2021年人教版高中数学选择性必修第一册课时学案第3章《3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用》(含解析)

1、第2课时椭圆的标准方程及性质的应用学习目标1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系知识点直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系的判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及的取值的关系如表所示直线与椭圆解的个数的取值两个不同的公共点两解0一个公共点一解0没有公共点无解01直线yx1与椭圆x21的位置关系是()A相离 B相切 C相交 D无法确定答案C解析联立消去y，得3x22x10，因为2212160，所以直线与椭圆相交2直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是()

2、A. B.C. D.答案C解析联立消去y，得3x24x20，设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，故AB的中点横坐标x0.纵坐标y0x011.3椭圆y21的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|_.答案解析因为|PF1|PF2|4，|PF1|，所以|PF2|4.4过椭圆1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则以AB为直径的圆的面积是_答案解析由题意，在1中，c，故F(，0)当x时，y3，所以|AB|，故以AB为直径的圆的面积是2.一、实际生活中的椭圆例1(多选)中国的嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首

3、个在月球背面软着陆和巡视探测的航天器.2019年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊自然通讯在线发表如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，则下列式子正确的是()Aa1c1a2c2B .a1c1a2c2C.答案BD解析由图可知，a1a2，c1c2所以a1c1a2c2，所以A不正确；在椭圆轨

4、道中可得，a1c1|PF|，在椭圆轨道中可得，|PF|a2c2，所以a1c1a2c2，所以B正确；a1c2a2c1，两边同时平方得，ac2a1c2ac2a2c1，所以ac2a1c2ac2a2c1，即b2a1c2b2a2c1，由图可得，bb，所以2a1c22a2c1，0，得3m3.于是，当3m3时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点(2)由0，得m3.也就是当m3时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点(3)由0，得m3.从而当m3时，方程没有实数

5、根，可知原方程组没有实数解这时直线l与椭圆C没有公共点反思感悟直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围解由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得x22kx10，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k244k220，解得k或k，所以k的取值范围为.命题角度2弦长问题例3已知动点P与平面上两定点A(，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值.(

6、1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：ykx1与(1)中曲线C交于M，N两点，当|MN|时，求直线l的方程解(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得kPAkPB.，化简整理得y21.故点P的轨迹方程C是y21(x)(2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kx0.16k20，x1x2，x1x20.|MN|，整理得k4k220，解得k21或k22(舍)k1，经检验符合题意直线l的方程是yx1，即xy10或xy10.反思感悟求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数

7、的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长跟踪训练3已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长解设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c，F(，0)，直线l的方程为yx，将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x28x80，x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.1过椭圆1(ab0)的焦点F(c，0)的弦中最短弦长是()A. B.C. D.答案A解析最短弦是过焦点F(c，0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦将点(c

8、，y)的坐标代入椭圆1，得y，故最短弦长是.2已知直线l：xy30，椭圆y21，则直线与椭圆的位置关系是()A相离 B相切C相交 D相交或相切答案A解析把xy30代入y21，得(3x)21，即5x224x320.(24)24532640, 直线与椭圆相离3已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF面积的最大值为()A6 B15 C20 D12答案D解析S|OF|y1y2|OF|2b12.4(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一

9、直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则()AacmR BacnRC2amn Db答案ABD解析地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得 (*)acmR ，故A正确；acnR，故B正确；(*)中两式相加mn2a2R，可得2amn2R，故C不正确；由(*)可得两式相乘可得(mR)(nR)a2c2.a2c2b2 ，b2(mR)(nR)b ，故D正确5已知椭圆4x2y21及直线yxm，当直线与椭圆有公共点时，则实数m的取值范围是_答案解析由得5x22mxm210，当直线与椭圆有公共点时，4m245(m21)0，即4m250，解得m.1知识清单：(1)直

10、线与椭圆的位置关系(2)弦长公式2方法归纳：判别式法3常见误区：代数计算中的运算失误1直线yx1与椭圆1的位置关系是()A相交 B相切C相离 D无法判断答案A解析方法一直线过点(0,1)，而00，所以直线与椭圆相交2(多选)若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()A. B C D.答案AB解析由得(3k22)x212kx60，由题意知144k224(3k22)0，解得k.3直线xy10被椭圆y21所截得的弦长|AB|等于()A. B.C2 D3答案A解析由得交点为(0,1)，则|AB|.4若直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1 Bm0C0m5且m1 Dm1且m5答案

11、D解析方法一由于直线ykx1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则00且m5，m1且m5.5已知椭圆C：x21，过点P的直线与椭圆C相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A9xy40 B9xy50C4x2y30 D4x2y10答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为点A，B在椭圆上，所以x1，x1.，得(x1x2)(x1x2)0.因为P是线段AB的中点，所以x1x21，y1y21，代入得9，即直线AB的斜率为9.故直线AB的方程为y9，整理得9xy50.6已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线xy40有且仅有一个公共点，则椭圆的

12、长轴长为_答案2解析由题意可设椭圆的方程为1(a2)，与直线方程xy40联立，得4(a23)y28(a24)y(16a2)(a24)0，由0，得a，所以椭圆的长轴长为2.7过椭圆1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_答案解析由已知可得直线方程为y2x2，|OF|1，联立方程得解得A(0，2)，B，所以SAOB|OF|yAyB|.8已知椭圆的方程为1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点若直线AB的倾斜角为，则弦长|AB|为_答案解析易知F1(1,0)，直线AB的倾斜角为，直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为yx

13、1.联立整理得7x28x80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知x1x2，x1x2，则由弦长公式得|AB|.9对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系解由消去y，得(xm)21，整理得5x28mx4m240.(8m)245(4m24)16(5m2)当0，即m时，此时直线与椭圆相交；当0，即m时，此时直线与椭圆相切；当0，即m或m时，直线与椭圆相离10.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系

14、(1)求曲线C的标准方程；(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为53，问你能否确定P处的位置(即点P的坐标)?解(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且长轴长为8的椭圆，又2c4，则c2，a4，故b2，所以曲线C的方程是1.(2)由于A，B两岛收到鱼群发射信号的时间比为53，设此时距A，B两岛的距离比为53，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里设P(x，y)，B(2,0)，由|PB|3，3，x2，y3，点P的坐标为(2,3)或(2，3)11椭圆1(ab0)的离心率为，若直线ykx与椭圆的一个交点的

15、横坐标x0b，则k的值为()A. B C. D答案B解析根据椭圆的离心率为，得.由x0b，得yb2，所以y0，k.12以F1(1,0)，F2(1,0)为焦点且与直线xy30有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析由题意设椭圆方程为1，得(2b21)x26(b21)x8b29b40，由0得b24，所以b2的最小值为4，由e，则b24时，e取最大值，故选C.13若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为_答案6解析由1可得，F(1,0)设P(x，y)，2x2，则x2xy2x2x3x2x3(x2)22，当x2时，取得最大值6.14斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为_答案解析方法一设直线l的方程为yxt，由消去y得(xt)21，整理得5x28tx4(t21)0.64t280(t21)0，tb0)过点，离心率