初等几何变换(一)

1、初等几何变换初等几何变换( (一一) )变向:反射变换.保向:平移变换,旋转变换.2.相似变换:(保持形状不变)1.合同变换:(保持距离不变)一一. .复习介绍复习介绍: :特殊地,位似变换.1.合同变换分:平移、反射、旋转三个变换.反射自身不构成“群”.平移变换：每一个平移之逆也是平移，任二个平移之积仍是平移.二二. .变换与变换的乘积变换与变换的乘积: :a.任二反射之积当反射轴平行时,积是一次平移.反射变换：“平移成群”b.任二反射之积当反射轴斜交时,积是一次旋转.c.任二反射之积当反射轴垂直时,积是中心对称.注:中心对称属于旋转.（见P564-565)旋转变换：a.有同一个旋转中心的所

2、有旋转成“群”.b.不同中心旋转之积(、是旋转角）时，成为一次平移。当时，仍是一个旋转；当360360图形见P563.应用-斯坦纳(Steiner)问题: 设有不共线的三村A、B、C,欲共挖一井,问挖在何处,方使铺向三村的输水管总长最短。.,120,120,120000000PCPBPACPBPAPACPCBPBAPABC求证：中，已知在问题转化为：CCPPN N定理:任一合同变换可分解为不多于三个的反射之积. P565合同变换:平面到自身的变换,若保持距离不变,则称它为合同变换.所有的合同变换组成“群”.也可以说,合同变换不外是由平移、旋转和反射复合而成.2.位似变换:（位似比）是对应点，与

3、，位似中心kOPPOPPO的同侧；在、时，称同向位似，这时当OPPk0的异侧。在、时，称反向位似，这时当OPPk0DCBACDAB:.即之比是位似的不变量基本不变量：任二线段.保角性、保圆性基本不变性：平行性、.性、对称性、传递性图形的位似还具有反身3.相似变换:（相似比）有，与，与任二对对应点kABBABBAA时，称同向相似；当0k时，称反向相似。当0k.变夹角在相似变换下也不任二直线的在相似变换下不变，不变量：任二线段之比.下的像还是圆不变性：圆在相似变换.变换的乘积成一个位似与一个合同任一相似变换皆可分解相似变换的分解定理：.似变换群所有的相似变换构成相三三. .举例举例: :.43,:

4、. 1ABCCBASSCFACBECBADBACBACFBEADABCCFBEAD求证：，使，作成一个新、由的三条中线，是、已知例N N(A)(B)(C)MM.:. 2BNEAMENMBCADEFBCADFCDFEBAECDABFEABCD点，求证：、交于延长线分别、与，且边上的点，、分别是、中，已知四边形例G GH H1221.:. 2BNEAMENMBCADEFBCADFCDFEBAECDABFEABCD点，求证：、交于延长线分别、与，且边上的点，、分别是、中，已知四边形例K K1221.:,. 3PCAPBAAPCAPBABCPACABABC求证且有内一点是中已知例Q Q.:. 5321

5、321321三点共线、证是它们的位似中心，求依次、两两彼此位似，、图形例OOOOOOFFF位似轴位似轴133332222111AOOAAOOAAOOA1113333222211ACCAACCAACCA.321三点共线、OOO321AAA对于.:,:)(6585的内心的中点是线段求证，、分别切于、的外接圆，且与于内切有一圆中，在已知例ABCPQQPACABABCOACABABCPMMT TE ED D思路:如图,T为O与ABC的切点，PQ交AT于M，图形以AT为对称轴，即在以A为中心,ABC与ADE的位似变换下,k为位似比,而O是ADE的内心,故M是ABC的内心.PQAT,BCAT,DEAT,DTPM.ADA