微分运算法则

1、微分运算法则l 第一节 预备知识 l 第二节 极限与连续 l 第三节 偏导数与全微分 l 第四节第四节 微分运算法则微分运算法则 l 第五节 方向导数与梯度 l 第六节 多元函数微分学的几何应用l 第七节 多元函数的Taylor公式与极值 l*第八节 n元m维向量值函数的微分法 l 第九节 复变函数的导数与解析函数 第五章第五章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用微分运算法则),(vufz 在在) ,(vu处处可可微微， 证证明明：xx 以以增增量量给给， , , vuvu 得得相相应应的的增增量量则则， 从从而而),(vufz 有有全全增增量量) ,() ,(vufvvuufz ，

2、 4.1 复合函数微分法复合函数微分法（一）中间变量均为一元函数（一）中间变量均为一元函数微分运算法则 )( ovvzuuzz，其其中中22)()(vu 。 xoxvvzxuuzxz )( )(xu 、)(xv 都都可可导导在在点点 x， )(xu 、)(xv 都都必必连连续续在在点点 x， 即即当当0 x时时，0 u，0 v，从从而而0lim0 x。 而而xoxoxx )(lim)(lim00 )()(lim)(lim2200 xvxuoxx 微分运算法则简简言言之之“按按线线相相乘乘，分分线线相相加加” 。 dxdwwzdxdvvzdxduuzdxdz 。 例例如如：),(wvufz ，而

3、而)( , )( ),(xwwxvvxuu ，则则 )(),(),(xwxvxufz ， xoxvvzxuuzxzxxxx )(lim)(lim)(limlim0000， 即即xdvdvzxduduzdxzd 。 全全导导数数公公式式可可形形象象地地表表示示为为 zuvxxzuvxwxx微分运算法则dtdztvtuvezu求设cos,sin,2sin)sin(2cos2cos2sin:tvetvedtdvvzdtduuzdtdzuu解ttettttesinsin)cos2cos(sin2cos2sincos.,arctan,),(dtdztveuvufzt求设vutftfedtdvvzdtdu

4、uzdtdz211:解例1例2微分运算法则解解法法 2 2： xxezxarctancos ， 211)sin(cosxxxedxdzx 。 zuvxxx211)sin(xxuvex .11)sin(cos2xxxex 微分运算法则zuvxyxyxvvzxuuzxz yvvzyuuzyz （ 二）中间变量均为多元函数二）中间变量均为多元函数微分运算法则zxyxyuvtxy若若) ,(tvufz ，而而),(),(),(yxttyxvvyxuu ， 则则),(, ),(, ),(yxtyxvyxufz ， xttzxvvzxuuzxz yttzyvvzyuuzyz 微分运算法则例如：设例如：设)

5、,(vufz ，)(),(xvyxu 和和， 则则)(),(xyxfz ， 在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间 变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元 函数的导数记号。函数的导数记号。 zuvxyxxdvdvzxuuzxz yuuzyz 微分运算法则注注意意： 这这里里xz 与与xf 是是不不同同的的，xz 是是把把复复合合函函数数 yyxyxfz , ),(中中的的 看看作作不不变变而而对对的的偏偏导导数数 x， , ),( yuyxufxf中中的的是是把把 看看作作不不变变而

6、而对对的的偏偏导导数数 x。 zuxyxy微分运算法则解解：xvvzxuuzxz )cossin(22cos2sinvxvyexveyveuuu )cos()sin(2222yxxyxyexy ； yvvzyuuzyz )cossin2(cos2sinvvxevexveuuu )cos()sin(2222yxyxxexy 。 zuvxyxy微分运算法则 解解：xzzfxfxu 求求xu 和和yu 。 yxzexezyxzyxsin222222222 ).sin21(222sin2422yxxeyxyx yzzfyfyu yxzeyezyxzyxcos222222222 )cossin(24si

7、n2422yyxyeyxyx . zuxyxy微分运算法则vuvufyfxvfxufxz2 ， 解解：设设yxu ，2xyv ， ),( vufz 则则xfyxffyfxxzvuvu 2222)( )(2xvfxufyxvfxufvvvuuvuu )(222vvvuuvuufyfyfyf vvuvuufyfyf422 。 uxyfvxyuxyufvxyuxyvfvxy微分运算法则 为为了了书书写写简简单单起起见见，可可不不设设yxu ，2xyv ，而而 把把2 , xyyx 分分别别简简记记为为 1 1，2 2，则则有有1ffu ，2ffv， 11ffuu ， 12ffuv ，22ffvv 。

8、 vvuvuyfyfyyffyfyyxz2)(222 vvvvuuvuuyfyvfyufyyvfyuf22 vvvuvuuyffxyfyxyf22)2(32 。 vvvvuuvuuyfxyffyxyff22)1(22 uxyufvxyuxyvfvxy微分运算法则 设设) ,(vufz 可可微微， （1 1）若若vu ,是是自自变变量量，则则dvvzduuzdz 。 （2 2）若若vu ,是是中中间间变变量量， 即即) ,(vufz ，),(yxu ，),(yxv ， 则则复复合合函函数数) ,(), ,(yxyxfz 的的全全微微分分为为 dyyzdxxzdz dyyvvzyuuzdxxvvz

9、xuuz)()( )()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuz dvvzduuz 。 l 一阶全微分的形式不变性一阶全微分的形式不变性微分运算法则 由由此此可可见见，无无论论的的函函数数或或中中间间变变量量是是自自变变量量 , vuz 的的函函数数 , vu，它它的的全全微微分分形形式式是是一一样样的的，此此性性质质称称为为 全全微微分分形形式式不不变变性性。 微分运算法则yzxz 和和求求 。 )()2(ydxxdyedzexyz ， 解解：0)2( zxyezed， 02)( dzedzxydezxy， 微分运算法则4.2 4.2 隐函数微分法隐函数微分法 设设二元二元函数函数),(y

10、xF满足下列条件：满足下列条件： （1 1）),( ),(yxFyxFyx在点在点),(yxP的某一邻域内连续；的某一邻域内连续； （2 2）0),( yxF； （； （3 3）0),( yxFy， 则方程则方程0),( yxF在点在点),(yxP的某一邻域内恒能唯一的某一邻域内恒能唯一 确定一个单值连续且具有连续导数的函数确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(xfy ， 它满足它满足)(xfy ，并有，并有 yxFFdxdy 。 微分运算法则两两端端对对x求求导导，得得0 dxdyFFyx， 定定理理的的证证明明从从略略，仅仅就就公公式式作作如如下下推推导导： 把把)(xfy 代代入入方方

11、程程0),( yxF，得得0)(, xfxF， yF连连续续，且且0),( yxFy， 存存在在点点),(yx的的一一个个邻邻域域，在在这这个个邻邻域域内内0 yF， yxFFdxdy 。 Fxyx微分运算法则解：设解：设1),(22 yxyxF，则，则xFx2 ，yFy2 处处连续，处处连续， 时时，方方程程0122 yx在在点点) ,(yx的的某某邻邻域域内内能能确确定定唯唯一一 的的隐隐函函数数)(xyy ，且且 yxyxFFdxdyyx 22。 微分运算法则 方程方程01),(22 yxyxF 表示单位圆。从图中直观地可表示单位圆。从图中直观地可 见，只要见，只要)0 , 1() ,(

12、 yx，则，则 在在) ,(yx附近的一段圆弧的方附近的一段圆弧的方 程就可用唯一的程就可用唯一的)(xfy 表示表示 （21 xy 或或21 xy ） 。） 。 21 xy 21 xy oxy)0 , 1()0 , 1( )0 , 1(但但在在点点)0 , 1( 的的任任一一邻邻域域内内的的圆圆弧弧，总总是是由由21 xy 与与21 xy 的的一一小小段段组组成成, ,说说明明在在点点)0 , 1( 的的任任一一 邻邻域域内内，方方程程0122 yx都都不不能能确确定定唯唯一一的的隐隐函函数数。 微分运算法则 2222222222)()(11yxyxyxyyxxxyxyyxxFx ， 解解：

13、设设xyyxyxFarctan)ln(21),(22 ， 2222222221)(11yxxyyxxyxyxxyyxyFy ， yxyxFFdxdyyx 。 微分运算法则 设（设（1 1）函数）函数),(zyxF在点在点),(zyxP的某一邻域内的某一邻域内 具有连续的偏导数具有连续的偏导数zyxFFF,； （2 2）0),( zyxF； （； （3 3）0),( zyxFz； 则方程则方程0),( zyxF在点在点),(zyxP的某一邻域内恒能唯的某一邻域内恒能唯 一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz ， 它满足条件它满足条件),(y

14、xfz ，并有，并有 zxFFxz ， zyFFyz 微分运算法则 0 xzFFzx， 0 xzFFzy， 0),(, yxfyxF， 定定理理的的证证明明从从略略，仅仅就就公公式式作作如如下下推推导导： zF连连续续，且且0),( zyxFz， 存存在在点点),(zyx的的一一个个邻邻域域，在在这这个个邻邻域域内内0 zF， zxFFxz ，zyFFyz 。 将将),(yxfz 代代入入0),( zyxF， Fxyzxy微分运算法则xFx2 ，yFy4 ，zFz6 ， zxzxFFxzzx362 ， zyzyFFyzzy3264 。 解解法法 1 1：令令432),(222 zyxzyxF，

15、 微分运算法则解解法法 2 2：432222 zyx， 0642 zdzydyxdx， zxxz3 ， zyyz32 。 dyzydxzxdz323 ， 322292 )32(3)1(3)(zxyzyzxyzzxxzyyxz 。 微分运算法则解解：设设),(),(bzyazxFzyx ，则则 1Fx ，2Fy ， 21bFaFz ， 211bFaFFxzzx ， 212bFaFFyzzy ， 故故1212211 bFaFbFbFaFaFyzbxza。 微分运算法则以以 0),(0),(vuyxGvuyxF为例。为例。 微分运算法则定定理理的的证证明明从从略略，仅仅就就公公式式作作如如下下推推导

16、导： 则则由由方方程程组组 0),(0),(vuyxGvuyxF在在点点 P 的的某某一一邻邻域域内内能能确确定定 一一组组单单值值连连续续且且具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数的的函函数数 ),( ),( yxvvyxuu 满满足足),( ),( yxvvyxuu 且且 ),(),(1 ,),(),(1xuGFJxvvxGFJxu ),(),(1 ,),(),(1yuGFJyvvyGFJyu 微分运算法则由由于于, 0),( ),( , ,(0),( ),( , ,( yxvyxuyxGyxvyxuyxF两两边边对对求求导导 x， ,00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvux在在点点)

17、,(vuyxP的的某某个个邻邻域域内内0 vuvuGGFFJ， ),(),(1 ,),(),(1xuGFJxvvxGFJxu 。 同同理理可可得得),(),(1 ,),(),(1yuGFJyvvyGFJyu 。 微分运算法则 分析分析：所求偏导数表明所求偏导数表明为为因因变变量量 ,vu，yx ,为自变量，为自变量， 故故),(yxuu ，),(yxvv 。 .,yvyuxvxu 用用Cramer法法则则解解之之，得得 解解法法 1：将将方方程程组组两两边边对对求求导导 x，得得 00 xvxvxuyxvyxuxu， 即即 vxvxxuyuxvyxux， 微分运算法则22yxyvxuxyyxxvyuxu ；22yxxvyuxyyxvyuxxv 。 将将方方程程组组两两边