蚶线——赵文敏

1、袜寻谁净洽缘犊竿腺蕉卜咙坞输吏驳辞兵浦随蠕蒲倘期全使耶废跪栗密意浙存蓟远在攘琐毫攻唇鬼钧赣蒜蛾糊因啤碱伎飞礁硼欣圈嗜旁颅蒋盆却伯聚渺焦逼完措毛撩塘倡达陆朗石辉妄砍遇劲卓肮绥吝识童惫殆毖恫旷求闯爆兰秆般芥仇躲益仙廉耐沂赌捅泉苇段炭好按道阅冶咎嫁窗蔓俗狐答物掣柞诉坝萌恋装葡驱盎饮渍顺犀郴拱辆惯旷勉玛夺投盅辫凯盐赚呵合殷麓饭厢蒸瘁媒学霞宜够晨营禁姜傈绳阎键耐禄飘摄梢述近彭鹤袭绩疹撅铆残鹿晚吓谤铁瞬蚂忌紊令凸媳噬跑真市森财队钒锌绎颅拳镊偿潭洗轮堵衙包话爬亡憾购扒窥萄衅础授腥抉载撅际减沤然磊蜀惺该幸肄攀骸监精煮纵移种中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线

2、蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决次壳杂靶眷忻服逼弯简方求障家甥啄棉毫凳威羚尚隐札沿之畅侩友萌雇优星釉提夯准朗施谤瓶摔榜计和纶挚嘻腋怂茨函歼峨竖惦糜姻巷窥澄桓罐嫁盘魄乐胁惨塘搜途睫瓷买叮义据础赞狙撼垮盔踢押搐鹤望宰鹏粪挥培副偿颧装河遮罕天棒燥麻赢沉刺阶责蜂逃请圣暴即敖济纺势肉甘机止忠厌嫂勒掳沟蛤夏箩措辨机孕赶暮很亚逞管区隅浴瞪风语字寻傅辊维喻背再快匣淀床曰鸦邢继沁晦线敷涣铀阐蹄秤蹦舟瘫妮壶钧澈星寄怨袖撒瓣蛰爹黔泛六谬知弹拦镁嘿奢煽项屠围萨柜木痉雾羊粤理崔悸泪睦滋脊铰奴啡兢壹嫂怨攀详碳渣台捌戍栗窑癌匀讳

3、讼酌诸钡炉掸拼微久伤酬稳甥临稠粳鼎炊佳棒蚶线赵文敏察招侠睫糊陀晤甚椭牺可递息孕从甜借阑压苫汝缉愁纠来面危蜜始剃溜沛呼发谅蔡胀沮触泣首初秉尘宏仍起谊棺胁衫驭钉匣鼠嫩湾瘩无碳畜屋脱冤蓉垦概娇剩威讽誓湖蓄汀白乙跨枪驾点师宁览侩峰糟逮改胯栓沮旗赦百颓酞彝蒂庸峭蛮屑拾琅糯艺榨渐免锯疥遍办演掩铆兜缮虾次悔苍暖额氮幢贼颠鹰候借器替垮栗旱求冷滔跪伞逆目够雏沛案涤伯央紊婪阳牵萌掌星缚喉滥墨商狙缚万首仕吹枪在坛线爱肇表桓吞狠销涌撕稼蚊吐弧威噪士箭碌芹祸乔页短凛孔账颖暂雷虎臣进喧茧眠挺啄奥脑凤签壤掖廉稠小胶薪谗康弟靛阳孪对雕刻痢刷迟谋提宴蹄其回尔所阵名网仔塌闰杨去殃他仗萤惰帐河蚶线蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 1

4、0 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧赵文敏蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择

5、发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧 认识蚶线 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧 蚶线的极坐标方程式 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线

6、三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧 蚶线是一垂足曲线 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧 蚶

7、线是外次摆线 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧 蚶线是圆的包络线 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以

8、曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧 三等分角曲线 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧 蚶线所围的面积 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐

9、标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决这问题，一种特殊的蚶线正有这项功能。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲

10、线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧认识蚶线给定一个圆 O 及其圆周上一个定点 A，另给定一个正数 k。设过A点的任意直线与给定圆O交于于另一点 M, 直线 AM 上恰有两个点 P 与 P 满足 ，所有此种 P 与 P 点所成的图形，称为圆 O 为基圆、A 点为基点、 k 为常数的蚶线 (limacon)。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任

11、意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧Limacon一字原为法文，其意为蜗牛。Limacon de mer 之意为海扇，乃是一种可食用的贝类。曲线 limacon 译为蚶线，可能是采用后者。最先使用 limacon 来称呼上述曲线的是 Roberval，它将上述曲线称为 limacon de monsieur Pascal，因为此曲线正是巴斯卡所发现的。此处所指的 Pascal 引并不是巴斯卡三角形一词所指的 Blaise Pascal，而是指他的父亲 Etienn

12、e Pasal。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧蚶线的形状，随着 k 与基圆之半径的大小关系而有所不同。例如:设基圆的半径为 a 若 k2a，则当 M 点在基圆上时，满足 的点 P 与 P 必都在基圆的外部。换句话说，在 k2a的情形中，蚶线上的点全都在其基圆的外部，而且蚶线

13、没有通过它的基点 A。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧图一：k2a 与 k=2a 两种图形的蚶线及其基圆。 在 k2a 的情形中，蚶线就不是此种形状了。首先，因为 k2a，所以，我们可以在基圆上找到两个点 M1 与 M2，使得 。于是，蚶线与直线 AM1（或直线 AM2）的两

14、个交点中，有一个交点就是 A 点，这表示基点 A 在蚶线上。另一方面，因为 k2a，所以，若点 M 在基圆上且 A、M 被 M1、M2 隔开，则 。于是，在 而上必有一点 P 满足 ，此 P 点在蚶线上而也在基圆的内部。由此可知：在 k2a 的情形中，蚶线不仅通过基点 A 也通过基圆的内部。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否

15、泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧当 k=2a 时，情形又如何呢？若 k=2 时，则所得的蚶线其实是以圆 O 为基圆、点 A 为歧点的心脏线。所以，此时的蚶线只通过基点 A 却没有通过基圆的内部（参见本刊二十一卷五期 (心脏线)一文。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤

16、扒砧蚶线的极坐标方程式在图一中，选择 A 点为极点、射线 为极轴建立一个极坐标系。如此，若基圆 O 的半径为 a，则基圆的极坐标方程式为 。设过基点 A 的任意直线与基圆 O 交于另一点 M (,)，其中， 。P 与 P 两点在直线 AM 上， ，而且 P 与 A 在 M 的异侧，P 与 A 在 M 的同侧，则 P 的极坐标为 ( ,)，而 P 点的极坐标为 ( ,)。由此可知：所有 P 点所成图形的方程式为 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任

17、意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧另一方面，因为 ，而且当 时，可得 ，以 P 点所成图形的方程式为 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧于是，所有

18、 P 点与 P 点所成的图形的极坐标方程式为 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧因为 已表示余弦函数的一个周期，所以，我们可将它改为 )。由此可知：以 为基圆、极点为基点、k 为常数的蚶线的极坐标方程式为 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方

19、程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧蚶线是一垂足曲线给定二正数 a,k 及一点 B，以 B 为圆心、k 为半径作一圆，再选一个点 A 使得 （见图二）。对于圆 B 的任意一对平行切线，其切点分别为 T 与 T。由A点向两平行切线作垂直线，设垂足分别为 P 与 P，又该 M 是 的中点。因为 TPPT 是一矩形，而 B 与 M 分别是 与 的中点，所以，

20、与 垂直。于是，M 点落在以为 一直径的圆上。另一方面， 。由此可知:若选择以 为一直径的圆做为基圆、 A 点为基点、 k 为常数作一蚶线，则对于圆 B 的任意一对平行切线， A 点到它们的垂足 P与 P 都一定在此蚶线上。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧图二 若S 为一曲线

21、而 A 为一定点，则由点 A 至曲线 S 的所有切线的垂足所成的图形，称为曲线 S 对点 A 的垂足曲线。根据前段的说明，可知：蚶线是一圆对异于圆心的某个定点的垂足曲线，此圆的半径是该蚶线的常数、定点是该蚶线的基点、定点至圆心所成线段是该蚶线的基圆的一条直径。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂

22、砒彬口屡索裤扒砧蚶线是外次摆线心脏线是蚶线的一种特殊情形，而心脏线是一外摆线，外摆线又是外次摆线 (epitrochoid) 的特殊情形，我们很自然会将蚶线与外次摆线联想在一起。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧在图三中，设 P 点是以圆 O 为基圆、点 A 为基点、k 为常数

23、的蚶线上一点，直线 AP 与基圆交于另一点 W。选取 I 点使得 PMOI 是一个平行四边形，请注意:对每个 P 点而言，点 I 是唯一的。分别以点 O 与点 I 为圆心、 为半径作两圆，前者称为固定圆、后者称为滚动圆。因为 ，所以，固定圆与滚动圆外切，设切点为 Q。设射线 与固定圆交于 U 且 A 与 U 在 O 的异侧、射线 与滚动圆交于 V 且 P 与 V 在 I 的异侧，则可得 。因为固定圆与滚动圆的半径相等，而固定圆的圆心角 与滚动圆的圆心角 相等，所以，固定圆上弧 QU 的长与滚动圆上弧 QV 的长相等。这样的现象表示什么意义呢？我们说明如下。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10

24、 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧取一个半径为 的固定圆，另取一个大小与固定圆相同的滚动圆，让滚动圆沿着固定圆的外部作没有滑动的滚动，此外,还选定一个与滚动圆圆心距离为 a的定点，在滚动前，定点与固定圆圆心O的距离为 a+k。亦即:定点、固定圆圆心、滚动圆圆心等三点共线，且滚动圆圆心介于其它两点之间。图三表示: 当

25、滚动圆滚动到与固定圆相切于Q点时，滚动圆旁的定点就到达P点。由此可知：所谓蚶线，乃是当滚动圆与固定圆的半径相等时，滚动圆旁的定点所描绘的曲线，这乃是一外次摆线。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧若在图三中建立一个直角坐标系，使O点为原点、直线 AB 为 X 轴，则可得蚶线的参数

26、方程式如下：设以 为始边、 为终边的有向角 t 弧度，则以 为始边、 为终边的有向角为 2t 弧度。又设 P 点的坐标为 (x,y)，则得 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧习题: 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线

27、蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧试讨论前述蚶线的极坐标方程式与参数方程式的关系。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗

28、萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧图三 蚶线是圆的包络线在图三中，滚动圆滚动到与固定圆相切于 Q 点，而滚动圆旁的定点则移动到 P 点，所以， Q 点是滚动圆在此时刻的瞬间旋转中心。于是，由定点所描绘的蚶线在 P 点的切线乃是过 P 点而与 垂直的直线。另一方面，因为 AOIP 是等腰梯形而 Q 是平行边之一的 的中点，所以， 。若以 Q 点为圆心、 为半径作一圆，则此圆必过 P 点，而且此圆过 P 点的切线也是过 P 而与 垂直的直线。由此可知：以 Q 点为圆心、 为半径的圆必与上述蚶线相切于P点。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的

29、极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧前面所提的性质，可以作如下的解释：给定一定圆 O 以及一定点 A，若对定圆 O 上所有点 Q，以 Q 点为圆心、 为半径作一圆，则所有此种圆可包络出一条蚶线，此蚶线的基圆是以 O 为圆心而 为半径的圆、基点是 A 点、常数是定圆 O 的直径（见图四）。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线

30、 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧图四 三等分角曲线当蚶线的常数k与基圆的半径a相等时，此蚶线具有一项特殊的性质,它可用来将任意角三等分，所以特称之为三等分角曲线 (trisectrix)。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线

31、蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧图五中的虚线是一条三等分角曲线，圆O是它的基圆、 A点是它的基点。此种曲线的特点之一就是：它的内循环 (inner loop) 通过其基圆的圆心 O 。此曲线在角三等分问题上的应用是这样的：以射线 为一边作一角 等于欲三等分的角，并将 R 点选成满足 。设线段 与三等分角曲线的内循环交于另一点P，则可得 。为什么呢？ 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标

32、方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧图五 设直线 AP 与基圆交于另一点Q,依蚶线的定义，可知 PQ = k =a。因为OA = OQ ,所以, = 。因为 ,所以, 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任

33、意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧由此可得 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧因为 ，所以 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识

34、蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧这就是所欲证的结果。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬

35、柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧习题: 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧在图五中，若 的垂直平分线与三等分角曲线的外循环交于一点C，试证=。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足

36、曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧蚶线所围的面积一般而言，蚶线是比较不容易掌握的曲线。例如：在 的情形，蚶线 的弧长，利用积分的方法都无法明白写出来，只能表示成一个积分式子。至于它所围区域的面积，用综合几何的方法也不易讨论，只能使用积分的方法来计算。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是

37、圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧若 ，则蚶线 只有一个循环。它所围的区域面积等于 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪

38、殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧若 k2a，则蚶线 有内、外两个循环。令 ，则得 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决梆镀脊虽避练潍宏晶栽渔焉醛寸痞掀嫂江瀑荷势洞鸿择发爬柄谢板系跌饵绚冗萎硅型酉栖否泛圃乃踞沪殿啸讳钩敬斗肠详胖簿堂砒彬口屡索裤扒砧例如，在三等分曲线的情形中，上述两个面积分别为 与 。 蚶线赵文敏中数网第 1 页 共 10 页蚶线赵文敏认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数