直线与平面所成角

1、1、定义：平平面面的的斜斜线线的的斜斜线线叫叫做做斜斜交交，直直线线与与平平面面直直线线相相交交但但不不垂垂直直时时，叫叫做做与与平平面面当当直直线线 lll点点在在平平面面内内的的射射影影外外一一点点时时：为为平平面面 A上上一一点点时时：为为平平面面 A内内的的射射影影在在就就是是点点，则则于于若若 AOOAO AA内内的的射射影影就就是是在在 PABP11、定义：l与其在平面 上斜线射影的所成的，锐角.l叫做直线与平面 所成的角注： 1l当时，902当时，0/ll或2、范围：1斜线与平面(0 ,90 )2直线与平面0 ,90 线线面面角角所所成成的的角角平平面面和和中中，求求例例：在在正

2、正方方体体CDBABADCBAABCD1111111A1ABB1CDC1D1OOAOC111点点，连连接接于于，交交连连接接CBB111BCBCBCCD面面面面CDBABCBCCBBCCD111111面面内内的的射射影影在在面面为为CDBABAOA1111所所成成的的角角和和面面为为CDBABAOBA1111aOBaBAOBAa222RT11,中中，则则在在设设正正方方体体边边长长为为2111BAOBOBA中中sin30111所所成成的的角角为为和和平平面面CDBABA所所成成的的角角与与求求的的斜斜线线，是是内内，在在平平面面例例： OAaBCaOCOBOAAOCAOB,260OABOCBO

3、CA60AOCAOBaOCOBOA,aABACAOBAOC都都为为正正三三角角形形,都都为为等等腰腰直直角角三三角角形形ABCBOCaBC,2OEAEEBC，连连接接中中点点取取EaOEBCAE22AE且且,OEAEaOA 面面 AE所所成成的的角角与与为为 OAAOE45OA45为为所所成成的的角角与与 AOE130 ,45.Rt ABCABACBCCDABCD、已知的斜边在平面 内，和与 所成的角分别是，是斜边上的高，求与 所成的角ABCDC1解：11,CCC作于1C D连1.CDC则即为所求11,.AC BC连1CAC则301CBC451CCa设CA 2aCB2aRt ABC在中， AB

4、6aCDAC BCAB2 33a1Rt CC D在中，1sinCDC1CCCD321CDC 6060CD与 所成的角为PABP1l(1)三垂线定理1PPl1lAPlAP(2)三垂线逆定理1PPllAPl1AP应用：C1D1B1A1CDAB1AAAC面BDAC面BDACBD1AC三三垂垂线线定定理理及及其其逆逆定定理理PABP1前提： 平面外一点从引斜线段斜线段相等射影相等应用：_如果三棱锥的三条侧棱相等，则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的BADCO外心射射影影定定理理拓拓展展 :P PC CB BA AO O若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三棱锥的顶点若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三棱锥

5、的顶点在底面的射影是底面三角形的在底面的射影是底面三角形的 垂心垂心PBC面面PAPCPAPBPAAOBCABCBCBCAPBCPO面面面面ACOAB同同理理_如果三棱锥的三个侧面上的高相等，则三棱锥的顶点在底面上的射影是底面三角形的EBADCFHO内心OEBCBCDBCBCAEBCDAO面面面面OFCDOHBD，同同理理AOFRTAOHRTAOERT且且OFOHOE所所成成的的角角与与面面的的中中点点，求求是是点点，外外在在面面例例：BCDCEADEDBCDBCADACABBCDA,ABCDEDFFBC，连连接接中中点点取取FAOOBCDAO，连连接接于于点点平平面面作作OODOCOBADA

6、CAB的的外外心心为为 BCDOCHH,DFEH/AO连连接接于于交交作作H所所成成角角与与面面为为面面BCDCEECHBCDEHaODaa3323CEAB,则则设设aEHaOA6636,32ECHsin32BCDCEarcsin所所成成角角为为与与面面例、若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等例、若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上这一点在平面上的射影在这个角的平分线上已知：已知：BAC在平面在平面 内内,点点P,PEAB,PFAC,PO ,垂足分别是垂足分别是E、F、O,PE=PF.分析分析: 要证要证BAO=CAOP C B A O F

7、求证求证:BAO=CAO只须证只须证OE=OF, OEAB,OFACE 若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等,则这一则这一点在平面上的射影在这个角的平分线上点在平面上的射影在这个角的平分线上结论：结论：过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等过角的顶点的射线和角的两边的夹角相等,则这条射线在平面内的射影是角平分线则这条射线在平面内的射影是角平分线CAOB则则CO在平面在平面AOB内的射影内的射影E为角为角AOB的平分线的平分线COBCOA若若E FG290 ,3,4,60Rt ABCAABACPAABCPABPACPAABC 、如图，在中，是平面的斜线，

8、。求与平面所成角的大小；APCBODE解：,POABCO作面于,OA连.PAO则即为所求,ODABD作于PD连接,OEACE作于PE连接ABPDACPEPABPAEPDAPEA ADAEADOE四边形为正方形ADa设AO2aRt PDA在中，60PABPA 2aRt POA在中， cosPAOAOPA22PAO 4545PAABC与平面所成的角为的的范范围围角角，求求，成成与与分分别别引引斜斜线线段段外外一一点点例例：从从平平年年APBPBPAPBPA3045P ,PBAO 旋旋转转绕绕着着让让现现固固定定POPAO, POPB的的增增大大而而增增大大将将随随着着中中，在在ABAPBPAB的的范范围围现现确确定定，设设不不妨妨设设xx,AB1OP1A2A1313maxmin, xx24-6APB2xAPB cos中中，在在,10515APB例例、异面直线异面直线a,b所成的角为所成的角为500，P为空间为空间一定点，则过一定点，则过P点且与点且与a,b所成的角都是所成的角都是300的直线有且只有（的直线有且只有（ ）A. 条；条；B.条；条；C.条；条；D.条条变式一、变式一、例中例中,过点且与所成的角都是过点且与所成的角都是变式二、变式二、异面直线异面直线a,b所成的角为所成的角为600，P为空间一定点