向量的综合应用

1、向量的综合应用二.重点、难点：cosa ba b1.ab222.a2a b b3.a, b 同向时，a bab4.a b 反向时，a bab5.aba b22226.abab2 a2 b【典型例题】 例 1 四边形 ABCD 满足 ABBCBC CD CD DA DA AB 0 ，判断 ABCD 的形状。解： 由已知： ( ABCD) (BC DA) 0(ABCD) (BCDCCBBA) 0(ABCD) ( ABCD )0(AB CD)20 ABCD0 ABDC同理 BCADABCD 例 2 四边形 ABCD中， AB BCBC CDCD DADAAB ，判断四边形 ABCD的形状。解： AB

2、BCBC CD (ABCD) BC0若 ABCD0 ABCD 与四边形 ABCD 不符 (AB CD)BCDAABCDDA同理： ( AB CD) DA BC/DA同理 AB / CDBCDAAB (BCDA)0AB(1)DA0ABDA0ABDA 矩形 ABCD22例 3O为ABC 内一点，求 OAOBOC 的最小值。22解：令SOAOBOCABa ， ACb ， AO t2222(a t) 2t) 2S OAOBOCt(b22(a223(tab )2 2223tb)t ab ab a b33tab122b) 2 Smin ab(a3 时，3 O 为ABC 重心 例 4 a,b 为非 0 ，

3、t 为何值时，at b最小，并证明此时b( atb)2a b2(ab)22222b(t2 )aat batb2tab2bb解：ab2(ab)2tat ba2min2b时，b2此时， b(atb)abtba bab0 b(at b)a3, b3为何值时， (ab) 与 (ab) 夹角为锐角例 5， a,b 夹角为 30，解： ab 与ab 方向相同1 (ab) 与 (ba) 夹角为锐角 (ab)(ab) 0 ，且12212(21)90(ab ) ( 21) a b 02 32830(,437 )(437 ,)(,47 )(47 ,1)(1,)33 例 6 A （ 4， 0）， B（ 0， 4），

4、C（ 3cos,3sin）（ 1）(ACBC，求；,0) 且（）若ACBC0 ，求2 sin 2sin 21tan的值。2解：22（1） ACBC(3 cos4) 29 sin 29 cos2(3sin4) 2(,0)3 sincos4（2） AC BC03 cos(3cos4)3sin(3sin4)0sincos342 sin 22 sin 2sin 22sincos1tan1sincos2 sincos(sincos)2 sincos7sincos16(,)ab2)2(cos2 ,sin), b(1,2sin1)cos(例 7， a，若5 ，求4abcos22sin 2sin1 sin2解

5、：5sin3(, )cos4552cos()72410例 8a (sin x, cosx) ， b(sin x,sin x) ， c(1,0)x3 时，求 a, c 夹角（ 1）x3,， f ( x)ab 最大值为1（ 2）842 ，求解：（ 1）x, a(3 , 1), c( 1,0)322cosac35ac26f (x)sin 2xsin xcos x2 sin( 2x4)1 （ 2）22x,2x,841440时，20 时，21 1 ,(21)2例 9abc0, a3, b5, c7a 与 b 的夹角。已知，求解： a b c 0 a bc (a b) 2( c) 2a b1 c2a215

6、222ab2b abc22ab151cos2ab1523 例 10 已知直线 yx a 与抛物线 y x2交于 A 、B， O 为原点，求 OA OB 的取值范围。yxa解： y x 2 x2x a 01 4a 0a( 1 ,)设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 )4 x1x21y1y2(x1 x2 ) 2a 2a 1x1 x2ay1 y2( x1a)( x2a) a2OA OB x1 x2y1 y2a 2a (a1 )2124OAOB1, )4【模拟试题】（答题时间： 35 分钟）1.a1, b2(ab) ，则 a, b 夹角为（， a）A. 30B. 45C. 75D. 13

7、5 2.已知 O是平面上一定点，A 、 B 、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OPOA( ABAC )ABAC， 0,) ，则 P 点的轨迹一定过ABC 的（）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心3.已知 a, b 为单位向量，它的夹角为60a3b，那（）A.7B.10C.13D. 44.若 a, b 夹角为 60 ，b42b)(a3b)a， (a72 ，则（）A. 2B. 4C. 6D. 125.a, b 为非0 ，满足 ( a2b)a 且 (b2a)b，则 a,b 夹角为（）25A.6B.3C.3D.6c5( a5已知 a(1,2), b(2,4)b) c，则 a 与 c 夹角为（6.，若2）A. 30B. 60C. 120D. 150 7.在ABC 中，C90 ，AB(k,1) ， AC( 2,3) ，则 k（）33A. 5B.5C.2D.28.ae, e1at eae已知，满足对任意 tR ，恒有，则（）A. aeB.a(ae)C.e(ae)D.( ae) ( ae)9.a1, b2, cab，且 ca ，则向量 a 与 b 夹角为（）若A. 30B. 60C. 1