工程力学课件第十章

1、第十章第十章 梁的应力梁的应力 10101 1 梁的正应力梁的正应力一、纯弯曲与平面假设一、纯弯曲与平面假设 1、纯弯曲、纯弯曲梁或梁梁或梁上的某段内各横截面上上的某段内各横截面上只有弯矩而无剪力只有弯矩而无剪力( (如图如图中的中的CD段段) )。 2、横力弯曲、横力弯曲梁或梁梁或梁上的某段内各横截面上既上的某段内各横截面上既有弯矩又有剪力有弯矩又有剪力( (如图中的如图中的AC、BD段段) )。alABaACD(a)FFFS图M图(b)(c)FFFa3、梁的纯弯曲实验、梁的纯弯曲实验 横向线横向线( (mn、pq）变形）变形后仍为直线，但有转动；后仍为直线，但有转动；纵向线变为弧线，且上缩

2、纵向线变为弧线，且上缩下伸；横向线与纵向线变下伸；横向线与纵向线变形后仍保持垂直。形后仍保持垂直。 由梁变形的连续性可知：由梁变形的连续性可知：在梁中一定有一层上的纤维在梁中一定有一层上的纤维既不伸长也不缩短，此层称既不伸长也不缩短，此层称为为中性层中性层。中性层与梁横截。中性层与梁横截面的交线称为面的交线称为中性轴中性轴。 (b)(a)mnpqmnpqFFCD4 4、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：、根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设： （1 1）平面假设）平面假设 梁的横截面在梁弯曲后仍然保持为平面，并且梁的横截面在梁弯曲后仍然保持为平面，并且仍然与梁弯曲后的轴线保

3、持垂直。仍然与梁弯曲后的轴线保持垂直。（2 2）单向受力假设）单向受力假设 梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互作用可忽略不计。之间的相互作用可忽略不计。二、正应力公式的推导二、正应力公式的推导1 1、几何方面、几何方面弧线弧线O1O2的长度为的长度为： xdd(a)(b)中性层中性轴abO1O2mnpq(a)dxmnpq dy(c)dxabO2O1 相应的纵向线应变为相应的纵向线应变为 ：yxxyxdd（101）距中性层为距中性层为 y 处的纵向纤维处的纵向纤维ab 的伸长为的伸长为 ：xyyyddd)d(b)(b)中性层中性轴abO1O

4、2mnpq(a)dxmnpq dy(c)dxabO2O12、物理方面、物理方面此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比，并且在正比，并且在y坐标相同的各点处正应力相等坐标相同的各点处正应力相等，如下图所示。 梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线应变的关系为：正应力与线应变的关系为：E (c)将式将式 代入，得代入，得 yE （102）yyz3 3、静力学方面静力学方面 由上图可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力dFN=dA构成了空间平行力系，它们向截面形

5、心简化的结果应为以下三个内力分量：AAFdNAyAzMdAzAyMd，0dNAAF0dAyAzMMAyMAzd(d)(e)(f)yz 又 0ddNzAAESAyEAFE因为因为 不等于零，所以有不等于零，所以有0zS(g) 即梁横截面对中性轴（即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。 由式（由式（e）可得）可得0ddyzAAyEIAyzEAzM因此因此 0yzI(h) 即梁横截面对即梁横截面对y、z轴的惯性积等于零，说明轴的惯性积等于零，说明y、z轴应为轴应

6、为横截面的主轴，又横截面的主轴，又y、z轴过横截面的形心，所以轴过横截面的形心，所以中性轴中性轴应为横截面的形心主轴应为横截面的形心主轴。 MEIAyEAyMzAAzdd2最后由式（最后由式（f）可得）可得 上式中的上式中的EIz称为梁的称为梁的弯曲刚度弯曲刚度。 将式（将式（103）代入式（）代入式（102）zIMy （104）zEIM1（103）即有即有yE 可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为y三、梁横截面上任一点的正应力的计算公式为三、梁横截面上任一点的正应力的计算公式为zIMy 实际应用中往往实际应用中往往M、 y代入绝代入

7、绝对值求出正应力值，再根据横截对值求出正应力值，再根据横截面上弯矩的转向及所求正应力之面上弯矩的转向及所求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力。正应力为拉应力还是压应力。zOkyhb 对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正对于工程实际中常用的梁，应用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工程应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工程中的精度要求中的精度要求。四、横力弯曲四、横力弯曲 zIMy 五、横截面上的最大正应力五、横截面上的最大正应

8、力1.中性轴中性轴 z 为横截面对称轴的梁，其横截面上最大拉应为横截面对称轴的梁，其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等。且最大拉、压应力的值为：力和最大压应力的值相等。且最大拉、压应力的值为：zzzWMyIMIMymaxmaxmaxWz为截面的几何性质，称为为截面的几何性质，称为弯曲截面系数弯曲截面系数，其单位为，其单位为m3。横截面上正应力分布：横截面上正应力分布：yhbzoyhbzomaxzMW yc,maxyt,maxyz bd1 hOd22.中性轴中性轴 z 不是横截面对称轴的梁不是横截面对称轴的梁 (如图如图) ，其横截面上的最大拉应力，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相

9、等。和最大压应力的值不相等。中性轴中性轴z不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值分别为和最大压应力值分别为: :zIMymax, tmaxt,zIMymaxc,maxc,横截面上正应力分布横截面上正应力分布:yc,maxyt,maxyz bd1Od2maxt,maxc,解：解：先求出先求出C截面上弯矩截面上弯矩 mN1032105 . 1 33FaMC例题例题10101 1 长为长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一的矩形截面梁，在自由端作用一集中力集中力F，已知，已知 h =0.18m=0.18m，b=0.12m=0.12m，y

10、 =0.06m=0.06m，a=2m=2m，F=1.5kN=1.5kN，求求C截面上截面上K点的正应力。点的正应力。例题101图截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩 4433m1058301218012012.bhIz将将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有代入正应力计算公式，则有 MPa09. 3Pa1009. 306. 010583. 0103643yIMzCK（拉应力）（拉应力）10102 2 梁的正应力强度条件及其应用梁的正应力强度条件及其应用一、梁的正应力强度条件一、梁的正应力强度条件 对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最远

11、的位置，此时性轴最远的位置，此时maxmaxyIMz 而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在而对整个等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩弯矩极值极值的横截面上，距中性轴最远的位置，即的横截面上，距中性轴最远的位置，即maxmaxmaxyIMzmaxzMW （105）zWMmaxmax对矩形截面对矩形截面621223bhhbhWz对圆形截面对圆形截面 3226434dddWz 各种型钢的截面惯性矩各种型钢的截面惯性矩I Iz z和弯曲截面系数和弯曲截面系数W Wz z的数值，的数值，可以在型钢表中查得。可以在型钢表中查得。 为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的最大正应力为了保证梁能安全的

12、工作，必须使梁横截面上的最大正应力不超过材料的许用应力，所以不超过材料的许用应力，所以梁的正应力强度条件为梁的正应力强度条件为 WMzmaxmax（106）二、三种强度问题的计算二、三种强度问题的计算（2）选择截面选择截面 MWzmax（3）确定许用荷载确定许用荷载 WMzmax（1）强度校核强度校核 WMzmaxmax WMzmaxmax 梁中最大弯矩应发生在跨梁中最大弯矩应发生在跨中截面上，其值为中截面上，其值为 mN104410281813232maxqlM弯曲截面系数为弯曲截面系数为 3222m10103. 021. 014. 0616bhWz由于最大正应力应发生在最大弯矩所在截面上，

13、所以有由于最大正应力应发生在最大弯矩所在截面上，所以有 3.88MPaPa1088. 310103. 0104623maxmaxzWM所以简支木梁满足正应力强度要求。所以简支木梁满足正应力强度要求。 例题例题10-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许用正应弯曲时木材的许用正应力力=10MPa，校核该梁的强度。，校核该梁的强度。 解：解：先画梁的弯矩图先画梁的弯矩图 例题例题10103 3 一一形截面的外伸梁如图所示。已知：形截面的外伸梁如图所示。已知：l=600=600mm，a=110=11

14、0mm，b=30=30mm，c=80=80mm，F1=24=24kN，F2=9=9kN，材料的许材料的许用拉应力用拉应力 t t=30=30MPa，许用压应力，许用压应力 c c=90=90MPa, ,试校核梁的强试校核梁的强度。度。（2）确定截面形心确定截面形心C的位置的位置m072. 0038. 011. 01ym038. 00.080.030.030.1107. 00.080.03015. 00.030.112y（3）截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩 解：解：（1）先画出弯矩图先画出弯矩图4533310573. 03008. 003. 011. 03038. 011. 03072

15、. 003. 0mIz（4）强度校核）强度校核 因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中性轴不对因材料的抗拉与抗压强度不同，而且截面关于中性轴不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。 校核最大拉压力。校核最大拉压力。由于截面对中性轴不对称，而正、负弯由于截面对中性轴不对称，而正、负弯矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最矩又都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。拉应力进行分析比较。 在最

16、大正弯矩的在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为其值为MPa91.17Pa1091.1710573. 0038. 0107 . 2t6532maxt,yIMzC 在最大负弯矩的在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为缘，其值为MPa5 .22Pa105 .2210573. 0072. 0108 . 1t6531maxt,yIMzB校核最大压应力。校核最大压应力。首先确定最大压应力发生在哪里。与分首先确定最大压应力发生在哪里。与分析最大拉应力一样，要比较析最大拉应力一样，要比较C、B

17、两个截面。两个截面。C截面上最大压截面上最大压应力发生在上边缘，应力发生在上边缘，B截面上的最大压应力发生在下边缘。截面上的最大压应力发生在下边缘。因因MC 和和y1 1分别大于分别大于MB与与y2 2，所以最大压应力应发生在所以最大压应力应发生在C截截面上，即面上，即MPa9 .33Pa109 .3310573. 0072. 0107 . 2c6531max, cyIMzC由以上分析知该梁满足强度要求。由以上分析知该梁满足强度要求。 例题例题10104 4 如图如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的所示的简支梁由工字钢制成，钢的许用应许用应力力 =150=150MPa，试选择工字钢的型号。，试选

18、择工字钢的型号。 解：解：先画出弯矩图如图先画出弯矩图如图b所示。所示。梁的最大弯矩值为梁的最大弯矩值为kN.m375maxM 由梁的正应力强度条件可由梁的正应力强度条件可得梁所必需的弯曲截面系数得梁所必需的弯曲截面系数 3663maxm1024601015010375MWz 由型钢规格表查得由型钢规格表查得56b号工字钢的号工字钢的Wz为为 36m102447zW(b) M图375kN.m281kN.m281kN.m此时最大正应力此时最大正应力 MPa153Pa1015310244710375663maxmaxzWM超过许用应力值超过许用应力值150MPa不到不到2%，故可选用，故可选用56

19、b号工字钢。号工字钢。 2%100%150150-15310-3 10-3 梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件 1 1、两条假设、两条假设（1 1）横截面上各点处的切应横截面上各点处的切应力均与侧边平行。力均与侧边平行。（2 2）横截面上距中性轴等距横截面上距中性轴等距离各点的切应力相等。离各点的切应力相等。2 2、切应力公式的推导、切应力公式的推导一、矩形截面梁的切应力一、矩形截面梁的切应力 从图所示的梁中取出长为从图所示的梁中取出长为d dx的微段，的微段，受力如图所示。受力如图所示。FSMFSM+dMdx 现假设用一水平截面将微段梁截现假设用一水

20、平截面将微段梁截开，并保留下部脱离体，由于脱离体开，并保留下部脱离体，由于脱离体侧面上存在竖向切应力侧面上存在竖向切应力，根据切应，根据切应力互等定理可知，在脱离体的顶面上力互等定理可知，在脱离体的顶面上一定存在切应力一定存在切应力，且，且= =, ,如图所示。如图所示。 微段梁上的应力情况如图所示。微段梁上的应力情况如图所示。 dxyyzdx0dS1N2NFFF得得（a） 0 xF由由 以以FN1 1、FN2 2分别代表作用在脱离体左侧面、右分别代表作用在脱离体左侧面、右侧面上法向内力的总和，侧面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切代表水平截面上切应力的总和，如图所示。应力的总和，如图所

21、示。 dxFN2FN1dFS其中其中 z*zAzAzAIMSAyIMAIMyAF111ddd111N（b） 式中的式中的A1 1是横截面上距中性轴为是横截面上距中性轴为y的横线的横线以外部分的面积，以外部分的面积，如图所示。如图所示。1d1A*zAyS是是A1 1对中性轴的静矩。对中性轴的静矩。bhzyA1(e)y同样有同样有 z*zISMMF)d(2N（c） 由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为是均匀分布的，所以有是均匀分布的，所以有xbFd dS（d）将将FN1、FN2、dFS代入式（代入式（a），得），得 0d)d(xb I

22、MSISMMz*zz*z经整理得经整理得 bISFzz*S（108） 式（式（10108 8）即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公）即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式。式中：式。式中：FS为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；S z* *为面积为面积A1 1对中性轴的静对中性轴的静矩；矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。为截面的宽度。 bISFzz*S（108）对于矩形截面梁，由图可知对于矩形截面梁，由图可知 )4(2)2(21)2(22yhbyhyyhbS*zmax(b)bhzyA1(a)y将其代入式（将其代入式（108），可得），可得 )4(2

23、22yhIFzS 式中的式中的A=bh是横截面的面积。由此可见，是横截面的面积。由此可见，矩形截面矩形截面梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的梁横截面上的最大切应力是截面上平均切应力的1.5倍。倍。AFbhFIhFz23238SS2Smax此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线此式表明矩形截面梁横截面上切应力沿梁高按二次抛物线形规律分布。在截面上、下边缘（形规律分布。在截面上、下边缘（ ）处，）处，=0，而，而在中性轴上（在中性轴上（y=0）的切应力有最大值，如图所示。）的切应力有最大值，如图所示。即即 2hymax(b)bhzyA1(a)y)4(222yhIFzS例题例题1

24、0105 5 一矩形截面的简支梁如图所示。已知：一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m=3m，h=160mm=160mm，b=100mm=100mm，y=40mm=40mm，F=3kN=3kN，求，求m m截面上截面上K点的切点的切应力应力。 解：解：先求出先求出m m截面上的剪力为截面上的剪力为3kN。4433m10341. 01216. 01 . 012bhIz面积面积A*对中性轴的静矩对中性轴的静矩3301 004 006024 10*.mzSA y 则则K点的切应力点的切应力33643 100 24 100 21 100 210 341 100 1zzF SbS.Pa.MPaI.

25、Fl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*截面对中性轴的惯性矩为截面对中性轴的惯性矩为二、工字形截面梁的切应力二、工字形截面梁的切应力 工字型截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。工字型截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。 1、腹板上的切应力腹板上的切应力 1*SbISFzz 式中：式中：FS为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；Sz* *为欲求应力点到截面边为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴的静矩；缘间的面积对中性轴的静矩；Iz为为横截面对中性轴的惯性横截面对中性轴的惯性矩；矩；b1 1为腹板的厚度。为腹板的厚度。 切应力沿腹板高度的分布规律如图所示，仍是按抛物线切应力沿腹板高度

26、的分布规律如图所示，仍是按抛物线规律分布，最大切应力规律分布，最大切应力maxmax仍发生在截面的中性轴上。仍发生在截面的中性轴上。 翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于y轴的切应力轴的切应力分量（竖向分量），也有与翼缘长边平行的切应力分量（水分量（竖向分量），也有与翼缘长边平行的切应力分量（水平分量）。当翼缘的厚度很小时，竖向切应力很小，一般不平分量）。当翼缘的厚度很小时，竖向切应力很小，一般不予考虑。予考虑。 翼缘上的水平切应力可认翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，为沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式仍与矩形截面的其计算公式仍与矩形

27、截面的切应力的形式相同，即切应力的形式相同，即 ISFzz*S 式中式中FS为横截面上的剪力；为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼缘边缘间为欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴的静矩；的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的惯性矩；横截面对中性轴的惯性矩；为翼为翼缘的厚度。缘的厚度。 2 2、翼缘上的切应力、翼缘上的切应力 水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实践和理。实践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力的方向可用图论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小箭头来看，它们好象表示。从图

28、中表示切应力方向的许多小箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，是两股沿截面流动的水流，从上（或下）翼缘的两端开始，从上（或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹板处汇合成一股，沿着腹板向下共同朝向中间流动，到腹板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上）翼缘处再分为两股向两侧流动（或上）到下（或上）翼缘处再分为两股向两侧流动。对所。对所有的薄壁杆，其横截面上切应力的方向，都有这个特点。这有的薄壁杆，其横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称为种现象称为切应力流切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。力

29、的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。 三、三、T T字型截面梁的切应力字型截面梁的切应力 T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的狭长矩形与字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切应力仍用下式计算：工字形截面的腹板相似，该部分上的切应力仍用下式计算： 1*SbISFzz 最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。 四、圆形及环形截面梁的切应力四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在中性轴圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为上，并沿中

30、性轴均匀分布，计算公式分别为AFSmax34 FS为横截面上的剪力，为横截面上的剪力，A为圆形截面的面积。为圆形截面的面积。 AFSmax2 FS为横截面上的剪力，为横截面上的剪力，A为薄壁环型截面的面积。为薄壁环型截面的面积。圆形截面圆形截面薄壁环形截面薄壁环形截面五、梁的切应力强度条件五、梁的切应力强度条件 对于等截面梁来说，最大切应力应发生在剪力最大的对于等截面梁来说，最大切应力应发生在剪力最大的横截面的中性轴上。横截面的中性轴上。即即 bISFz*z max,maxS,max 为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生的最大切应为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生的最大切应力不能超过

31、材料的许用切应力，即力不能超过材料的许用切应力，即（109） bISFzz*max,maxS,max此式即为切应力的强度条件。此式即为切应力的强度条件。 在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强度条件在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计算由正应力强和切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。因此，按正应力强度条件设计的截面常可使切度条件控制。因此，按正应力强度条件设计的截面常可使切应力远小于许用切应力。所以应力远小于许用切应力。所以一般情况下，总是根据梁横截一般情况下，总是根据梁横截面上的最大正应力来设计截面，然后再按切

32、应力强度条件进面上的最大正应力来设计截面，然后再按切应力强度条件进行校核行校核。但在少数情况下，梁的切应力强度条件也可能起到。但在少数情况下，梁的切应力强度条件也可能起到控制作用。例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的控制作用。例如梁的跨度较短，或在支座附近作用有较大的荷载，因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或荷载，因而使梁中出现的弯矩较小而剪力很大时；在铆接或焊接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度之比小焊接的组合截面钢梁中，其横截面的腹板厚度与高度之比小于一般型钢截面的相应比值时。于一般型钢截面的相应比值时。 解：解：（1）画出剪力图和弯矩图画出剪力图和弯矩图 最大正应

33、力应发生在最大弯矩的截最大正应力应发生在最大弯矩的截面上。查型钢表可知面上。查型钢表可知 333m10309. 0cm309zW例题例题106 一外伸工字型钢梁如图一外伸工字型钢梁如图a所示。工字钢的型号为所示。工字钢的型号为22a，已知：，已知：l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的许用应力，材料的许用应力=170MPa，=100MPa,试校核梁的强度。试校核梁的强度。 (a)BDCl/3qAFl/2l/212kN17kN13kN(b) FS图12kN.m39kN.m(c) M图,max17kNsFmax39kN mM（2）校核最大正应力校核最大正应力 则最大正应力则最大正应力 MP

34、a126Pa101261030901039633maxmax.WMz(a)BDCl/3qAFl/2l/212kN17kN13kN(b) FS图（3）校核最大切应力校核最大切应力 最大切应力应发生在最大剪力的最大切应力应发生在最大剪力的截面上。截面上。0.189mcm9 .18max,zzSIm0075. 0mm5 . 71 db则最大切应力则最大切应力 MPa12Pa10120075. 0189. 01017631max,maxS,maxbISFzz所以此梁满足强度要求。所以此梁满足强度要求。 查型钢表可知查型钢表可知 例题例题10107 7 图图a所示为一起重设备简图。已知起重量（包含所示为

35、一起重设备简图。已知起重量（包含电葫芦自重）电葫芦自重）F=30=30KN，跨长，跨长l=5=5m。AB梁是由梁是由2020a号的工字号的工字钢组成，其许用应力钢组成，其许用应力 =170=170MPa， =100=100MPa。试校试校核梁的强度。核梁的强度。 lABF(a)ABF(b)37.5kN.m(c)解：解：（1）校核最大正应力校核最大正应力 在荷载处于最不利位置（在荷载处于最不利位置（跨中跨中）时，如）时，如图图b。m37.5kNmaxM查得查得20a号工字钢的号工字钢的Wz为为 363m10237237cmzW则梁的最大正应力则梁的最大正应力 WMz158MPaPa1015810

36、2371037.5663maxmax最大弯矩值为最大弯矩值为 梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图c。lABF(a)ABF(d)FAFBFS,max(e)（2）校核最大切应力校核最大切应力 校核切应力时的最不利荷载位置如图校核切应力时的最不利荷载位置如图d所示。所示。30kNAmaxS,FFF对于对于20a号工字钢，利用型钢表规格表查得号工字钢，利用型钢表规格表查得 17.2cmmax,zzSI7mm1 db于是梁的最大切应力于是梁的最大切应力 bISFzz24.9MPaPa109 .241071017.2103063231max,maxS,max梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以梁是安全的梁的

37、正应力和切应力强度条件均能满足，所以梁是安全的。 相应的剪力图如图相应的剪力图如图e。10104 4 梁的合理截面形状及变截面梁梁的合理截面形状及变截面梁 一、梁的合理截面形式一、梁的合理截面形式 梁的合理截面形式是在截面面积相同的条件下具有较大梁的合理截面形式是在截面面积相同的条件下具有较大的弯曲截面系数。的弯曲截面系数。 矩形截面、正方形截面和圆形截面在截面面积相同条件矩形截面、正方形截面和圆形截面在截面面积相同条件下其合理性的比较。下其合理性的比较。 dabhbh(a)(b)(c)(d)maxmaxzMWdabhbh(a)(b)(c)(d)1.矩形和正方形的比较矩形和正方形的比较 aha

38、bhWWzz6632方矩说明此时矩形截面比同样面积的正方形截面合理。说明此时矩形截面比同样面积的正方形截面合理。 1ah从而 当 时（图b） bh 由hb=a2知 bah方矩zzWW即 ，1ahbh 方矩zzWW 当 时（图a），可得 ，即 ，说明此时矩形截面不如同样面积的正方形截面合理。说明此时矩形截面不如同样面积的正方形截面合理。 2.正方形和圆形的比较正方形和圆形的比较 224ad由 ，da2得 ， 于是 118. 132483263333dddaWWzz圆方这说明正方形截面比同样面积圆形截面合理。这说明正方形截面比同样面积圆形截面合理。 dabhbh(a)(b)(c)(d) 由以上的分析可以看出，由以上的分析可以看出，Wz值与截面的高度及截面的面积值与截面的高度及截面的面积分布有关。截面的高度愈大，面积分布得离中性轴愈远，分布有关。截面的高度愈大，面积分