2020版高考数学二轮复习 第三篇 思想导引 3.1 函数与方程思想课件 理

1、第三篇 思想导引方法点睛第1讲函数与方程思想 题型一在函数、方程、不等式中的应用题型一在函数、方程、不等式中的应用【例例1 1】(1)(1)设设0a1,e0a1,e为自然对数的底数为自然对数的底数, ,则则a,aa,ae e,e,ea a-1-1的大小关系为的大小关系为( () )A.eA.ea a-1aa-1aae eB.aB.ae eaeaea a-1-1C.aC.ae eeea a-1a-1aD.aeD.aea a-1a-1ae e(2)(2)已知函数已知函数f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数, ,且当且当x0 x0时时, ,f(x)=logf(x)=log2 2

2、(1-x),(1-x),若若f(af(a2 2-1)1,-1)0,-x-1,x0,则则f(x)=ef(x)=ex x- -10,10,所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,且且f(0)=0,f(x)0,f(0)=0,f(x)0,所以所以e ex x-1x,-1x,即即e ea a-1a.-1a.又又y=ay=ax x(0a1)(0aaaae e, ,从而从而e ea a-1aa-1aae e. .(2)(2)选选A.A.依题意依题意,f(x),f(x)在在(-,0)(-,0)上单调递减上单调递减, ,且且f(x)f(x)在在R R上是偶函数上是偶函数. .所

3、以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, ,且且f(1)=f(-1)=1.f(1)=f(-1)=1.由由f(af(a2 2-1)1,-1)1,得得|a|a2 2-1|1,-1a-1|1,-1a2 2-11,-11,解得解得- a0- a0或或0a .0a0f(x)0得得x x2 2-4x+30,-4x+30,解得解得1x3,1x3,2221134xx3x44x4x ，13x44x故函数故函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是(1,3),(1,3),单调递减区间是单调递减区间是(0,1)(0,1)和和(3,+),(3,+),故在区间故在区间(0,2)(0

4、,2)上上,x=1,x=1是函数的极小值点是函数的极小值点, ,这个极小值这个极小值点是唯一的点是唯一的, ,也是最小值点也是最小值点, ,所以所以f(x)f(x)minmin=f(1)= =f(1)= 由于函数由于函数g(x)=-xg(x)=-x2 2+2bx-4,x1,2.+2bx-4,x1,2.12当当b1b2b2时时,g(x),g(x)maxmax=g(2)=4b-8.=g(2)=4b-8.故问题等价于故问题等价于 b112b52，21b2b211b44b8.22，或或解得解得b1b1或或1b 1b 所以所以b b 答案答案: : 142，14214(,2题型二在三角函数、平面向量中的

5、应用题型二在三角函数、平面向量中的应用【例例2 2】(1)(1)已知向量已知向量a=(,1),=(,1),b=(+2,1),=(+2,1),若若| |a+ +b|=|=| |a- -b|,|,则实数则实数的值为的值为( () )A.-1A.-1B.2B.2C.1C.1D.-2D.-2(2)(2)若方程若方程cos cos 2 2x-sin x+a=0 x-sin x+a=0在在 上有解上有解, ,则则a a的取的取值范围是值范围是_._.(02，【解析解析】(1)(1)选选A.A.方法一方法一: :由由| |a+ +b|=|=|a- -b|,|,可得可得a2 2+ +b2 2+ +2 2ab=

6、 =a2 2+ +b2 2-2-2ab, ,所以所以ab=0,=0,故故ab=(,1)=(,1)(+2,1)=+2,1)=2 2+2+1=0,+2+1=0,解得解得=-1.=-1.方法二方法二: :a+ +b=(2+2,2),=(2+2,2),a- -b=(-2,0),=(-2,0),由由| |a+ +b|=|=|a- -b|,|,可得可得(2+2)(2+2)2 2+4=4,+4=4,解得解得=-1.=-1.(2)(2)方法一方法一: :把方程变形为把方程变形为a=-cos a=-cos 2 2x+sin x,xx+sin x,x令令f(x)=-cosf(x)=-cos2 2x+sin x,x

7、 x+sin x,x 显然显然, ,当且仅当当且仅当a a属于属于f(x)f(x)的值域时有解的值域时有解. .因为因为f(x)=-(1-sinf(x)=-(1-sin2 2x)+sin x= x)+sin x= 且由且由xx 知知sin x(0,1,sin x(0,1,易求得易求得f(x)f(x)的值域为的值域为(-1,1,(-1,1,故故a a的取值范围是的取值范围是(-1,1.(-1,1.(0,2，(0,2，215(sin x)24 ，(02，方法二方法二: :令令t=sin x,t=sin x,由由x x 可得可得t(0,1.t(0,1.将方程变为将方程变为t t2 2+t-1-a=0

8、.+t-1-a=0.依题意依题意, ,该方程该方程在在(0,1(0,1上有解上有解, ,设设f(t)=tf(t)=t2 2+t-1-a,+t-1-a,其图其图象是开口向上的抛物线象是开口向上的抛物线, ,对称轴对称轴t= t= 如图所示如图所示. .(0,2，12 ，因此因此,f(t)=0,f(t)=0在在(0,1(0,1上有解等价于上有解等价于 即即 所以所以-1a1,-10f(x)=2- 0恒成立恒成立, ,所以所以f(x)f(x)在在1,+)1,+)上是增函数上是增函数, ,所以当所以当x=1x=1时时,f(x),f(x)minmin=f(1)=3,=f(1)=3,即当即当n=1n=1时

9、时,(b,(bn n) )maxmax= =要使对任意的正整数要使对任意的正整数n,n,不等式不等式b bn nkk恒成立恒成立, ,则须使则须使kk(b(bn n) )maxmax= = 所以实数所以实数k k的最小值为的最小值为 1x21x1.616，1.6【拓展提升拓展提升】数列问题函数数列问题函数( (方程方程) )化法化法数列问题函数数列问题函数( (方程方程) )化要注意数列问题中化要注意数列问题中n n的取值为正的取值为正整数整数, ,涉及的函数具有离散性特点涉及的函数具有离散性特点, ,其一般解题步骤是其一般解题步骤是: :第一步第一步: :分析数列式子的结构特征分析数列式子的

10、结构特征. .第二步第二步: :根据结构特征构造根据结构特征构造“特征特征”函数函数( (方程方程),),转化转化问题形式问题形式. .第三步第三步: :研究函数性质研究函数性质. .结合解决问题的需要研究函数结合解决问题的需要研究函数( (方程方程) )的相关性质的相关性质, ,主要涉及函数单调性与最值、值域主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究问题的研究. .第四步第四步: :回归问题回归问题. .结合对函数结合对函数( (方程方程) )相关性质的研究相关性质的研究, ,回归问题回归问题. .【变式训练变式训练】已知等差数列已知等差数列aan n 的公差的公差d=1,d=1,等比数列等比

11、数列bbn n 的公比的公比q=2,q=2,若若1 1是是a a1 1,b,b1 1的等比中项的等比中项, ,设向量设向量a=(a=(a1 1,a,a2 2),),b=(b=(b1 1,b,b2 2),),且且ab=5.=5.(1)(1)求数列求数列aan n,b,bn n 的通项公式的通项公式. .(2)(2)设设c cn n= log= log2 2b bn n, ,求数列求数列ccn n 的前的前n n项和项和T Tn n. .na2【解析解析】(1)(1)依题设依题设,a,a1 1b b1 1=1,=1,且且ab=5.=5.因为数列因为数列aan n 的公差为的公差为d=1,bd=1,

12、bn n 的公比的公比q=2,q=2,所以所以a an n=n,b=n,bn n=2=2n-1n-1(nN(nN* *).).11111112211111a b1a b1a1a ba b5a ba1 2b5.b1. ， ， ，所以即解得（ ）(2)c(2)cn n= log= log2 2b bn n=2=2n nloglog2 22 2n-1n-1=(n-1)2=(n-1)2n n(nN(nN* *),),T Tn n=c=c1 1+c+c2 2+ +c+cn n=2=22 2+2+22 23 3+3+32 24 4+ +(n-1)2+(n-1)2n n, ,2T2Tn n=2=23 3+2

13、+22 24 4+3+32 25 5+ +(n-1)2+(n-1)2n+1n+1, ,两式相减得两式相减得, ,-T-Tn n=2=22 2+2+23 3+2+24 4+ +2+2n n-(n-1)2-(n-1)2n+1n+1, ,na2= -(n-1)2= -(n-1)2n+1n+1=-4+(2-n)2=-4+(2-n)2n+1n+1, ,T Tn n=(n-2)2=(n-2)2n+1n+1+4(nN+4(nN* *).).2n22212题型四函数与方程思想在几何问题中的应用题型四函数与方程思想在几何问题中的应用【例例4 4】(1)(1)某工件的三视图如图所示某工件的三视图如图所示, ,现将

14、该工件通过现将该工件通过切削切削, ,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件加工成一个体积尽可能大的长方体新工件, ,并使并使新工件的一个面落在原工件的一个面内新工件的一个面落在原工件的一个面内, ,则原工件材料则原工件材料的利用率为的利用率为) ( )新工件的体积（材料利用率原工件的体积3381642 1122 1A. B. C. D.99（ ）（ ）(2)(2)已知椭圆已知椭圆C: =1(ab0)C: =1(ab0)的右焦点为的右焦点为F(1,0),F(1,0),如图如图, ,设左顶点为设左顶点为A,A,上顶点为上顶点为B,B,且且 2222xyabOF FB AB BF. 求椭圆求椭圆C

15、C的方程的方程; ;若过若过F F的直线的直线l交椭圆于交椭圆于M,NM,N两点两点, ,试确定试确定 的的取值范围取值范围. .FM FN 【解析解析】(1)(1)选选A.A.如图所示如图所示, ,原工件是一个底面半径为原工件是一个底面半径为1,1,高为高为2 2的圆锥的圆锥, ,依题意加工后的新工件是圆锥的内接长依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体方体, ,且落在圆锥底面上的面是正方形且落在圆锥底面上的面是正方形, ,设正方形的边设正方形的边长为长为a,a,长方体的高为长方体的高为h,h,则则0a 0h2.0a 0h2.于是于是 h=2- a.h=2- a.2，h221a21，2令令f(

16、a)=Vf(a)=V长方体长方体=a=a2 2h=2ah=2a2 2- a- a3 3, ,所以所以f(a)=4a-3 af(a)=4a-3 a2 2, ,令令f(a)=0,f(a)=0,解得解得a= a= 易知易知f(a)f(a)maxmax=f =f 所以材料利用率所以材料利用率= = 222 23，2 216.327（）216827.9123(2)(2)由已知由已知,A(-a,0),B(0,b),F(1,0),A(-a,0),B(0,b),F(1,0),则由则由 得得b b2 2-a-1=0.-a-1=0.因为因为b b2 2=a=a2 2-1,-1,所以所以a a2 2-a-2=0,-

17、a-2=0,解得解得a=2.(a=2.(列出方程列出方程) )所以所以a a2 2=4,b=4,b2 2=3,=3,所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为 =1.=1.OF FB AB BF ，22xy43(i)(i)若直线若直线l斜率不存在斜率不存在, ,则则l:x=1,:x=1,此时此时 (ii)(ii)若直线若直线l斜率存在斜率存在, ,设设l:y=k(x-1),M(x:y=k(x-1),M(x1 1,y,y1 1),),N(xN(x2 2,y,y2 2),),则由则由 消去消去y y得得339M1N1FM FN.224 （ ，）， （ ， ），22ykx 1xy143 （ ），(4k(

18、4k2 2+3)x+3)x2 2-8k-8k2 2x+4kx+4k2 2-12=0,(-12=0,(列出方程列出方程) )所以所以x x1 1+x+x2 2= x= x1 1x x2 2= = 所以所以 =(x=(x1 1-1,y-1,y1 1) )(x(x2 2-1,y-1,y2 2) )=(1+k=(1+k2 2)x)x1 1x x2 2-(x-(x1 1+x+x2 2)+1)+1= (= (转化为函数转化为函数) )228k4k3，224k12.4k3FM FN 29.141k因为因为k k2 20,0,所以所以0 1,0 1,所以所以34- 4,34- 4,所以所以-3 -3 0)=1(a0)的中的中心和左焦点心和左焦点, ,点点P P为双曲线右支上的任意一点为双曲线右支上的任意一点, ,则则 的取值范围为的取值范围为_._.22xaOP FP 【解析解析】由由c=2c=2得得a a2 2+1=4,+1=4,所以所以a a2 2=3.=3.所以双曲线方程为所以双曲线方程为 -y-y2 2=1.=1.设点设点P(x,y)(x ),P(x,y