因式分解知识点总结

1、第一讲因式分解一，知识梳理1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例:111ax bx 二 x(a b)333因式分解，应注意以下几点。1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幕的形式；6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2. 因式分解的方法：（1）提公因式法：定义：如果多项式的各项有 公因式

2、，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可 以是一个单项式或多项式。系数一一取各项系数的最大公约数“字母一一取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幕3 33 2 34 2 2例：12a b c -8a b c 6a b c 的公因式是 .解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部分a3b3c, a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c，故多项式的公因式是3以2 a b c.提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二

3、步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例 1： 把 12a2b -18ab2 24ab3 分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幕是 ab，故公因式为6ab。2233解：12a b -18ab -24a b =6ab(2a-3b-4a2b2)例2：把多项式3(x 一4) x(4 x)分解因式解析：由于4 - X - -(x -4)，多项式3(x -4) x(4 - x)可以变形为3(x - 4) -

4、x( x - 4),我 们可以发现多项式各项都含有公因式(x - 4),所以我们可以提取公因式(x - 4)后，再将多项式写成积的形式解：3(x -4)x(4 -x)=3(x -4) -x(x -4)= (3-x)(x4)例3：把多项式-x2 2x分解因式解：-x2 2x=-(X2-2x) - -x(x-2)(2) 运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方 法叫做运用公式法。a. 逆用平方差公式：a2b2 =(a - b)(ab)b. 逆用完全平方公式：a2_2ab，b2 (a_b)2c. 逆用立方和公式：a3 b3 = (a b)(a2 - ab

5、b2)(拓展)d. 逆用立方差公式：a3 -b3 =(a -b)(a2 ab b2)(拓展)注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例1 ：因式分解a2 -14a 4922解：a14a 49 = (a7)例2：因式分解a2 2a(b c) (b c)2解：a2 2a(b c) (b c)2 = (a b c)2(3) 分组分解法(拓展)将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式ab - a b -1分解因式解：ab _a b _1 = (ab _a) (b _1)

6、 = a(b 一1) (b _1) =(a 1)(b 一1)将多项式分组后能运用公式进行因式分解例：将多项式a2-2ab-1 b2因式分解2 2解：a -2ab -1 b=(a -2ab b2) -1 =(a-b)2 -仁(a-b 1)(a-b-1)2(4)十字相乘法(形如x (P q)x pq = (x p)(x q)形式的多项式，可以考虑运用此种方法)方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和 p q为一次项系数2x (p q)x pq2 / x (p q)x pq = (x p)(x q)例：分解因式x2 -x - 30补充点详解我们可以将-30分解成px q的形式，使 p+q=-1,

7、p x q=-30,我们就有 p=-6, q=5 或 q=-6,p=5。q=50所以将多项式x2(p q)x pq可以分以分解为(x p)(x q)2分解因式x 52x 100补充点详解我们可以将100分解成px q的形式，使 p+q=52, p x q=100,我们就有 p=2, 或 q=2,p=50。所以将多项式x2(p q)x pq可解为(x p)(x q)3.因式分解的一般步骤:如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是 四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、套”、“三分组”、“四十字”。注意:

8、因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个 整式的积的形式。例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面确定公因式的方法：系数一一取多项式各项系数的最大公约数；字母（或多项式因式）一一取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幕【例1】分解因式：15a a -b-10ab b - a姑（n为正整数）4a2n1bm -6an2b2（m、n为大于1的自然数）【巩固】分解因式：(x y)2n 1 _(X-z)(x-y)2n 2(y -x)2n(y - z)，n 为正整数.【例2】先化简再求值，yxyDy x-y-x2，其中x-2， y.【巩固】222求代数式的值：（3一2）（”1）2“）+x（2x+i）（