地籍测量学第五章_面积量算与面积汇总统计

1、第一节第一节 面积量算的要求与准备工作面积量算的要求与准备工作概念概念 面积量算是地籍测量和土地利用现状调查的基本内容，面积量算是地籍测量和土地利用现状调查的基本内容，为土地税收和掌握土地权属分布的数量及土地利用状况为土地税收和掌握土地权属分布的数量及土地利用状况提供准确的数据。提供准确的数据。方法方法解析法：根据实测的数值计算面积的方法，包括几何解析法：根据实测的数值计算面积的方法，包括几何图形法和坐标法。图形法和坐标法。 1.1. 图解法：是指从图上直接量算面积的方法，包括几何图解法：是指从图上直接量算面积的方法，包括几何要素与坐标量算法、膜片法、求积仪法、沙维奇法、要素与坐标量算法、膜片

2、法、求积仪法、沙维奇法、光电求积仪以及电算法。光电求积仪以及电算法。原则：原则：从整体到局部，层层控制，分级量算，从整体到局部，层层控制，分级量算，块块检核，逐级按比例平差。块块检核，逐级按比例平差。 土地面积量测的控制通过土地面积量测的控制通过分级量算分级量算和和逐级限差逐级限差来实现。来实现。 分级量算：分级量算：从高层次（大范围）到低层次（小范围）逐从高层次（大范围）到低层次（小范围）逐级进行，低层次在上一级的控制下量算和平差。级进行，低层次在上一级的控制下量算和平差。 逐级限差：逐级限差：相邻两级之间，分量之和与总量的差额由限相邻两级之间，分量之和与总量的差额由限差允许范围来控制，在限

3、差范围内平差。差允许范围来控制，在限差范围内平差。 基本控制基本控制有两种：有两种：以图幅理论面积为基本控制以图幅理论面积为基本控制坐标解析法计算的总面积为基本控制坐标解析法计算的总面积为基本控制要求：要求：两次独立量算面积，较差在限差内取中数；图解法两次两次独立量算面积，较差在限差内取中数；图解法两次量算较差量算较差P P 0.003M 0.003M ，（，（P P为量算面积，为量算面积，M M为地为地籍图比例尺分母）籍图比例尺分母）图解法量算面积时，以图幅理论面积为基本控制，图幅图解法量算面积时，以图幅理论面积为基本控制，图幅内各街坊及街坊以外其它区块面积之和与图幅理论面积内各街坊及街坊以

4、外其它区块面积之和与图幅理论面积之差小于之差小于0.0025P0.0025P（P P为图幅理论面积，单位：为图幅理论面积，单位：m m2 2）；）；解析法计算面积，必须求出跨图幅的宗地界址边与图廓解析法计算面积，必须求出跨图幅的宗地界址边与图廓线交点的坐标，方可进行计算面积，进行面积控制。线交点的坐标，方可进行计算面积，进行面积控制。面积小于图上面积小于图上5cm5cm2 2的地块不得用图解法量算面积。的地块不得用图解法量算面积。P准备的资料：准备的资料： 基本地籍图分幅表、基本地籍图、解析界址点基本地籍图分幅表、基本地籍图、解析界址点坐标成果表及其计算和记录手薄、地籍调查表、坐标成果表及其计

5、算和记录手薄、地籍调查表、二底图的兰晒图或原图的宗地透写图等等。二底图的兰晒图或原图的宗地透写图等等。拟定量算计划，确定量算方法。拟定量算计划，确定量算方法。在二底图或原图的宗地透写图上标出行政界线，在二底图或原图的宗地透写图上标出行政界线，对街坊外、街坊内宗地外无地类注记区块进行对街坊外、街坊内宗地外无地类注记区块进行标界和编号。标界和编号。已知宗地所有界址点已知宗地所有界址点1234512345的坐标，的坐标，X X1 1Y Y1 1 X X5 5Y Y5 5，计算本宗地的面积计算本宗地的面积S SP P。（图。（图5-15-1）1 12 23 34 45 51 12 23 34 45 5

6、P PX XY Y图图5-15-1如图所示如图所示: :11 2 222 3 333 4 444 5 555 1 1PSSSSSS 即即: :122123334434554515111()()()(2)2211()()()()221()()2PSXXYYXXYYXXYYXXYYXXYY展开上式可写成展开上式可写成: :1 22 12332344345545 11 51252313424535142()()()()()2()()()()()PX YX YX YX YX YX YX YX YX YX YPX YYXYYX YYXYYX YY或者是或者是: :( (式式5-1)5-1)( (式式5-

7、2)5-2) 设有设有n n个界址点组成的多边形，并按顺时针编号，个界址点组成的多边形，并按顺时针编号，k k为任一点的编号，则上两式可写成如下形式：为任一点的编号，则上两式可写成如下形式：1111111111112()()2()()2()2()nkkkkknkkkkknkkkknkkkkPXXYYPYYXXPXYYPYXX( (式式5-3)5-3)( (式式5-4)5-4)注意：当注意：当k=1k=1时，时，k-1=nk-1=n；k=nk=n时，时，k+1=1k+1=1。 已知一多边形宗地的界址点的坐标如下：已知一多边形宗地的界址点的坐标如下： A A（500.00,500.00500.00

8、,500.00）、）、B B（1100.43,1050.221100.43,1050.22）、）、C C（638.22,1636.88638.22,1636.88）、）、D D（114.21,1100.67114.21,1100.67）、）、E E （347.69,753.65347.69,753.65），单位为米。试求面积。），单位为米。试求面积。 问题：为何要计算椭球面积？问题：为何要计算椭球面积？椭球面积计算的步骤：椭球面积计算的步骤：通用坐标的换算通用坐标的换算换算椭球面大地坐标换算椭球面大地坐标y =y-500000-n*1000000 22222 22411224242617202

9、23162422 2510120()()(539)()()(619045)()()11()()(12)()()coscos1(5282468)()()cosffffyyBBV tttV tNNyttV tNyyLtBNBNytttLBN 计算椭球面积计算椭球面积: :121232122521272129212sin ()cossin ()cos32sin ()cos5sin ()cos7sin ()cos9mmmmmABBBBBBBSbLCBBBDBBBEBBB 一、几何图形计算法一、几何图形计算法三角形面积计算三角形面积计算已知两边边长已知两边边长a a，b b及其夹角及其夹角CC，则面积，

10、则面积P P为为：已知一边边长已知一边边长a a及其两邻角及其两邻角BB和和CC，则面积，则面积P P为为：1.1.已知三边边长已知三边边长a a，b b，c c，则面积，则面积P P为为：12212sin2(cotcot)()()()()PabCPaBCPs sa sb scsabc梯形面积梯形面积（已知数据标明在图（已知数据标明在图5-25-2上）上）四边形面积四边形面积（已知数据标明在图（已知数据标明在图5-35-3上）上）B BA AC Ca aD Db b222(cotcot)abABP 121(sinsin)21(sinsinsin(-180 )21sin2PadAbcCoadAa

11、bBbdABd dA AB BC CD Da ab bc cd dd d1 1d d2 2图图5-25-2图图5-35-3 不规则图形采用支距法，然后转化为三角形或梯形计算面不规则图形采用支距法，然后转化为三角形或梯形计算面积。计算通式积。计算通式（图（图5-45-4）：A AB BD DC CE EF FG Gb bg gc cd df f（图（图5-45-4）其中，其中，BbBb、CcCc、DdDd、FfFf、GgGg均为支距，则多边形的均为支距，则多边形的面积为：面积为：S SABCDEFG ABCDEFG = = 各梯形面积各梯形面积 = = （测线两端支距之和纵距）（测线两端支距之和

12、纵距）/2/2图图5-5a5-5aA AC CB BD DE E5 51 12 24 43 36 6F FG G注意两种情况：注意两种情况：界线中有一段与纵轴相交时，则以两支距之差与纵距乘界线中有一段与纵轴相交时，则以两支距之差与纵距乘积的一半为其面积。积的一半为其面积。（如图（如图5-5a5-5a）S SABCDE ABCDE = = （1+2+3+61+2+3+6） = (1+2+6+5+(3-5)= (1+2+6+5+(3-5) = 1+(GE+FD)FG/2 = 1+(GE+FD)FG/2 +(BC-FD)BF/2 +(BC-FD)BF/2 多边形有凹入角项，且折线呈折返现象时，则计算

13、面积多边形有凹入角项，且折线呈折返现象时，则计算面积为负，折线向前延伸时，计算面积为正。（如图为负，折线向前延伸时，计算面积为正。（如图5-5b5-5b）（如图（如图5-5b5-5b）A AC CB BD DE Ed db bc cS SABCDE ABCDE = S= SABbABb-S-S梯形梯形CcbBCcbB +S+S梯形梯形CcdDCcdD+S+SDdEDdE 曲边形曲边形ABCDABCD，边，边CDCD为抛物线，为抛物线，F F为弧为弧CDCD与与ABAB中分线的交点中分线的交点（图（图5-65-6），而辛普森认为，弦），而辛普森认为，弦CDCD与抛物线与抛物线DFCDFC之间的面

14、积之间的面积B BA AE EC CD DG GF Fd dh h1 1d dh h2 2h h3 3为梯形为梯形DEGCDEGC面积的三分之二，面积的三分之二，最终推导出以下公式：最终推导出以下公式：S SABCFDABCFD=(h=(h1 1+4h+4h2 2+h+h3 3)d/3)d/3在运用辛普森法则时要注意抛物线在运用辛普森法则时要注意抛物线DFCDFC是凸向还是凹向是凸向还是凹向边边ABAB的问题。野外观测时要等间隔丈量支距。的问题。野外观测时要等间隔丈量支距。图图5-65-6 该法属图解法。但这种方法的精度不高，须加强面积控该法属图解法。但这种方法的精度不高，须加强面积控制。现在

15、已基本摒弃了这种做法。制。现在已基本摒弃了这种做法。1.格网法（方格法）（图格网法（方格法）（图5-7）右图白线为边长为右图白线为边长为1mm1mm或或2mm2mm正方形正方形格网的透明膜片；红线是被被测图格网的透明膜片；红线是被被测图形；蓝色阴影区为图形内的破格。形；蓝色阴影区为图形内的破格。图形面积图形面积= =（整方格数（整方格数+ +破格折合数）破格折合数）* *C C （C C为小格代表的实地面积）为小格代表的实地面积）这种方法须两次计算面积，并有限这种方法须两次计算面积，并有限差要求。差要求。图图5-75-7格网法中膜片的格网交点绘成格网法中膜片的格网交点绘成0.1mm0.1mm或

16、或0.2mm0.2mm的圆点，通过查的圆点，通过查点数的方法，并应用格点多边形面积公式来计算面积。点数的方法，并应用格点多边形面积公式来计算面积。（如图（如图5-75-7）图图5-75-7确定网点板上的单点面积确定网点板上的单点面积C C（m m2 2），）， C = HC = H2 2M M2 2/1000/10002 2蒙板片在图上，数出在图内的整点阵蒙板片在图上，数出在图内的整点阵数数n n，及与图形边相切或重合的点数，及与图形边相切或重合的点数m m，下列公式计算图形面积下列公式计算图形面积P P： P=P=（n+m/2-1n+m/2-1）C C也须两次计算面积，并有限差要求。也须两次

17、计算面积，并有限差要求。利用绘有间距为利用绘有间距为1mm1mm或或2mm2mm平行线的透明膜片，蒙在待测图形平行线的透明膜片，蒙在待测图形上，量取图形边截取平行线上的长度来计算图形面积。上，量取图形边截取平行线上的长度来计算图形面积。（图（图5-85-8）图图5-85-8首先尽可能使图形的上下端界线首先尽可能使图形的上下端界线分别处于平行线间的中间位置，分别处于平行线间的中间位置，固定膜片后，量取图形内的各线固定膜片后，量取图形内的各线长度，并取总和，即长度，并取总和，即 L = a + b + cL = a + b + c按下式计算面积按下式计算面积P P： P = L P = L H H

18、 M M2 2其中其中M M为图形比例尺分母。为图形比例尺分母。b ba ac cH H该法适用于面积较大，外形不规则图形的量算。该法适用于面积较大，外形不规则图形的量算。求积仪按其结构分为极式和无极式两种；按其精求积仪按其结构分为极式和无极式两种；按其精度分为度分为A A级（级（1mm1mm2 2），），B B级（级（2 25mm5mm2 2），），C C级（级（ 5 510mm10mm2 2 ）。）。无论极式或无极式求积仪，按测杆长度分为单式无论极式或无极式求积仪，按测杆长度分为单式求积仪和复式求积仪。求积仪和复式求积仪。光电求积仪主要有光电面积量测仪和密度分割仪。光电求积仪主要有光电面积

19、量测仪和密度分割仪。该求积仪导轮运动时，绞结点的轨迹是一条直线，在测针测该求积仪导轮运动时，绞结点的轨迹是一条直线，在测针测定面积时，只计算测杆运动所覆盖的面积即可。（图定面积时，只计算测杆运动所覆盖的面积即可。（图5-95-9）2 23 34 45 56 67 78 89 91 1透镜或测针透镜或测针L L测轮测轮绞结点绞结点P轨迹轨迹导棍导棍测杆测杆r r图图5-9 5-9 求积仪原理图及测针移动时绞结点运动轨迹图求积仪原理图及测针移动时绞结点运动轨迹图绞结点轨迹绞结点轨迹P P1 1P P0 0dsds2 21 1测针从测针从A A0 0运动到运动到A A1 1的过程中，测轮的过程中，测

20、轮外周的移动为：外周的移动为：代入上式得：代入上式得：图图5-10 5-10 面积单元的分解面积单元的分解测针做微小移动，测杆运动覆盖的微测针做微小移动，测杆运动覆盖的微小面积为图上红线围成的面积。过小面积为图上红线围成的面积。过P P1 1作作P P0 0A A0 0的平行线的平行线P P1 1A A1 1，则单元面积，则单元面积如下：如下： 212dsLdhL ddldhrd212dsLdlrLdL dP P0 0P P1 1A A0 0A A1 11Ad绞结点轨迹绞结点轨迹L LL Lr rr rdh测针沿图形全周移动一周，对测针沿图形全周移动一周，对dsds积分得：积分得：212Sds

21、LdlrLdL d212L dlrL dLd0d由于测针绕行一周，则由于测针绕行一周，则: :而而因此：因此：sLdl21()dlDnD nn21()SLD nn其中：其中：L L为测杆长度，为测杆长度，D D为测轮直径，为测轮直径，n n2 2、n n1 1为终读数和始读数。为终读数和始读数。 由于测杆长度的变化、测轮滚动得不规则以及电子转换装由于测杆长度的变化、测轮滚动得不规则以及电子转换装置的不完善将带来系统性的误差，量测前需测定求积仪置的不完善将带来系统性的误差，量测前需测定求积仪的常数的常数C C。 如果所测面积与已知面积的差数小于量测精度如果所测面积与已知面积的差数小于量测精度2

22、21010-4-4X X（cmcm2 2）（X X为比例尺分母），则不予以改正；为比例尺分母），则不予以改正；C C值与值与1 1个脉个脉冲所代表理论面积不符，则要改正。冲所代表理论面积不符，则要改正。确定所测图形是否在仪器测定的范围内；确定所测图形是否在仪器测定的范围内；3.3. 当不能纳入时，应分割图形，分别量测面积。当不能纳入时，应分割图形，分别量测面积。已知面积C=测轮读数的平均面积插值法原理：插值法原理： 设图形曲线边的原函数方程为设图形曲线边的原函数方程为 y=f(x)y=f(x)。设定一插值函数设定一插值函数(x)(x)近似地拟合近似地拟合f(x)f(x)；已知；已知的界址点位于

23、曲线上，把这些点作为插值点，的界址点位于曲线上，把这些点作为插值点，代入代入(x)(x)，求解，求解(x)(x)的系数，得到的系数，得到y=y=(x)(x)，认为它即为认为它即为y=f(x)y=f(x)的插值函数。的插值函数。 插值函数一般选用代数多项式。有插值函数一般选用代数多项式。有n+1n+1个已知界址点，代入坐标，求解个已知界址点，代入坐标，求解a an naa1 1，a a0 0，得到适用于该曲线的插值函数。，得到适用于该曲线的插值函数。1110( )nnnnxa xaxa xa 另一种方法是将整条曲线采用分段另一种方法是将整条曲线采用分段和低次内插（二次多项式）的方法和低次内插（二

24、次多项式）的方法来代替原曲线，这样计算的面积精来代替原曲线，这样计算的面积精度相对较高。（图度相对较高。（图5-115-11）A AB BC CE EF FD DH HG G图图5-11 5-11 分段内插法分段内插法120201012010210122021120201012010210122021()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()x x x xx xx xx xx xyyyyxx xxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyxxxxyyyyyyyyyyyy曲线上界址点的间距根据曲线的弯曲程度和测图比例尺曲线上界址点的间距根据曲线

25、的弯曲程度和测图比例尺而定，内插点间距也要适当。而定，内插点间距也要适当。内插法计算面积的误差来源：内插法计算面积的误差来源：界址点的测量误差；界址点的测量误差；插值曲线函数插值曲线函数(x)(x)与原曲线函数与原曲线函数f(x)f(x)不重合产生的误差；不重合产生的误差；各内插点的连线与插值曲线各内插点的连线与插值曲线(x)(x)不重合产生的误差。不重合产生的误差。如果第如果第项误差明显小于前两项，则增加内插点是无意义的。项误差明显小于前两项，则增加内插点是无意义的。内插计算因起始点位置不同所得图形与实地也有差异。内插计算因起始点位置不同所得图形与实地也有差异。内插时起点与终点的连线与坐标轴

26、平行时，插值精度最内插时起点与终点的连线与坐标轴平行时，插值精度最好；而成好；而成4545角时，精度较差。角时，精度较差。该法以求积仪为工具，运用坐标格网的理论面积进行控制计该法以求积仪为工具，运用坐标格网的理论面积进行控制计算，最后将量测误差配赋后，精确求解面积。算，最后将量测误差配赋后，精确求解面积。P P1a1a1 13 32 25 54 4P P2b2bP P1 1P P2 2P P4 4P P3 3P P2a2aP P1b1bP P3a3aP P4b4bP P4a4aP P3b3b图图5-12 5-12 沙维奇法沙维奇法maxmin40114005iiiaibibiPCPPCCCPP

27、P均求积仪的分划值及其相对求积仪的分划值及其相对误差：误差：整个图形的总面积：整个图形的总面积：1.1. 底图变形对面积量算的影响底图变形对面积量算的影响 设设L L为变形图纸上量取的直线长度，为变形图纸上量取的直线长度，L L0 0为相应实地水平距离为相应实地水平距离的图上应有长度，的图上应有长度，r r为平均变形系数，则有：为平均变形系数，则有：r =(Lr =(L0 0-L)/ L-L)/ L 0022220220;212()xyxyxyxxyyrrxyLLx ry rLLrrr 若令设设r r在在X X，Y Y坐标轴上坐标轴上的分量分别为的分量分别为r rx x、r ry y，则计算直

28、线真，则计算直线真实的坐标增量：实的坐标增量：0(12 )PPr计算量测面积计算量测面积P P的改正数的改正数P P0 0为：为： 地籍图的投影面是与大地水准面符合地籍图的投影面是与大地水准面符合相当好的参考椭球面，或与参考椭球相当好的参考椭球面，或与参考椭球面平行的椭球面，而地籍管理工作需面平行的椭球面，而地籍管理工作需测算地球表面水平面的面积。其中，测算地球表面水平面的面积。其中，P P0 0为投影面上的面积，为投影面上的面积，P P为需测算的面为需测算的面积。积。 （图（图5-135-13）02220012()1LRHHLRRPLHHPLRRL L0 0A ABH HR RL L地球表面

29、地球表面投影面投影面图图5-13 5-13 面积投影面积投影0(12)PPH RH(m)H(m)2H/R2H/RH(m)H(m)2H/R2H/RH(m)H(m)2H/R2H/RH(m)H(m)2H/R2H/R1001001:320001:32000100010001:32001:3200200020001:16001:1600300030001:10601:10605005001:64001:6400150015001:21001:2100250025001:12701:1270350035001:9101:910表表5-1 5-1 不同高程的面积投影改正数不同高程的面积投影改正数 通常地面不

30、是一个平面，更不是一通常地面不是一个平面，更不是一个水平面，这儿是指一个倾斜面或个水平面，这儿是指一个倾斜面或近似的倾斜面面积。（图近似的倾斜面面积。（图5-145-14）0020cossec(12)PbLbLPPPP P0 0L Lb bL LP P图图5-14 5-14 倾斜面积倾斜面积与水平面积图示与水平面积图示取近似值：取近似值：表表5-2 5-2 不同倾角的自然地表面积改正数（不同倾角的自然地表面积改正数（ 为弧度为弧度 ）2 2/2/22 2/2/22 2/2/20.60.61:182401:182402.32.31:12411:12414.04.01:4101:4101.11.1

31、1:54271:54272.92.91:7811:7814.64.61:3101:3101.71.71:22721:22723.43.41:5681:5685.15.11:2521:252 解析法测算面积通常用街坊面积控制街坊内宗地、其它图块解析法测算面积通常用街坊面积控制街坊内宗地、其它图块面积。其较差小于凑整误差影响时，配赋给其它区块或最大宗地。面积。其较差小于凑整误差影响时，配赋给其它区块或最大宗地。 部分解析法测算面积时，解析测算街坊面积，其它方法测算部分解析法测算面积时，解析测算街坊面积，其它方法测算宗地面积。较差符合要求时，闭合差配赋在其它方法测算求积的宗地面积。较差符合要求时，闭合差配赋在其它方法测算求积的宗地上。宗地上。 图解法