最新行列式的计算方法(课堂讲解版)19100资料.doc

1、精品文档计算 n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多， 除非零元素较少时可利用定义计算（按照某一列或某一行展开完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。1利用行列式定义直接计算00100200例计算行列式 Dnn 1000000n解Dn 中不为零的项用一般形式表示为a1n 1a 2n2 an 1a1n n !. n该项列标排列的逆序数(n 1)(n 2)t（n1 n2 1n）等于，2(n 1)( n 2)故 Dn( 1)2n!.2 利用行列式的性

2、质计算例：一个 n 阶行列式 Dnaij 的元素满足 aija ji ,i , j1,2, n, 则称 Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零 .证明：由 aija ji 知 aiiaii ，即 aii0, i1,2,n0a12a13a1na120a23a2 n故 行 列 式 Dn 可 表 示 为 Dna13a230a3 n ， 由行 列 式 的 性质 AAT ，a1na2na3n00a12a13a1n0a12a13a1na120a23a2 na120a23a2n(1)n D nDna13a230a3n( 1)na13a230a3na1na2na3 n0a1 na2na3 n0当 n

3、 为奇数时，得 Dn =Dn，因而得 Dn = 0.精品文档精品文档3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。 因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三

4、角形行列式。1123133795例 1计算行列式 D204213571464410102解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算r23 r111 23 111 23 11-12-31r32r1r43r1001 02020410204-1r54r1020 41r2r30 01 02r4r20-10-2D002 15 30 2 15 3001-12002 22002220022-2r4r311231112310304102041r52r30010r52r4001021 2 11612 .2000100001000026000061a1a2a3ana11 a2a3an例2

5、计算 n 阶行列式 Da1a21 a3an a1a2a31 an解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此 n 列之和全同将第2，3， ，n 列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是精品文档精品文档11a1a2ana2a3an1a2a3an1a1a2an1 a2a3ann1 1 a2a3anc1cia1a2ana21 a3an1ai 1a21 a3anD2,1i, ni11a1a2ana2a31 an1a2a31 an1a2a3anrir1n0100nnai0 0 101ai 1 1ai .i2,1, ni 1i1i 10001abbbbab

6、b例 3计算 n 阶行列式 D bbabbbba解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3， ， n列都加到第 1 列上，行列式不变，得a (n 1)b b bb1bbba(n1)babb1a bbD a(n1)bbab a (n 1)b 1baba (n 1)b b ba1b ba1bbb0a b00 a (n1)b( ab) n 1 a ( n 1)b 00a b0000ab例 4：浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2 小题（重庆大学2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1 小题）的解答中需要计算如下行列式的值：123n

7、1n234n1Dn34512n12n2n1精品文档精品文档 分析 显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第 1 列开始；每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的，根据行列式的性质， 先从第 n-1 列开始乘以 1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以 1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以 1 加到第 2 列。然后把第 1 行乘以 1 加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。解：11111111112 1 11 1 n2, n)10 00nDn3 1 1( i20 0n 01 n 1rir1n 1 n 111n 1 n 00 01n000

8、000n100n( i 2, , n)00n020n01n(n111)r1nn2ri0n00nn2000n000n1n001n(n1) (n)n 1( n 1)( n 2)( 1)2n2(n1)nn 11n (n1)224降阶法（ 按行（列）展开法）降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶。为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。123181920212171819例 1、计算 20 阶行列式 D20 321161718201918321 分析 这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许

9、多多个 2 阶行列式计算，需进行 20！*20 1 次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的， 更何况是 n 阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：解：精品文档精品文档1231819201121212171819c20c19D 20c19 c1831321161718c2c1191201918321201111111302222(i2, , 20)40022221(1)20 1rir120000022100000a00010a00000a00例 2计算 n 阶行列式 Dn000a01000a11

10、11111111111111111121821218a0000a000a0000a0解将 Dn 按第 1 行展开Dn a 0 0a0( 1)n 1000a000a1000an( 1)n 1 ( 1)n an 2anan 2 .a00010a000例3计算 n（n2）阶行列式 D00a001000a精品文档精品文档a0000a0000a00a00解 按第一行展开，得 D a1 1 n000a000a1000再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到D an1 1 n1 n 1 1 an 2anan 2an 2 a2 1 5递（逆）推公式法递推法是根据行列式的构造特点，建立起与的递推关系

11、式， 逐步推下去， 从而求出的值。有时也可以找到与，的递推关系，最后利用，得到的值。注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。000100例 1 计算行列式D n0100.0000001解：将行列式按第 n 列展开 , 有 D n() D n 1D n 2 ,DnDn 1( Dn 1Dn 2 ), D nDn 1( D n 1Dn 2 ),得D nD n 12 (D n 2D n 3 )n 2 (D 2D1 )n 。(n1)n ,;同理得D nD n 1n ,Dnn1n 1,.axxxyaxx例 2计算 Dnyyaxyyya精品文

12、档精品文档解ayxxxyxxx0axxyaxxD n0yaxyyax0yyay yya10001a x00(a y) D n 1y 1y xa x01yxyxa x(ay) Dn 1y(an 1x)同理 D n( ax)D n 1x(ay) n 1nn联立解得Dx(ay）y(ax),( xy)nxy当 xy 时 ,Dn(ax) Dn 1x(ax) n1(ax)2 Dn 22x( ax)n1(ax) n2 D2(n2) x(a x)n 1(ax) n 1a (n 1)xx10000x100例 300x00计算 n 阶行列式 Dn000x1anan 1an 2a2a1 x解首先建立递推关系式按第一

13、列展开，得：x1000100000x100x100000x00Dn xn 1n 1n 11 an 0 x 10 0 xDn 1 1 an1xDn 1 an，000x1000x1an 1an 2an 3a2a1 x这里 Dn 1 与 D n 有相同的结构，但阶数是n1的行列式现在，利用递推关系式计算结果对此，只需反复进行代换，得：Dx xDaax2 Da x ax2 xDaax axn 1Da xn 2ax2a x a ，nn 2n 1nn 2n 1nn 3n 2n 1n12n 2n 1n精品文档精品文档因 D1xa1xa1 ，故 D nxna1xn 1an 1 xan 最后，用数学归纳法证明这

14、样得到的结果是正确的当 n1 时，显然成立设对n1阶的情形结果正确，往证对n 阶的情形也正确由Dn xDn 1 an x xn 1a1xn 2an 2 x an 1 an xna1 xn 1、an 1 x an ，可知，对 n 阶的行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立210000例4121000证明 n 阶行列式D nn 1000121000012210000100000121000121000证明按第一列展开，得 Dn 2000121000121000012000012其中，等号右边的第一个行列式是与Dn 有相同结构但阶数为 n1的行列式，记作 Dn 1 ；第二个行列式

15、，若将它按第一列展开就得到一个也与D n 有相同结构但阶数为 n 2 的行列式，记作 D n 2 这样，就有递推关系式：Dn2Dn 1Dn2 因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当 n 1 时， D1 2 ，结论正确当 n2时， D22113，结论正确2设对 k n1的情形结论正确，往证 kn 时结论也正确由 Dn 2Dn1 Dn 22nn 1n1可知，对 n 阶行列式结果也成立根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立例 5、 2003 年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10 小题要证如下行列式等式：000100Dn01000001n 1n 1证明

16、 ： Dn, 其中（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）分析 此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，精品文档精品文档这种行列式称 “三对角”行列式 1 。从行列式的左上方往右下方看，即知 Dn-1 与 Dn 具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。证明： D 按第 1 列展开，再将展开后的第二项中 n-1阶行列式按第一行展开有：nD n （ ） D n1Dn2这是由 D和 D表示 D 的递推关系式。若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算n-1n-2n较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1 阶和 n-2 阶行列式表示 n 阶

17、行列式，因此，可考虑将其变形为：D n Dn1 Dn1Dn2（ Dn1 Dn 2）或 Dn D n1 Dn1D n2 （ D n1 D n2）现可反复用低阶代替高阶，有：Dn Dn1（ Dn123Dn2） （Dn2 Dn3） （Dn3 Dn4）n22 D1）=n 2()2()n(1)（D同样有：Dn Dn1 （Dn123Dn 2） （Dn2 Dn3） （Dn3 Dn4）n2n 2()2()n(2)（D2 D1）=因此当时n 1n 1由（ 1）（2）式可解得： Dn，证毕。6利用范德蒙行列式根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列

18、）去； .) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。111例 1x11x21xn1计算行列式 Dx12x1x22x2xn2xnx1n 1x1n 2x2n 1x2n 2xnn 1xnn 2解把第 1 行的 1 倍加到第 2 行，把新的第2 行的 1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的 1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式精品文档精品文档111x1x2xnDx12x22xn2(xi xj )n ij 1x1n 1x2n 1xnn 1a1na1n 1b1a1n 2b12a1b1n 1b1na2na2n 1b2a2n 2b2

19、2a2b2n 1b2n例 2计算 n 1阶行列式 D其中 a1a2an 1 0 ann 1 ann 11bn 1ann 12bn2 1an 1bnn 11bnn 1解这个行列式的每一行元素的形状都是ain k bik， k0，1，2， ， n即 ai 按降幂排列， bi按升幂排列，且次数之和都是n，又因 ai0 ，若在第 i 行（ i1，2， ， n）提出公因子 ain ，则 D可化为一个转置的范德蒙行列式，即b1b12b1n1a1a1a1b2b22b2nnnn1n1nbib ja2a2a2bi a jai bj .D a1a2an 1aia ji 11 j i n 1 ai1 j i n 1

20、bnbn2bnn1111ananan111xyz例 3计算行列式 Dx2y2z2.yzxzxy解：(3 ) ( y z)(1)xyzDx2y2z2xyxzyzy2yzxzyzz2xy( 3) x(1)xyzx2y2z2x2xyyzxzy2xyyzxzz2xyyzxz(xyyzxz)( y x)(zx)(zy)精品文档精品文档111x 1x 2x nx 12x 22x n2例 4 计算行列式 D nx 1n 2x 2n 2x nn 2x 1nx 2nx nn解作如下行列式 , 使之配成范德蒙行列式1x 1x 12P ( y )n2x 1n1x 1nx 11x 2x 22n2x 2n1x 2nx

21、211x nyx n2y 2n=( y xi )( xi x j )x nny ni11 j i n22x nn1y n1x nny n易 知 D n等 于 P( y) 中 y n 1的系数的相反数,而 P( y) 中 y n 1的系数为nnx k( x ix j ) , 因此 , D nx k( xi x j )k 11 ji nk 11 j i n例 5、 计算 n 阶行列式(an1)n1(an2)n1(a1)n1an 1(an1)n2(an2)n2(a1)n2an2Dnan1an 2a1a1111解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式

22、的类型。先将的第 n 行依次与第 n-1 行， n-2行， ,2行， 1 行对换，再将得到到的新的行列式的第 n行与第 n-1 行， n-2 行， ,2 行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第 n-1 行对换，这样，共经过（ n-1）+（n-2） + +2+1=n（n-1 ） /2 次行对换后，得到1111n( n 1)a n 1a n 2a 1aDn(1)2(a n 1)n 2( a n 2) n 2( a 1)n 2an 2(a n 1)n 1( a n 2) n 1(a 1)n 1a n 1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：n( n 1 )n n (1

23、)Dn ( 1) 2( a n i) (a n j ) ( 1) 2(ij )1 ji n1 j in精品文档精品文档7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。它要求： 1 保持原行列式的值不变；2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第列（行）的元素分别为 n-1 个元素的倍数的情况。xa1a2ana1x a2an例 1 计算 n 阶行列式 D na1a2ana1a2xan1a1an1a1a 2a n0第 i行减第1 行1x00解： DnDni2, n 1 10

24、x00100x1na ja2ana1na jj 1xxn10x00j 1x00x0000x1a111111 a211例 2计算 n（ n 2）阶行列式 Dn111 a31，其中 a1a2 an 0 1111an解先将 D n 添上一行一列，变成下面的n1阶行列式：111101 a111D n 1011 a21显然， Dn 1 D n 0111an精品文档精品文档11111a100将 Dn 1 的第一行乘以1后加到其余各行，得 D n 1101 a20100an因 ai0 ，将上面这个行列式第一列加第i （ i2 ， ， n1）列的1倍，得：ai 11111n111111a100i 1ai0a1

25、00Dn Dn 110a2000a20100an000ana100n1 0a20ann11aia1a21aii 1i 100an8数学归纳法当与是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值， 再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。 （数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）x1000例 1 计算 n 阶行列式 Dn0x100000x1anan 1an 2a2a1 x解：用数学归纳法 . 当 n = 2 时， D2x1x(xa1 ) a2 x

26、2a1 x a2a2x a1假设 n = k 时，有 Dk xka1 xk 1a2xk 2ak 1 xak则当 n = k+1 时，把 Dk+1 按第一列展开，得精品文档精品文档D k 1 xDk ak 1 x( xka1 xk 1ak 1x ak ) ak 1xk 1a1xkak 1 x2ak x ak 1由此，对任意的正整数n，有 D nxna1xn 1an 2 x2an 1xancos100012 cos100例 2计算行列式012 cos00.Dn0002 cos100012 cos解： D1cos ,D 2 cos 2, 于是猜想D ncosn .证明：对级数用第二数学归纳法证明.n

27、 1时, 结论成立 . 假设对级数小于 n 时，结论成立 . 将 n 级行列式按第 n 行展开，有cos100012 cos100Dn 2 cos Dn 1 ( 1) 2 n 1012 cos000002cos000011 n 12 cosDn 1( 1)2 n 1 Dn 2.2 coscos(n1)( 1) 2n1 cos(n 2)2 coscos(n1)cos(n1) cossin( n 1) sincos( n1)cosn例 3 计算行列式解：猜测：证明（1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设nk 1 时命题成立 ,考察 n=k 的情形：精品文档精品文档故命题对一切 自然数 n 成立。9拆开法拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。a11a 2an例 1计算行列式a1a 22anDna1a2anna1a2an1a2ana1a2an0 a2an0an解： Dna1 a22an221Dn 1a1a2ann00ann0 0na1 2n1 Dn 1 =nai1 2n 1i 1i精品文档精品文档1 x1 y12 x1 y2n x1 yn例2计算 n（ n 2）阶行列式 Dn1x2 y12x2 y2nx