【教案】数学建模活动建立函数模型解决问题-教学设计

1、课程基本信息课题数学建模活动教科书书名：普通高中教科书数学必修第一册A版 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月教学目标教学目标： 1. 通过参与数学建模的全过程，了解数学建模的概念，掌握数学建模的基本过程；2. 在探究数学建模的过程中，进一步体会函数模型在现实生活中的应用，感受数学的应用价值；3. 体会课题研究的过程，感受课题研究的意义，提升数学建模的素养. 教学重点：将实际问题转化为数学问题，数据的收集与函数模型的选择和建立教学难点：数据的收集，函数模型的选择教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟（一）复习回顾导语：通过前期对函数应用相关知识的学习，我们知道用函数构建数学模型解决

2、实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型.然后根据分析结果，选择合适的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型.最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.但是在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据.本节课就让我们一起经历建立数学模型解决实际问题的全过程，一起感受数学与我们生活的紧密联系.也希望通过每节课的学习，同学们在以后的生活中尝试着用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世

3、界.师生活动：教师总结用函数构建数学模型解决实际问题的基本构成，学生复习回顾. 设计意图：通过对函数应用问题的回顾，提出解决问题需要自己收集数据，激发学生探究兴趣5分钟（二）选题开题实际情景我国是茶的故乡，是世界上最早发现茶树、利用茶叶和栽培茶叶的国家，也是茶文化的发源地.中国茶道的主要内容讲究五境之美，即茶叶、茶水、火候、茶具、环境,其中茶叶可分为绿茶、红茶、乌龙茶、白茶、黄茶和黑茶.茶文化的内涵其实就是中国文化的一种具体表现.中国素有礼仪之邦之称谓，茶文化的精神内涵即是通过沏茶、赏茶、闻茶、饮茶、品茶等习惯与中国的文化内涵和礼仪相结合形成的一种具有鲜明中国文化特征的一种文化现象，也可以说是

4、一种礼节现象.提出问题茶已成为全世界最大众化、最受欢迎、最有益于身心健康的绿色饮料.那你知道如何才能泡制一杯口感最佳的茶水吗？情景分析问题1：影响茶水口感的因素有哪些？师生活动：学生思考发言，相关因素可能包含有茶叶类型、水温、茶具、泡茶用水、冲泡方法、茶叶用量、冲泡次数等.教师归纳并给出情景：经验表明，我们探究使用的某种绿茶用85的水泡制，再等到茶水温度降至60时饮用，可以产生最佳口感.问题2：如何处理这些影响因素呢？师生活动：教师引导学生结合探究的侧重分析相关因素的重要程度，突出主要因素，弱化次要因素的影响；学生在教师的引导下，进一步思考确定主要因素，通过控制变量的方法弱化次要因素对探究过程

5、的影响.教师总结：在此次探究过程中，我们将水温作为主要因素，可以在探究开始前，先提出一些假设，通过控制变量的方法减少他们对结果的影响：如在实验过程中1. 选择同一种且等量的茶叶冲泡； 2. 使用同一个茶具，比如同一个玻璃杯；3. 固定初始泡茶的水温85；4. 在同一环境温度25下，使用相同纯净水，并用相同的泡茶方法.问题3:如何刻画茶水降温的过程？师生活动：学生交流讨论.教师总结：茶水降温的过程中也伴随着时间的变化，因此我们可以建立茶水温度随时间变化的函数模型，将该茶水温度的实测过程转变为时间估计的问题，使得不用时刻测试水温，进而根据函数模型，通过简单计算就可以知道大约需要放置多长时间才能达到

6、最佳饮用口感.转化问题在25室温下，用85的水泡制的茶大约需要放置多长时间，温度能够降到60达到最佳饮用口感？设计意图：创设真实的生活问题，有较强的代入感，培养学生在现实生活中发现问题并提出或转化为数学问题的意识，提高学习数学的兴趣，通过分析让探究的问题变得可测量， 为后续的研究奠定基础.17分钟（三）做题结题收集数据活动1：请同学们小组合作，为获取数据设计实验流程.师生活动：学生小组合作，设计实验流程，并在全班分享交流，互相完善最终形成实验流程.预想：用85的纯净水泡好一杯茶， 每隔1分钟测量一次茶水温度，并进行记录.问题4：该实验过程需要用到哪些测量工具？师生活动：学生总结，需要秒表和温度

7、计. 追问：怎样保证测量数据的准确性以减少误差?师生活动：引导学生提出在实验过程中，可多次重复实验，取平均值从而减小误差.任务1：请同学们课后按照实验流程进行实验,获取并记录一组数据.设计意图：让学生参与到数据收集的设计和实施过程，培养学生严谨的思维. 实验数据某研究人员得到一组数据，以下探究过程应用该组数据：时间/min012345温度/85.0079.1974.7571.1968.1965.10建立模型观察实验数据会发现，随着时间的变化，茶水的温度也在发生变化，这两个变量可以存在着某种函数关系，但并没有现成的函数模型，所以我们可以借助数据的趋势进行分析.散点图如下：问题5：观察散点图，两个

8、变量有怎样的变化趋势？师生活动：学生观察并总结，散点图的分布状况成递减状态，也就是说茶水的温度随时间成递减关系.追问：当时间不断延长，最终茶水能降到什么温度？师生活动：学生思考并回答，茶水最终将趋于室温25.问题6：请同学们在前期学习的函数中找到符合趋势的函数模型？ 师生活动：学生思考并交流，可能会提出各种递减函数作为备选模型，教师引导学生关注茶水降到室温就不能再降的事实，再结合几类基本初等函数的变化特征，指导学生做出选择.教师总结：自变量是少于等于0，函数值大于等于25，随着自变量的变化函数值呈递减趋势且逐渐趋于25，结合以上特征我们初步可以选定y=kax+25(kR,0a1,x0)来近似刻

9、画茶水温度随时间变化的规律.求解模型问题7：如何利用以上实验数据求解函数模型中的参数k和a.师生活动：学生思考，教师给予适当引导.根据实际情况可知，当x=0时，y=85，可得k=60.得到函数模型： y=60ax+25(0a1,x0 y-25=60ax(0a1,x0为求衰减比例a从第2min的温度数据开始，计算每一分钟（y-25）的值与上一分钟（y-25）值的比值.x012345y-2560.0054.1948.7546.1943.1940.10比值0.90320.91810.92840.93510.9285检验模型问题8：请同学们结合这五个函数图象与实际数据的吻合情况，思考应该如何选取a的值

10、？比值为0.9032 比值为0.9181比值为0.9284 比值为0.9351比值为0.9285师生活动：学生比较五个函数的吻合程度,与实际数据更加吻合的是当比值为0.9181时，因此可以选择函数y=600.9181x+25作为本题的模型.教师进一步引导学生计算比值的平均值作为衰减比例，从而得到函数模型y=600.9227x+25. y=600.9227x+25 y=600.9181x+25通过比较，采用平均值作为衰减比例与实际数据更加的吻合，因此选取的函数模型为y=600.9227x+25.教师总结：这种采用平均值的方法在解决实际问题中也是很常见的.因为实验所得的数据并不一定具有很强的规律性

11、，所以我们在实验过程中应尽量重复大量实验，以保证数据的代表性，而在函数模型的选择上也是多样的，所选择的函数模型一般也只能大致反应茶水温度变化的局部规律，因此，建立模型后需要对模型进行检验. 求解问题问题9：在25室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？师生活动：学生完成计算思路，教师给予信息技术支持求解最后答案.将y=60代入y=600.9227x+25，得600.9227x+25=60解得x=log0.9227712由信息技术得x6.6997教师总结：至此，我们完成整个实际问题的探究，并得到在25室温下，用85水泡制的茶大约需要放置7min，温度能够降到60达到最佳饮用

12、口感.问题10：你体会到研究这个问题具有哪些实际价值？师生活动：学生思考并发言.教师总结：很多实际问题的背后，可能都隐藏着某种规律，这种规律可以用实验的方法进行探究，并用数学的方法加以刻画.设计意图：通过学生对具体问题建模过程的参与，让学生进一步体会函数模型在现实生活中的应用；同时了解数学建模的概念，知道数学建模的过程，初步培养数学建模的意识.2分钟（五）课堂小结活动2：请同学们小组合作，结合以上探究过程归纳数学建模的步骤.教师总结：数学建模需要我们用数学的眼光观察实际情境，从而发现和提出问题，用数学的方式收集数据，其中包括必要的假设和实验获取数据，利用数学思维选择函数模型，用数学知识求解函数模型，最后检验结果，若符合实际则将数学结果转化为实际问题的解，若不符合实际则要重新选择模型.这就是数学建模的过程.作业布置：请同学们仿照上述过程开展一次建立模型解决实际问题的活动，可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：1. 应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？2. 根据某