立体几何的动态问题翻折问题

1、立体几何的动态问题之二翻折问题立体几何动态问题的基本类型：点动问题；线动问题；面动问题；体动问题；多动问题等一、面动问题（翻折问题）：（一）学生用草稿纸演示翻折过程 ：（二）翻折问题的一线五结论一线：垂直于折痕的线即 DF AE.五结论：1）折线同侧的几何量和位置关系保持不变；折线两侧的几何量和位置关系发生改变；2）DHF是二面角D -H-F的平面角；3）D在底面上的投影一定射线 DF 上;4）点D的轨迹是以H为圆心，DH为半径的圆；5） 面ADE绕AE翻折形成两个同底的圆锥.二、翻折问题题目呈现：（一）翻折过程中的范围与最值问题1、（ 2016年联考试题） 平面四边形 ABCD中，AD=AB

2、= 2，CD=CB=、5 ,且AD AB，现将厶ABD沿对角线BD翻折成 ABD，则在 ABD折起至转到平面 BCD的过程中，直线AC与平面BCD所成最大角的正切值为_ .解：由题意知点A运动的轨迹是以 E为圆心,EA为半径的圆，当点 A运动到与圆相切的时候所称的角最大，所以tan ACB31【设计意图】加强对一线、五结论的应用，重点对学生容易犯的错误-进行分析，2找出错误的原因。2、2015年10月浙江省学业水平考试 18）.如图，在菱形 ABCD中，/ BAD=60，线段 ADBD的中点分别为E, F。现将 ABD沿对角线BD翻折，则异面直线 BE与CF所成角的取值范围是cos CFH3、

3、（ 2015年浙江理8）如图，已知A CD，所成二面角A CDB的平面角为，则（B ）A. ADBB. ADB C. ACBD. ACB分析：这是一道非常经典的学考试题， 本题的解法非常多，很好的考查了空间立体几何线线 角的求法。方法一：特殊值法（可过 F作FH平行BE,找两个极端情形）方法二：定义法：利用余弦定理：方法三：向量基底法：UJU uuui urn uur mu- uun uur - uuruur uuuBEgzC-(BABD)gFC- BAgFC-(BFFA)gzCuuu uuur1uuu uuu1 11cos1 17cos BE, FC2FC,FA2 2方法四：建系：ABC ,

4、 D是AB的中点，沿直线 CD将 ACD折成方法一：特殊值 方法二：定义法作出二面角，在进行比较FH 2 FC2 CH 2542七3CH 2, 有一CH2FH go434cos FHC.2141 1 一异面直线BE与CF所成角的取值范围是 （，2 23 22.556、（ 2016届温州一模 8）如图，在矩形AE 3，现分别沿BE,CE将 ABE,ABCD中，AB 2，AD 4，点E在线段 AD上且DCE翻折，使得点D落在线段AE 上,则此时二面角D ECB的余弦值为（D）B.方法三：抓住问题的本质，借助圆锥利用几何解题4、（ 14年1月浙江省学业学考试题） 如图在Rt ABC中，AC= 1，B

5、C= x，D是斜边AB的中 点，将 BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 CB丄AD，则x的取值范 围是（A ）A. （0，3 C . （3, 23 D . （2，4方法一：利用特殊确定极端值方法二：在DAB中利用余弦定理转化为BDA的函数求解。方法三：取BC的中点E,连接EA,ED在DEA中利用两边之和大于第三边求解。（二）翻折之后的求值问题5、（ 2016届丽水一模13）已知正方形 ABCD，E是边AB的中点，将厶ADE沿DE折起至ADE，如图所示，若A CD为正三角形，则ED与平面A DC所成角的余弦值是三、课后练习1、（ 2012年浙江10）已知矩形ABCD AB=1

6、, BC=/2。将 ABD沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（B ）A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直.B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直.C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直.D.对任意位置，三对直线“AC与 BD, “AB与 CD, “AD与 BC 均不垂直2 （2009年浙江17）如图，在长方形 ABCD中, AB=2,BC=1,E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将VAFD沿AF折起，使平面ABDL平面ABC,在平面ABD内过点D作DK1丄AB,K为垂足，设 AK=t,则t的取值范围是,1） _.23、（ 16年浙江六校联考

7、） 如图，在边长为 2的正方形ABCD中，E为正方形边上的动点,现将 ADE所在平面沿 AE折起，使点D在平面ABC上的射影H在直线AE上，当E从点D运动到C，再从C运动到B ,则点H所形成轨迹的长度为 .17.解：(1)由于BH平面 CDEF , BHCD ,又由于 CD DE , BH DE H ,4、(2010年浙江19改编)如图，在矩形 ABCD中，点E, F分别在2线段 AB , AD 上, AE EB AF - FD 4 .沿直线 EF 将 AEF 翻 3折成 A EF，使平面AEF 平面BEF 点M , N分别在线段FD, BC上，若沿直线 MN将四边形MNCD向上翻折，使 C与

8、A重合，则线段FM的长为_5、( 16届金华十校一模 17)如图，在矩形 ABCD，已知AB=2，AD=4,点E、F分别在ADBC上，且 AE=1，BF=3，将四边形 AEFB沿 EF折起，使点 B在平面 CDEf上的射影 H在直线DE上.(I )求证：CD丄BE(n )求线段BH的长度;(川)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值 CD 平面DBE , CD BE.法一：(2)设BH h , EH k，过F作FG垂直ED于点G，因为线段 BE , BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：2 2BEBHEH25h2k2h 22 2 2 2BFBHFHBHFG2GH 2922h2(22，可解得k

9、)k 1 线段BH的长度为2.(2)延长BA交EF于点M ,因为AE : BFMA :MB1:3 ,点A到平面EFCD 的12I距离为点B到平面EFCD距离的，点A到平面EFCD的距离为 ，而AF 13，直33B由于 F(2,2,0),BE5, BF 3,2 2y z4 (y 2)25,2 z解得y 1,于是B(0,1,2)，所以线段BH的长度为9 z 2,2.(3)从而FB(2, 1,2)，故 EA1 FB ( 2,3312,),FA FE EA3 3(3, 3,3)，设平面EFCD的一个法向量为n(0,0,1)，设直线AF与平面EFCD所成角的大小为，Mi-FAn2 1339线AF与平面E

10、FCD所成角的正弦值为 2 13 .39法二：(2)如图，过点 E作ER / DC，过点E作ES 平面EFCD，分别以ER、ED、ES为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点B(0, y,z)(y 0,z 0),FA n则sin立体几何的动态问题之三-最值、范围问题1、（ 2006年浙江理14）正四面体 ABCD的棱长为1，棱AB/平面a,则正四面体上的所 有点在平面a内的射影构成的图形面积的取值范围是2、（ 2008年浙江理10）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足， 若点P在平面a内运动使得 ABP的面积为定值，则动点 P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C） 一条直线（D）两条平行直线3、

11、（ 15届高考模拟卷文）如图，已知球 O是棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的内切球，则平面 ACD1截球O的截面面积为 _4、 （ 2014年金华高二十校联考文 10）圆柱的轴截面 ABCD是边长为2的正 方形，M为正方形ABCD寸角线的交点，动点P在圆柱下底面内（包括圆周）， 若直线BM与直线MP所成角为45,则点P形成的轨迹为 （）A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分C.双曲线的一部分D.圆的一部分5 （2014 浙江卷理科17）某人在垂直于水平地面 ABC勺墙面前的点 A处进行射击训练已知点 A到墙面的距离为 AB某目标点P沿墙面上的射线 CM移动，此人为了准确瞄准目标点P,需计

12、算由点 A观察点P的仰角0的大小若 AB= 15 m, AC= 25 m，/ BCM则a的最大值为（）3、2233A.11、（ 16届宁波一模理14 ）在ABC中,BAC 10 , ACB 30,将直线BC绕AC6 （2015 -浙江卷8）如图11-10 ,斜线段 AB与平面a所成的角为60, B为斜足，平面 a上的动点P满足/ PAB= 30,则点P的轨迹是（）A.直线 B .抛物线C.椭圆 D.双曲线的一支式题（1）如图，平面a的斜线AB交a于B点，且与a所成的角为e，平面a内有一 n动点C满足/ BAC，若动点C的轨迹为椭圆，则 e的取值范围为 _.6（2）在正四面体 ABC中, M是A

13、B的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MNW BD所成的 角为a，则COS a的取值范围是 _.7、（2014年7月浙江学考第25题）在棱长为1的正方体ABCD-A 1B1C1D1 中，E、F分别是棱 A1D1 C1D1 的中点，N为线段BQ的中点，若P、 M分别为DjB、EF的动点，贝U PM+P的最小值为8、（16届嘉兴一模文15）边长为1的正方体ABCD A1 B1C1 D1将其对角线 AC 1与平面 垂直，则正方体 ABCD A1B1C1D1在平面 上的投影面积为_.9、（16届高考模拟卷理）正方体ABCD- AB1C1D的棱长为1，底面ABCD勺对角线BD在平面a内，则正方体在平面

14、 a内的投影构成的图形面积的取值范围是 _.10、（16届高考模拟卷理）将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动,2,366旋转得到BQ，直线AC绕AB旋转得到AC1,则在所有旋转过程中，直线B1C与直线AGA. 6B.211C.2.1513、（15年上海高考题改编）在四面体 ABCD中，已知AD BC , AD 6, BCAB BD AC CDt(t7,），则V四面体ABCD最大值的取值范围是A. 2.7,B.3,C.D.2,试题分析：设ADC，设AB2,则由题意ADBD1 ,在空间图形中,设 AB t ,在ACB中,cos A DBAD2 DB2 AB22A D DB12122 1t22 t21 2 在空间图形中,过 A作AN DC ,过B作BMDC ,垂足分别为N,所成角的取值范围为 _.12、16届金华十校一模理14）在四面体 ABC即，已知ADL BQAD=6,BC=2,且AB = C=2 , BD CD则V 四面体ABCD的最大值为【答案】B.【解析】过 N 作 NP/ /MB，连结 AP , NP DC ,则 ANP就是二面角