2-1结构动力学(单自由度)

1、2.2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动Free Vibration of Single Degree of Freedom Systems第二章第二章 单自由度体系的振动单自由度体系的振动1. 无阻尼自由振动无阻尼自由振动)(tFkyycymP P c =0, FP(t)=00 kyym 这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映实际这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映实际结构的一些动力特性；结构的一些动力特性；可以与有阻尼情况加以对比，以便更好地可以与有阻尼情况加以对比，以便更好地了解阻尼的作用。了解阻尼的作用。为什么要讨论这种简单模型？02yy mk2（1）

2、方程的解）方程的解02yy mk2 0000yyyv代入初始条件代入初始条件通解通解tCtCysincos21得动位移为得动位移为tvtytysincos)(00tAty sin)(20202020vyyyA0000arctanarctanvyyytvtytysincos)(00初始相位角初始相位角振幅振幅（amplitude of vibration）（1）方程的解）方程的解y0ty-yTTTvvyt0yt0 A-AtycostvsintAsintAty sin)( 振动将以振动将以一个连续地一个连续地定常幅度振定常幅度振动。经过一动。经过一固定时段又固定时段又恢复原运动恢复原运动状态。状态

3、。 （2） 结构的自振周期和圆频率结构的自振周期和圆频率 （natural period and natural circular frequency ）周期周期2T频率频率12fT圆频率圆频率完成一次振动需要的时间完成一次振动需要的时间单位时间内完成振动的次数单位时间内完成振动的次数22个单位时间内完成振动的次数，或个单位时间内完成振动的次数，或单位时间内转的周数单位时间内转的周数22fTstygWgmmk1 频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素无关，是体系本身固有的属性，所以又称为无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率固有频率（nat

4、ural frequency）。）。gykmTst22？（2） 结构的自振周期和圆频率结构的自振周期和圆频率 （natural period and natural circular frequency ）（3）简谐自由振动的特性）简谐自由振动的特性)sin()(tAty加速度为：加速度为：)sin()(2tAty )sin()()(2tmAtymtFI 在无阻尼自由振动中，在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力位移、加速度和惯性力都按都按正弦规律变化，且正弦规律变化，且作相位相同的同步运动作相位相同的同步运动，即它们在同，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。一时刻均

5、达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。惯性力为：惯性力为：它们的幅值产生于它们的幅值产生于1)sin(t时，其值分别为时，其值分别为：Ay 020Ay 20mAFI 既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间此时方程中将不含时间 t ，这样就把，这样就把微分方程转化为微分方程转化为代数方程代数方程了，使计算得以简化。了，使计算得以简化。（3）简谐自由振动的特性）简谐自由振动的特性例题例题例例1 求图示伸臂梁体系的自振频率和周期求图示伸臂

6、梁体系的自振频率和周期m312122232222328lllllllEIEI 33828EI mlTmlEIEIll/21l/2解解(1) 静定梁，采用柔度法静定梁，采用柔度法(2) 画质体单位力下的弯矩图。画质体单位力下的弯矩图。(3) 弯矩图自乘，求柔度系数。弯矩图自乘，求柔度系数。(4)例例2 求图示单层刚架的自振频率和周期求图示单层刚架的自振频率和周期EIEI1=EImk116i/h6i/hk1112i/h212i/h2h体系单位侧移时的弯矩图隔离体解解(1) 超静定刚架，采用刚度法超静定刚架，采用刚度法(2) 画质体发生单位位移时的弯矩图。画质体发生单位位移时的弯矩图。(3) 取隔离

7、体，列平衡方程，求刚度系数取隔离体，列平衡方程，求刚度系数224ki h(4)2224224i mhTmhiABCDEI= l /2 l /2lmm 1mm312kBCk1m2m01IFSF02IFklFlmlmAmFlmAmFSII2222222211012233202km0BM02320201lFlFlFSIImk例例3 求图示体系的自振频率求图示体系的自振频率解：解：在振幅处列平衡方程在振幅处列平衡方程练习练习1. 计算图示结构的自振频率。计算图示结构的自振频率。mEI l /2 l /2mEI l /2 l /2mEI l /2 l /21? 2 ? 3= 1 ? 1.512 ? 2

8、结构约束越强结构约束越强, ,其刚度越大；刚度越大其刚度越大；刚度越大, ,其自振动频率也越大。其自振动频率也越大。2. 求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。mEIllm/2EIEI3332231mlEIEIlmEIl311323. 质点重质点重W，求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。EIkl3113lEIkkgWm/gWlEIk33lEAEIEI1=lm4. 求图示体系的自振频率。求图示体系的自振频率。2. 有阻尼自由振动有阻尼自由振动)(tFkyycymP P FP(t)=00kyycym 2 ,2mcmk022yyy 022yyy 特征方程特征方程0222122, 1特征

9、根特征根一般解一般解tteCeCty2121)(2. 有阻尼自由振动有阻尼自由振动（1）= 1（临界阻尼）情况（临界阻尼）情况tetCCy21tetvtyy00)1 (这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。y(t)tOvtan2, 12mcmc2mcr2 , 1阻尼比阻尼比rcc（2） 1（强阻尼）情况（强阻尼）情况 1212tty tC eC e21,210tCtCetyt 1cosh 1sinh)(2221 阻尼过大阻尼过大, ,由于外界干扰积聚的能量全部用于消耗阻尼由于外界干扰积聚的能量全部用于消耗阻尼, ,没有多余的能量再引起的振动。实际工程中一般

10、不会出现。没有多余的能量再引起的振动。实际工程中一般不会出现。y(t)tO（3） 1（低阻尼）情况（低阻尼）情况22, 11i令令21d)sincos()(21tCtCetyddt由初始条件确定由初始条件确定C1 和和 C2设设vyyy)0()0(得得dyvCyC00201 tyvtyetydddtsincos)(000)sin)(tAetydt(00020020arctanyvyyvyAddytOAnAn+1tAeddT2 1. 衰减性振动；衰减性振动；2. 非周期性振动；非周期性振动；3. 质点两次通过平衡位置质点两次通过平衡位置的时间间隔相等。的时间间隔相等。)sin)(tAetydt(

11、21d阻尼对自振频率、周期的影响阻尼对自振频率、周期的影响ddT2在工程结构问题中，若在工程结构问题中，若0.010.1，可近似取可近似取:TTdd ,TTdd ,ddTTttkkeAeAeyykk)(1)sin)(tAetydt(阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响22lnln1ddTkkTeyyd称为振幅的对数递减率称为振幅的对数递减率2ln211kkyykmmc22nknkkkkknkkyyyyyyyy)1(211dnTnyynkk ln 当体系由某一时刻当体系由某一时刻tk，经过，经过 n 个准周期后，其振幅的个准周期后，其振幅的比值按几何级数递减。通过实测比值按几何级数递减。通过实测y(tk) 和和y(tk+nTd)可计算阻可计算阻尼比尼比 ，从而确定阻尼系数，从而确定阻尼系数c 。工程实际中阻尼比常在工程实际中阻尼比常在0.020.2之间，所以之间，所以 21 2d1TT d)(21 nn 感知结构概念感知结构概念通过简单的模型演示来说明结构概念和原理，通过简单的模型演示来说明结构概念和原理，以更好的理解这些基本概念；以更好的理