7上交材料力学弯曲变形

1、材料力学第七章第七章 弯曲变形弯曲变形1材料力学桥式起重机的大桥式起重机的大梁梁一、变形的基本概念一、变形的基本概念2材料力学齿轮传动轴齿轮传动轴弯曲变形弯曲变形/变形的基本概念变形的基本概念3材料力学梁的轴线变成光滑梁的轴线变成光滑连续曲线连续曲线挠曲挠曲线。线。zEIxMx)()(1梁的梁的弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形/变形的基本概念变形的基本概念4材料力学挠度挠度：截面形心在垂：截面形心在垂直于轴线方向的线位直于轴线方向的线位移，以移，以y表示。表示。y与坐标与坐标轴同向为正。轴同向为正。梁的梁的弯曲变形的度量弯曲变形的度量位移位移挠度方程或挠曲线方程挠度方程或挠曲线方程：)(xfy

2、 水平方向位移：水平方向位移：高阶微高阶微量，忽略不计。量，忽略不计。y)(xy弯曲变形弯曲变形/变形的基本概念变形的基本概念5材料力学角位移角位移：横截面相对于原：横截面相对于原来位置转过的角度，以来位置转过的角度，以 表表示。亦示。亦可以用该截面处的可以用该截面处的切线与切线与x 轴的夹角描述。轴的夹角描述。符号规定符号规定：以梁轴线为基线，逆时针转以梁轴线为基线，逆时针转向为正，反之则为负。向为正，反之则为负。y)(xy弯曲变形弯曲变形/变形的基本概念变形的基本概念6材料力学dydx数学上，切线表示弹性曲线的斜率数学上，切线表示弹性曲线的斜率切线的斜率：切线的斜率：tan弯曲变形弯曲变形

3、/变形的基本概念变形的基本概念7材料力学二、挠曲线的近似微分方程二、挠曲线的近似微分方程zEIxMx)()(123222)dd(1 dd)(1xyxyx以上两式消去以上两式消去 ，得：，得：123222)dd(1 ddxyxyzEIxM)(8材料力学小挠度情形下：小挠度情形下：1ddxyzEIxMxy)(dd2223222)dd(1 ddxyxyzEIxM)(弯曲变形弯曲变形/挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程9材料力学yy符号规定：符号规定：MM0dd22xy0MzEIxMxy)(dd22因此因此（挠曲线的近似微分方程）（挠曲线的近似微分方程）0dd22xy0M弯曲变形弯曲变形/挠曲线

4、的近似微分方程挠曲线的近似微分方程10材料力学三、用积分法求梁的变形三、用积分法求梁的变形zEIxMxy)(dd22挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程积分一次：积分一次：CxEIxMyxyzd)(dd（转角方程）（转角方程）积分二次：积分二次：DCxxxEIxMyzdd)(（挠度方程）（挠度方程）式中式中C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。为积分常数，由梁的约束条件决定。11材料力学AqBLAy例例7-1悬臂梁受力如图所示。求悬臂梁受力如图所示。求 和和 。Axyx取参考坐标系取参考坐标系Axy。解：解：1.列出梁的弯矩方程列出梁的弯矩方程221)(qxxM)0(Lx2.22ddxyz

5、EIxM)(221qxyEI 积分一次：积分一次：CqxEIyEI361积分二次：积分二次：DCxqxEIy4241（1）（2）弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形12材料力学3.确定常数确定常数C、D.由边界条件：由边界条件：0,Lx代入（代入（1）得：）得：361qLC0,yLx代入（代入（2）得：）得：481qLD代入（代入（1）（）（2）得：）得：)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEIy弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形13材料力学EIqLA630 x代入得：代入得：将将（与（与C比较知：比较知： ）CEIAEIqL

6、yA84（与（与D比较知：比较知： ）DEIyA常数常数C表示起始截面的转角表示起始截面的转角刚度刚度( (EI) )因此因此常数常数D表示起始截面的挠度表示起始截面的挠度刚度刚度( (EI) )弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形14材料力学例例7-2 一简支梁受力如图所示。试求一简支梁受力如图所示。试求 和和 。)(),(xyxmax,yAALFCabAyFByFyx解：解：1.求支座反力求支座反力,LFbFAyLFaFByx2.分段列出梁的弯矩方程分段列出梁的弯矩方程,)(1xLFbxFxMA,1xLFbyEI )(LxaBC段段x)0 (axAC段段B),()(2ax

7、FxLFbxM),(2axFxLFbyEI 弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形15材料力学,21211CxLFbEIyEI)(LxaBC段段)0 (axAC段段,)(2222222CaxFxLFbEIyEI,61131DxCxLFbEIy,)(6622332DxCaxFxLFbEIy3. 确定常数确定常数由边界条件：由边界条件：0, 0Ayx（1）0,ByLx（2）由光滑连续条件：由光滑连续条件：21 时，ax（3）21yyax 时，（4）可解得：可解得：)(6221bLLFbC,2C021 DD弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形16材料力学则简支梁的转

8、角方程和挠度方程为则简支梁的转角方程和挠度方程为),(36)(2221bLxLEIFbx)(LxaBC段段)0 (axAC段段,)(6)(2231xbLxLEIFbxy,2)()(36)(22222axFbLxLEIFbx)(6)(6)(32232axLxbLxLEIFbxy4. 求转角求转角0 x代入得：代入得：LEIbLFbxA6)(2201Lx代入得：代入得：LEIaLFabLxB6)(2弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形17材料力学5. 求求 。maxy0dxdy由求得求得 的位置值的位置值x。maxy, 06)(22LEIbLFbA)(03)(1baLEIbaFa

9、baxC段。在AC00)(36)(2221bLxLEIFbx则由则由解得：解得：322bLx弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形18材料力学)(1xy代入代入 得：得：EIbLFby39)(2322max2Lba若若 则：则：EIFLyyLx4832maxmaxy弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形19材料力学悬臂梁：悬臂梁：xyAB梁的约束条件梁的约束条件.0,00AAyx时，简支梁：简支梁：xyABL, 00Ayx时，. 0ByLx时，弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形20材料力学若若B支座改为弹簧支撑，则：支座改为弹簧支撑，则：0,

10、 0Ayx右左时，CCax右左时，CCyyaxkFyLxByB,若若B支座改为拉杆支撑，则：支座改为拉杆支撑，则：0, 0Ayx右左时，CCax右左时，CCyyaxBDBlyLx,EAhFByALFCabBEAhDALFCabkBxy弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形21材料力学例例7-3 试绘出各梁挠曲轴的大致形状。试绘出各梁挠曲轴的大致形状。ABm3am2解：解： 1. 作梁的弯矩图作梁的弯矩图图M(+)mm2(-)拐点拐点2. 根据弯矩图的变化规律，根据弯矩图的变化规律， 确定挠曲轴曲率的变化规确定挠曲轴曲率的变化规 律律3. 根据梁的约束（支座情根据梁的约束（支座情

11、 况）、变形相容条件，绘况）、变形相容条件，绘 制挠曲轴的大致形状。制挠曲轴的大致形状。上凸上凸下凸下凸弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形22材料力学F3FaaaFaFa图M(+)(-)拐点拐点下凸下凸上凸上凸直线直线弯曲变形弯曲变形/用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形23材料力学四、用叠加法求梁的变形四、用叠加法求梁的变形 24材料力学 挠度、转角与载荷（如挠度、转角与载荷（如P、q、M）均为一次线性关系）均为一次线性关系轴向位移忽略不计。轴向位移忽略不计。弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形25材料力学P ，q 两种载荷单独作用时：两种载荷单独作用时

12、：PPMxyEI22ddqqMxyEI22ddMxyEI22ddqPMM 2222ddddxyEIxyEIqP22d)(dxyyEIqPP ，q 两种载荷共同作用时：两种载荷共同作用时：叠加原理：叠加原理：在小变形和线弹性范围内，由几个载荷在小变形和线弹性范围内，由几个载荷共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个共同作用下梁的任一截面的挠度和转角，应等于每个载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。载荷单独作用下同一截面产生的挠度和转角的代数和。弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形26材料力学例例7-47-4 ：q、l、 EI，求求：yC , B弯曲变形弯曲变形/

13、用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形27材料力学www弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形28材料力学www,2431EIqlBEIqlwC384541,33)(323EIqlEIlqlBEIqlwC1643,1616)(322EIqlEIlqlBEIlqlwC48)(32弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形29材料力学321BBBBEIql243EIql33EIql163EIql48113321CCCCwwwwEIql38454EIql4834EIlql48)(3EIql384114弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形30材料力学例例7-

14、5 7-5 w弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形31材料力学wwww弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形32材料力学33w,631EIqlCEIqlwC841w,6)2(322EIlqBC2222lwwBBCEIlq8)2(422lB弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形材料力学w21CCCwwwEIql84EIlq8)2(422lBEIql38441421CCCEIql63EIlq6)2(3EIql4874弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形34材料力学 将将梁的挠曲线分成几段梁的挠曲线分成几段，首先分别计算各段梁的变形

15、，首先分别计算各段梁的变形在需求截面处引起的位移（挠度和转角），然后计算在需求截面处引起的位移（挠度和转角），然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。ABalFC例例7-67-6 ：弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形35材料力学ABalFC例例7-67-6 ：FABalCFaFaBC+1）考虑）考虑AB段段(BC段看作刚体段看作刚体)F作用在

16、支座上，不产生变形。作用在支座上，不产生变形。BFa使使AB梁产生向上凸的变形。梁产生向上凸的变形。查表得：查表得：EIlFaB3)(则则1CwawBC1aEIlFa3)()(32EIlFa弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形36材料力学2）考虑）考虑BC段段(AB段看作刚体段看作刚体)AFaBC2Cw)(332EIFawC所以所以21CCCwww)(3332EIFaEIlFaABalCFaB1Cw)(321EIlFawc弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形37材料力学例例7-7 7-7 求图示梁上求图示梁上CB CB 段中点段中点 D D 处的挠度。处的挠

17、度。ABlaCMD弯曲变形弯曲变形/用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形38材料力学五、梁的刚度校核五、梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施刚度条件：刚度条件：,maxyymaxy许用挠度，许用挠度， 许用转角许用转角工程中，工程中， yy常用梁的计算跨度常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如：的若干分之一表示，例如：对于桥式起重机梁：对于桥式起重机梁：750500lly 对于一般用途的轴：对于一般用途的轴：100005100003lly 在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：rad001.039材料力学提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度

18、的措施梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下因素：梁的变形除了与载荷与梁的约束有关外，还取决于以下因素：梁的变形与弹性模量梁的变形与弹性模量E E 成反比；成反比；梁的变形与截面的惯性矩梁的变形与截面的惯性矩 成反比；成反比；zI梁的变形与跨长梁的变形与跨长l l 的的n n次幂成正比次幂成正比弯曲变形弯曲变形/梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施40材料力学例如受例如受q作用的简支梁：作用的简支梁：EIqly38454max)(,)(max明显yl方法：方法：LABqLABq弯曲变形弯曲变形/梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度

19、的措施41材料力学LABqLABq。可降低%60maxyzI )(常采用工字形、箱形截面，以提高惯性矩。与强度不同的是要常采用工字形、箱形截面，以提高惯性矩。与强度不同的是要提高全梁或大部分梁的惯性矩，才能使梁的变形有明显改善。提高全梁或大部分梁的惯性矩，才能使梁的变形有明显改善。弯曲变形弯曲变形/梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施42材料力学maxM方法：方法：使载荷尽量靠近支座，载荷大多数由支座承担使载荷尽量靠近支座，载荷大多数由支座承担。例如：。例如：AlFCaEIFlwla48,5 . 03max时EIFlwla48572. 0,8 . 03max时。可

20、降低%8 .42maxw因钢的因钢的弹性模量弹性模量E基本相同，所以材料的弹基本相同，所以材料的弹性模量对变形影响不大。性模量对变形影响不大。弯曲变形弯曲变形/梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施43材料力学六、用变形比较法解超静定梁六、用变形比较法解超静定梁 超静定梁超静定梁未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或超静定问题）。超静定问题）。 超静定次数超静定次数=未知力的数目未知力的数目-独立平衡方程数独立

21、平衡方程数BqL4 4个约束反力个约束反力，3 3个平衡方程，个平衡方程，超静定次数超静定次数=144材料力学1.1.确定超静定次数。确定超静定次数。2.2.选择基本静定梁选择基本静定梁。静定梁静定梁(基本静定基基本静定基) 将超静定梁的多余约束解除，得到相应将超静定梁的多余约束解除，得到相应 的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以 及内力。及内力。 多余约束多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束 或多余杆件。或多余杆件。多余约束的数目多余约束的数目=超静定次数超静定次数B

22、qL多余约束的数目多余约束的数目=1弯曲变形弯曲变形/用变形比较法解超静定梁用变形比较法解超静定梁45材料力学静定梁静定梁(基本静定基基本静定基)选取选取弯曲变形弯曲变形/用变形比较法解超静定梁用变形比较法解超静定梁( (2)2)解除解除A端阻止转动的端阻止转动的支座反力支座反力矩矩 作为多余约束作为多余约束, ,即选择两端即选择两端简支的梁作为基本静定梁。简支的梁作为基本静定梁。AMBqLAMA( (1)1)解除解除B支座的约束支座的约束, ,以以 代替，代替，即选择即选择A端固定端固定B端自由的悬臂梁端自由的悬臂梁作为基本静定梁。作为基本静定梁。ByFByFBqLA46材料力学弯曲变形弯曲

23、变形/用变形比较法解超静定梁用变形比较法解超静定梁(2) 基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条 件。一般来说，求解变形时，件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次悬臂梁最为简单，其次 是简支梁，最后为外伸梁。是简支梁，最后为外伸梁。 基本静定基选取可遵循的原则：基本静定基选取可遵循的原则：(1) 基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；47材料力学ABqLByFBqLA弯曲变形弯曲变形/用变形比较法解超静定梁用变形比较法解超静定梁BqLAMA3.3.列出变形协调条件。列出变形协

24、调条件。比较原超静定梁和静定基在解除约比较原超静定梁和静定基在解除约束处的变形，根据基本静定梁的一束处的变形，根据基本静定梁的一切情况要与原超静定梁完全相同的切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形协调条件。要求，得到变形协调条件。0By0A48材料力学本例：本例： ( (1)1)4.4.用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。仅有仅有q q作用，作用，B B点挠度为：点挠度为：EIqlyBq84仅有仅有 作用，作用，B B点挠度为：点挠度为：ByFEIlFyByBF33因此因此BqBFByyyEIql84EIlFBy330解得解得:)(83ql

25、FByByFBqlA弯曲变形弯曲变形/用变形比较法解超静定梁用变形比较法解超静定梁49材料力学5.5.根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力。本例：本例： ( (1)1)ByFBqLAAyFAxFAM0 xF, 0AxF0yF),(85qlFAy0AM281qlMA（ ）弯曲变形弯曲变形/用变形比较法解超静定梁用变形比较法解超静定梁50材料力学ByFBqLAAyFAxFAM(+)图QF(-)ql85ql83l85图M281ql21289qlBqL因此因此2max81qlMqlF85maxQqlFmaxQ2max21qlM弯曲变形弯曲变

26、形/用变形比较法解超静定梁用变形比较法解超静定梁6.6.在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。51材料力学例例7-8 图示超静定梁，等截面梁图示超静定梁，等截面梁AC的抗弯刚度的抗弯刚度EI，拉杆，拉杆BD的抗拉的抗拉 刚度刚度EA，在，在F力作用下，试求力作用下，试求BD杆的拉力和截面杆的拉力和截面C的挠度的挠度 。BDBlwFl/2l/2ABCDl1.1.选择基本静定梁选择基本静定梁。解：解：Fl/2l/2ABCNF2.2.列出变形协调条件。列出变形协调条件。NBFBFBwww而而)(485)3 (6322EIFlxlEIFxwlxBF)(3)2(3NNEIlFwBF（1）弯曲变形弯曲变形/用变形比较法解超静定梁用变形比较法解超静定梁52材料力学解得：解得：代入代入（1）：）：EAlFEIlFEIFlNN2448533)241 (1252NAlIFF3.3.在基本静定梁上由叠加法求在基本静定梁上由叠加法求 。Cw)(3