等差数列的判定和性质

1、2021/6/161等差数列的判定和性质2021/6/162一、等差数列的判定方法一、等差数列的判定方法1、定义法：、定义法：anan1=d(常数）常数）2、数列、数列an是等差数列的充要条件是：是等差数列的充要条件是：pan+q成等差数列（成等差数列（p、q是常数）是常数）2an+1=an+an+2(nN*）前前n项和项和Sn=An2+Bn(A、B是常数）是常数）2021/6/163证明：必要性证明：必要性 若若an是等差数列，则是等差数列，则an前前n项项和和2,2.)2(22)1(12121daBdABnAnndanddnnnaSn 其中，其中， 的等差数列的等差数列是公差为是公差为故数

2、列故数列则则项和项和的前的前若数列若数列充分性充分性AaAaaNnBAAnnBAAnSSnBAaBnAnSnannnnnnnn2,2)(2)2(2)1(1*12 2021/6/164二、等差数列的性质二、等差数列的性质（1）an=am+(nm)d, mnaadmn （2）m+n=p+q, am+an=ap+aq ( m,n,p,qN*)(特别是：特别是：m+n=2p am+an=2ap)（3）前）前n项和为项和为n的二项式（的二项式（d0时），且时），且常数为常数为0，即，即Sn=an2+bn;且且a= d212021/6/165）比项数减比项数减项数加项数加）（中间项）（中间项）项数与中间项

3、的积）项数与中间项的积）为奇数时，为奇数时，）当）当（偶偶奇奇偶偶奇奇11(1132(142121 nnSSaSSanSnnnn2021/6/166（5）当）当n为偶数时为偶数时中间两项的比）中间两项的比）的积）的积）项数与中间两项平均数项数与中间两项平均数）偶偶奇奇奇奇偶偶()322(21122122 nnnnnaaSSdnSSaanS2021/6/167（6）前）前n项和项和Sn最大（最小）最大（最小）naaSndanaaSndannnnnn来确定来确定可由不等式组可由不等式组最小，最小，为何值时为何值时求求在在来确定来确定可由不等式组可由不等式组最大，最大，为何值时为何值时求求）在）在

4、00, 0, 0)200, 0, 0111112021/6/168三、等差数列三、等差数列an记记A=a1+a2+an,B=an+1+an+2+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a3n则则A、B、C成等差数列，公差成等差数列，公差为为n2d (其中其中d为为an的公差）的公差）四、等比数列四、等比数列an记记A=a1+a2+an,B=an+1+an+2+a2n,C=a2n+1+a2n+2+a3n则则A、B、C成等比数列，公比成等比数列，公比为为qn (其中其中q为为an的公比）的公比）2021/6/169例题例题1 已知项数为奇数的等差数列已知项数为奇数的等差数列an,奇数项奇数项之和为之和

5、为44，偶数项之和为，偶数项之和为33，求项数，求项数n7,7711771133442121 nnSSanSaSSSSnnn偶偶奇奇偶偶奇奇偶偶奇奇又又，解：由题意，解：由题意，2021/6/1610例例2 数列数列an中，中，a1=60,且且an+1=an+3,则这个则这个数列前多少项之和最小？数列前多少项之和最小？项和最小项和最小数列的前数列的前解得解得式式解：由已知可得通项公解：由已知可得通项公2121,063)1(30633633)1(360 nnnnnan 2021/6/1611例例3 已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn=10nn2 (nN*),又又bn=an(nN*),求求

6、bn的前的前n项和项和Tn解：易得解：易得an=SnSn1=112n,(n2)，又，又a1=S1=9,an=112n,（nN*）a50,a65时，时，bn=an,Tn=2S5Sn=50(10nn2)=n210n+50 )5(5010)5(1022nnnnnnTn即即2021/6/1612 1),2()1(2321)1(21),2(0242232211 nnnnnnnnnnbbbnanbaSanSSaSna求证：求证：）若）若（的表达式；的表达式；）求）求（是等差数列；是等差数列；求证：求证：，且满足，且满足项和项和的前的前已知数列已知数列例例2021/6/1613 的值。的值。试求试求）若）若

7、（是等差数列；是等差数列；证明数列证明数列若若）证明）证明（论；论；的奇偶性并证明你的结的奇偶性并证明你的结判定判定都有都有，、满足：对于任意满足：对于任意的函数的函数，定义域为定义域为例例)()()(, 1)31(4)(),(2121)3(1)()(:2)()1(1)()(11)(11210021afafaffafNnaxyyxfyfxfxfxyyxfyfxfyxxfnnnn 2021/6/1614是奇函数是奇函数则则证明：令证明：令是奇函数是奇函数)(0)0(1)()(0)0(),0()0()0(, 0)()1(2xffxxxfxfxfffffyxxf xyyxfyfxfyfxf1)()()()()2(证证明明：2021/6/1615 为公差的等差数列为公差的等差数列为首项，为首项，是以是以而而证明：证明：)31()31()()31(2121)()31(212121211212121211)()()3