形及其動態 模擬：2.在數學概念裏，心臟線、腎臟線、 星狀線、三角線等都具有獨立的定義 及特徵，能夠找到一

20、個有意義的定理 同時含蓋這四條重要的圓之內、外擺 線是一件極具趣味的課題。我們的成 果以動態的方式說明這件事。相關的 資料可見：p-all/tight.htm3假如兩圓具有以下性質：其中一個 圓的某一內接四邊形與另外一個圓相 旁切。則存在無窮多個四邊形內接於 第一圓同時與第二圓相旁切。http:/p on celet.math .n .tw/disk4/jsp-all/ex-quad.htm這是Poncelet s Pori的m許多類型的 其中的一種。在JavaSketchpad的環境 下使用者得以任意調整兩圓大小的比 例。即使是靜態的圖片，我們也無法 由文獻裏找到。4.一對相同大小的心臟線其中心距離 維持得恰好等於直徑的長度作同步旋 轉，則這兩條曲線彼此正交而其交點 延著一個圓圈移動。http:/p on celet.math .n .tw/disk4/jsp-all/2card2.htm同樣的道理，我們獲得以下的同步 旋轉且彼此正交的心臟線與腎臟線 現象：http:/p on celet.math. .tw/disk4/jsp-all/