三角形倒角压轴题

1、【例1】（北京市竞赛题）在.ABC中，三个内角的度数均为整数，且.A：. B：. C , 4 C=7. A，则.B的度数为.411【解析】 设.C =x，则.A=（x） , B =180 -/A-/C =180x ,77411则x 180x : x，解得 70 ：x ：:84 ,774又x是整数，得x =77，故乙A =44 ，乙B =59 .7【例2】 ABC中，.A是最小角，.B是最大角，且2 B=5. A，若.B的最大值是 m，最小值是n .则m n =.227【解析】.A=2. B，依题意得B 180 B J B，解得 75 J B 100，故 m n =175.555【例3】 （河南

2、竞赛题）若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 . ABC的内角 A、. B、. C满足3 A 5 B , 3 C J 2 B，则这个三角形是（厂A .锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形D 不能确定2 三角形内角和360，故最小的外角为 360 - =80，它对应的内角为最大内角为 100 .9322 C . B A ,. C J B A,535. B . C ： . A , 180 -. A ： . A, . A 90 .【例5】在:ABC中，若AB =2BC , . B =2. A ,判断 ABC的形状（锐角三角形、直角三角形或钝角三角形）， 并写出理由

3、.B . ABC是直角三角形.理由：如上图， AB=2BC , AB BC ,根据大边对大角： ACB A，作.ACD = A , CD与AB交于点D ,根据等角对等边：AD二CD ,由外角定理： ZBDC ZA EACD =2乙A ,又上B =2ZA， /B ZBDC ,由等角对等边：CD二BC ,又 AB =2BC ,1 AD =BD =CD =BCAB ,2 B= BCD 二 BDC =60 ,1ZACDBDC =30 ,2 ZACB ZACD BCD =90 .【例6】 如下图所示，在 ABC中，.ACB=90 , D、E为AB上两点，若 A AC , DCE=45，求证:BC =BD

4、 .ACC.如图， . 2 =45 , AE 二 AC 5 = 2. 3 = 45. 3 . 4 =/A . 3 ,.5-. B =(45. 3) -(90 -. A) = . 3. A_45 =. 4 _45 ./4 . 45 ZBCD ,BC =BD .【例7】 如图，ABC中，BAC=120 , AD _ BC于D，且AB BCD，则乙C的大小是()A 20 B 25C 30 D 大于 30D .如图，在DC上取DE二DB，连接 AE，易得Rt ABD也Rt AED .AB 二 AE 二CE，/AEB=2/C ,所以 /BAC =2EAD EC =2(90 -2/C) EC =120，得

5、.C =20 .【例8】在.ABC中，./A =50，高BE、CF所在直线交于点 O ,且点O不与点B、C重合，求MBOC的 度数.CO【解析】对于没有给出具体图形的几何问题，一定有要根据题意画出图形，特别是要注意是否有多解的情况若ABC是锐角三角形，如图(1)所示，BOC 二 A ABE ACF 二 A (90 A) (90 - A)=180 _A=130若 ABC是钝角三角形，如图(2)所示，BOC =90 - ECO =90 - ACF =90 -(90 - A) = A =50从本题我们能得到一个重要结论：三角形两边上的高相交所形成的角与第三边所对的角的关系是：当此三角形是锐角三角形时

6、，它们互补；当此三角形是钝角三角形时，它们相等.【例9】 如图，在ABC中，BE、CD分别是 ABC、 ACB的角平分线，且BD C BC，则.A的度数 为.【解析】60 .【例10】 如图所示，已知CB/ OA , . C=/OAB=100 , E , F在CB上，且满足.FOB =/AOB , OE平 分厶COF 求.EOB的度数； 若平行移动AB，那么.OBC :. OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； 在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使.OEC二.OBA ?若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由.【解析】此题是一类重点题型，考查了学生的转

7、化思想，题目难度较大，是角平分线与平行性质的综合，提 高班及精英班老师可提前给学生渗透这种思想，让学生掌握此类问题的解法. 40 ;(2) 1:2 ;(3)存在，.OEC - OBA = 60 【例11】(2008年南通市)已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：方法1:直接法计算三角形一边的长，并求出该边上的高.方法2:补形法将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.方法3:分割法选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形.现给出三点坐标：A( 1,4) , B(2 , 2) , C(4 , -1)，请你选择一种方法计算 AABC的面积，你的

8、答案是S腔BC = 利用方法2,如图，取点D(4 , 4),连接AD、【解析】 本题考查三角形面积的求法及在坐标系内求线段长度.BD、 DC ABCACD1 125Sa acdAD DC 5 52 221 1SabcdDC (Xd -Xb)5 2 =5 ,2 21 1Sa abd=2 AD (yD-yB)=? 5 2=5 ,故应填-2A【例12】如右图所示，BD是.ABC的角平分线，CD是.ACB的角平分线，BD、CD交于D，试探索.A与ZD之间的关系：.C【解析】在 BDC 中，.D . DBC . DCB =180；. DBC . DCB =180 -/D11它DBC ABC , /DCB

9、 ACB2 21 .(. ABC . ACB) =180 -/D2在 ABC 中，.A ： ABC . ACB =1802 D _ . A =180，即 MD =90丄 MA【例13】2（05年山东中考题改编）如右图所示，BD是 ABC的外角平分线，CD也是:ABC的外角平分线,BD、CD交于点D，试探索 A与.D之间的关系:F【解析】【例14】 EBC = A ACB, FCB = A ABC EBC FCB = . A . ABC ACB . A =180 A1 ! 1 (ZEBC EFCB) =90A2 2112DBCEBC，/DCBFCB221 i 1ZDBC DCB(/EBC FCB

10、)=90A2 2在 DBC 中，D - DBC DCB =180- D 90；丄 A =180：，即 D =90 -1- A2 2如右图所示，BD是.ABC的角平分线，CD是 ABC的外角平分线，BD、CD交于点D，试探索 -A与.D之间的关系：DBC E【解析】 ACE = A ABC11. DCE ACE , DBC ABC221/DCEA ZDBC2T. DCE 二/DDBC11/D . DBC A . DBC，即 DA22【例15】如右图所示，在 UABC中,CD、BE是外角平分线,BD、CE是内角平分线,BE、CE 交于 E，BD、CD交于D，试探索.D与.E的关系:D【解析】在.B

11、EO和.DCO中,111/ EBO ABF ：_ABC 180 =90222同理 DCO =90 EBO =/DCOT EOB = DOC , D = E【例16】如图所示，点E和D分别在 ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分.ACB和.AED , 试探索 ZF与/B，也D的关系： B【解析】 EGD与CGF中， EGD=/CGF F 二 D DEG FCG同理 BHC 与 FHE 中，ZBHC ZFHE F 二 B 4CB ZHEFDEG ZHEF，乙FCG ZHCB1【例17】即.FD . B），也可连接EC ,而后利用等量代换求证.如图所示，DC平分.ADB , EC平分.

12、AEB,试探索ZDCE与.DBE和.DAE的关系:【解析】连接DE ,在 BDE 中，乙DBE /BDE /BED =180. BDE EBED =180 ZDBE【例18】EE在.ADE 中，乙DAE ZADE EAED =180又. ADE =/ADB . BDE , . AED =/AEB . BED DAE . ADB . AEB =180 -(. BDE . BED)=180 -(180 -. DBE) =. DBE ADB AEB 二 DBE/DAE在.DCE 中，乙DCE WCDE CED =1801N CDE ZCED(/ADB ZAEB) BDE EBED)21上 DCE =

13、180(/DBE /DAE)-(/BDE EBED)211-.DBE (. DBE - DAE)(. DBE . DAE),221即：.DCE( DBE . DAE)如图，在三角形 ABC中， A =42； , . ABC和.ACB的三等分线分别交于 数.D、E，求.BDC的度【解析】设ZABC的三分之一为x , ZACB的三分之一为y，因为三角形内角和为180，所以有：3x 3y 42 =180 ,180 -42180 -42即 x y，所以 BDC =180 -288 .3 3【例19】如图，.A =60 ,线段BP、BE把.ABC三等分，线段CP、CE把.ACB三等分，贝，BPE的大小是

14、.【解析】思路1:分析可知.BPC=/A . ABP爲/ACP,因为.A =60 ,故可以先考虑求出.ABP . ACP的度数，根据题设条件，线段BP、BE把.ABC三等分，线段 CP、CE把.ACB三等分，所以111.ABP ABC, . ACP ACB， . BPE BPC，这样只要求出.ABC . ACB 的度数，就3 32可以解决问题，只需利用三角形内角和定理，即可求出.解法1 :在BPC中，因为BE平分.CBP , CE平分.BCP ,所以PE是三BPC的平分线.1即 /BPEBPC .2因为.么=60 ,所以.ABC . ACB =120 ,又因为BP、BE把/ABC三等分，CP、

15、CE把乙ACB三等分.11所以.ABP ABC , ACP ACB ,3 3又因为 ZBPC ZA /ABP /ACP,1所以 2/BPE ./A (/ABC 乙ACB),11所以 ZBPE 60120 =50 .26思路2:结合本题特有条件， 还可以把着眼点集中于 厶BPC中，直接利用三角形内角和定理解决这一1问题同样由两个三等分得到.BPE二-.BPC，不同在于我们利用三等分的另一个结论，222.BCP ACB , . CBP ABC .3 3解法2 :在BPC中，因为BE平分 CBP , CE平分.BCP ,所以PE是.BPC的平分线，即.BPE =1. BPC .2因为 A =60 ,

16、所以 ZABC MACB=120 .2-BCP CBP ( ABC ACB) =80 ,3所以 BPC =100，所以 BPE 二-100 =50 .2【总结】图1和图2中，分别是两个内角的 2等分线，3等分线相交.图1图久0易得结论：图1中有NR =180 +/A =900 +空,2 2【例20】1802 匸 A3= 602CAZP2 =90。丄=9020 型亠=120。6ZA如图，延长四边形ABCD对边 AD，交BC于F ,DC , AB交于 E 右.AED , . AFB的平分线、 1交于 O，求证： /EOF(EAF /BCD).【解析】延长FO交AE于H点，2 EOF =2(. FHE . OEA) =2(. FAE . AFH . OEA).FAE BCD =/FBE 2 OEA FAE二.FAE 2. AFH 2 OEA . FAE= 2(. FAE . AFH . OEA)1即 ZEOF(WEAF ZBCD)【例21】（第5届希望杯初二1试）如图，