第四章截切体和相惯体投影

1、第四章截切体和相惯体投影第四章第四章截切体与相惯体的投影截切体与相惯体的投影第四章截切体和相惯体投影一、平面体及回转体的截切一、平面体及回转体的截切截切：截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。部分。 截平面截平面 用以截切物体的平面。用以截切物体的平面。 截交线截交线 截平面与物体表面的交线。截平面与物体表面的交线。 截断面截断面 因截平面的截切，在物体上形因截平面的截切，在物体上形 成的平面。成的平面。讨论的问题：截交线的分析和作图讨论的问题：截交线的分析和作图 。第四章截切体和相惯体投影4.1 4.1 平面体的截切平面体的截切一、平面截切的基本形

2、式一、平面截切的基本形式 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。位置。 截交线的每条边是截平面与棱面的交线。截交线的每条边是截平面与棱面的交线。求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：截交线的性质：第四章截切体和相惯体投影二、平面截切体的画图二、平面截切体的画图 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法。棱线法。 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法

3、。棱面法。关键是正确地画出截交线的投影关键是正确地画出截交线的投影。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。的交线，并连接成多边形。第四章截切体和相惯体投影截交线的形状 1.分析截平面与立体的相对位置以决定截交线形状：多边形，其边数取决于截平面截到的棱面数。 2. 分析截平面与投影面的相对位置以决定截交线的投影

4、形状。第四章截切体和相惯体投影例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空间分析空间分析交线的形状？交线的形状？3 3 投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性截平面与体的截平面与体的几个棱面相交？几个棱面相交？截交线在俯、截交线在俯、左视图上的形左视图上的形状？状？第四章截切体和相惯体投影例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视

5、图。我们采用的是我们采用的是哪种解题方法？哪种解题方法？棱线法！棱线法！第四章截切体和相惯体投影例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1 (2(2 ) )、两点分别两点分别同时位于三个面同时位于三个面上。上。三面共点：三面共点：2 2 1 1 注意：注意：要逐个截平面分析和绘制要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后体被截切，求出截交线后再取局部。再取局部。第四章截切体和相惯体投影例例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后

6、的俯视图和左视图。第四章截切体和相惯体投影例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影截交线的投影特性？特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱线的分析棱线的投影投影检查截交检查截交线的投影线的投影第四章截切体和相惯体投影例例 3: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。第四章截切体和相惯体投影4.2 4.2 回转体的截切回转体的截

7、切一、回转体截切的基本形式一、回转体截切的基本形式截交线的性质：截交线的性质： 截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交线是截平面与回转体表面的共有线。 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线和曲线围成）。直线和曲线围成）。第四章截切体和相惯体投影二、求平面与回转体的截交线的一般步骤二、求平面与回转体的截交线的一般步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线分析回转体的形状以及截平面与回转体

8、轴线 的相对位置，以便的相对位置，以便确定截交线的形状。确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确分析截平面与投影面的相对位置，明确截交截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。截交线的已知投影，予见未知投影。 画出截交线的投影画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。见性。 先找特殊点，补充中间点。先找特殊点，补充中间点。第四章截切体和相惯体投影 圆柱体的截切圆柱体

9、的截切 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置截平面与圆柱轴线的相对位置垂直垂直圆圆椭圆椭圆平行平行两平行直线两平行直线倾斜倾斜P PV VP PP PV VP PP PV VP P第四章截切体和相惯体投影例例1 1：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤： 同一立体被多同一立体被多个平面截切，要逐个平面截切，要逐个截平面进行截交个截平面进行截交线的分析和作图。线

10、的分析和作图。第四章截切体和相惯体投影例例1 1：求左视图：求左视图空间及投影分析空间及投影分析求截交线求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：解题步骤：第四章截切体和相惯体投影例例2 2：求左视图：求左视图第四章截切体和相惯体投影例例2 2：求左视图：求左视图第四章截切体和相惯体投影例例3 3：求俯视图：求俯视图第四章截切体和相惯体投影例例3 3：求俯视图：求俯视图第四章截切体和相惯体投影截交线的已知投影？截交线的已知投影？例例4 4：求左视图：求左视图找特殊点找特殊点补充中间点

11、补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影截交线的侧面投截交线的侧面投影是什么形状？影是什么形状？截交线的截交线的空间形状？空间形状？ 第四章截切体和相惯体投影例例4 4：求左视图：求左视图找特殊点找特殊点找中间点找中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓素线的投影分析轮廓素线的投影第四章截切体和相惯体投影 椭圆的长、椭圆的长、短轴随截平面与短轴随截平面与圆柱轴线夹角的圆柱轴线夹角的变化而改变。变化而改变。4545什么情况下什么情况下投影为圆呢？投影为圆呢？截平面与圆柱轴截平面与圆柱轴线成线成4545时。时。第四章截切体和相惯体投影例例5 5：求左视图：求左视图例例5

12、 5：求左视图：求左视图虚实分界点虚实分界点第四章截切体和相惯体投影 圆锥体的截切圆锥体的截切 根据截平面与圆锥轴线的相根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。对位置不同，截交线有五种形状。过锥顶过锥顶两相交直线两相交直线P PV V圆圆P PV V= 90= 90P PV V椭圆椭圆抛物线抛物线P PV V=双曲线双曲线P PV V= 0= 0第四章截切体和相惯体投影例例: 圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。截交线截交线的空间的空间形状？形状？截交线截交线的投影的投影特性？特性？找特殊点找特殊点如何找椭圆另如何找椭圆另一根轴的

13、端点？一根轴的端点？补充中间点补充中间点光滑连接各点光滑连接各点分析轮廓线的分析轮廓线的 投影投影第四章截切体和相惯体投影例例: 圆锥被正垂面截切，求圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线，并完成三视图。第四章截切体和相惯体投影 球体的截切球体的截切 平面与圆球相交，截交线的形平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。第四章截切体和相惯体投影例：求半球体截切后的俯视图和左视图。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平

14、面截圆球的截交线水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。积聚为直线。两个侧平面截圆球的截两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。图上积聚为直线。第四章截切体和相惯体投影例：求半球体截切后的俯视图和左视图。例：求半球体截切后的俯视图和左视图。第四章截切体和相惯体投影 复合回转体的截切复合回转体的截切 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回以及它们的连接关系，然后分别求出这

15、些基本回转体的截交线，并依次将其连接。转体的截交线，并依次将其连接。例：求作顶尖的俯视图例：求作顶尖的俯视图第四章截切体和相惯体投影 小小 结结 一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是的封闭的平面多边形，多边形的边是截平截平 面与棱面的交线面与棱面的交线。求截交线的方法：棱线法求截交线的方法：棱线法 棱面法棱面法二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。平面与被截立体轴线的相对位置。 截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交线是截平面与回转体表面的共

16、有线。第四章截切体和相惯体投影 当截交线的投影为非圆曲线时，要先当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。各点。 注意分析平面体的棱线和回转体轮廓注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。素线的投影。 分析截平面与被截立体对投影面的相对分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。位置，以确定截交线的投影特性。 求截交线求截交线三、解题方法与步骤三、解题方法与步骤 空间及投影分析空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置，以分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。确定截交线的形状。第四章

17、截切体和相惯体投影 当单体被多个截平面截切时，要逐个截当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。交线，然后再取局部。 求复合回转体的截交线，应首先分析复求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。回转体的截交线，并依次将其连接。第四章截切体和相惯体投影平面体与回平面体与回转体相贯转

18、体相贯回转体与回回转体与回转体相贯转体相贯多体相贯多体相贯二、相贯体的投影1.1.相贯的形式相贯的形式 两立体相交叫作相贯，其表面产生的交两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。线叫做相贯线。 本章主要讨论常用不同立体相交时其表本章主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。面相贯线的投影特性及画法。第四章截切体和相惯体投影2.2.相贯线的主要性质相贯线的主要性质 其作图实质是找出相贯的两立其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。体表面的若干共有点的投影。 共有性共有性 表面性表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线位于两立体的表面上。相贯线是两立体表面的共有线。

19、相贯线是两立体表面的共有线。 封闭性封闭性 相贯线一般是封闭的空间折线（通相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。常由直线和曲线组成）或空间曲线。第四章截切体和相惯体投影1.1.相贯线的性质相贯线的性质 相贯线是由若干段平面曲相贯线是由若干段平面曲线（或直线）所组成的空间折线（或直线）所组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。回转体表面的交线。5.2 平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯2.2.作图方法作图方法 分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确 定交线的形状。定交线的形状。 求出各棱

20、面与回转体表面的截交线。求出各棱面与回转体表面的截交线。 连接各段交线，并判断可见性。连接各段交线，并判断可见性。 求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。第四章截切体和相惯体投影例例1：补全主视图补全主视图 空间分析：空间分析： 四棱柱的四个棱面分别与四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。直，截交线为两段圆弧。 投影分析：投影分析： 由于相贯线是两立体表由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯

21、线的面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。水平投影积聚在矩形上。第四章截切体和相惯体投影例例1：补全主视图补全主视图第四章截切体和相惯体投影例例2：求作主视图：求作主视图第四章截切体和相惯体投影例例2：求作主视图：求作主视图第四章截切体和相惯体投影1. 1. 相贯线的性质相贯线的性质 相贯线一般为光滑封闭的相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面空间曲线，它是两回转体表面的共有线。的共有线。5.3 5.3 回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯2.2.作图方法作图方法 利用投影的积聚性直接找点利用投影的积聚性直接找点。 用辅助平

22、面法。用辅助平面法。 先找特殊点。先找特殊点。 作图过程作图过程 补充中间点。补充中间点。确定交线的确定交线的弯曲趋势弯曲趋势确定交线确定交线的范围的范围第四章截切体和相惯体投影例例 1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。 空间及投影分析：空间及投影分析： 小圆柱轴线垂直于小圆柱轴线垂直于H面，水面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于该圆。大圆柱轴线垂直于W面，面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。面投影在该圆上。求相贯线的投影：

23、求相贯线的投影： 利用积聚性，采用利用积聚性，采用表面取点法。表面取点法。 找特殊点找特殊点 补充中间点补充中间点 光滑连接光滑连接第四章截切体和相惯体投影例例 1 ：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。第四章截切体和相惯体投影当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。交线向大圆交线向大圆柱一侧弯柱一侧弯交线为两条平面交线为两条平面曲线（椭圆）曲线（椭圆）第四章截切体和相惯体投影例例2：补全主视图：补全主视图 外形交线外形交线 两外表面相贯两外表面相贯 一内表面和一外表面相贯一内表面和一外表面相贯 内形交线内形交线 两内表面相贯两内表面相贯第

24、四章截切体和相惯体投影例例2：补全主视图：补全主视图 无轮是两外表面相贯，无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是求相贯线的方法和思路是一样的。一样的。小小 结：结：第四章截切体和相惯体投影两圆柱正交时的相贯线两圆柱正交时的相贯线xxxzzoooxyxyxoyoo 水平圆柱较大 两圆柱直径相等 水平圆柱较小上下两条空间曲线 两相互垂直的椭圆 左右两条空间曲线 第四章截切体和相惯体投影例2：求内外圆柱正交时的相贯线（用简化画法） 分析与作图与上例完全相同，但应注意：这时的大圆柱轴线为铅垂线，小圆柱轴线为

25、侧垂线，所以相贯线正面投影方向不同，而且有两支。另外，圆柱内表面的轮廓线投影应画成虚线。 以上证明：当圆柱正交时，相贯线在两圆柱公共对称面上的投影（此时为正面投影）为双曲线。当两圆柱直径相差较大时，允许采用近似画法，即用圆弧代替双曲线。第四章截切体和相惯体投影内外圆柱正交第四章截切体和相惯体投影简化画法简化画法2213132312R2rR第四章截切体和相惯体投影内、外圆柱表面正交内、外圆柱表面正交第四章截切体和相惯体投影例例3：求主视图：求主视图相切处无线相切处无线 外表面与外表外表面与外表面相贯，内表面与面相贯，内表面与内表面相贯。分别内表面相贯。分别求其相贯线。求其相贯线。第四章截切体和相

26、惯体投影例例3：求主视图：求主视图第四章截切体和相惯体投影例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 空间及投影分析：空间及投影分析： 相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平它的侧面投影有积聚性，正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。投影没有积聚性，应分别求出。 解题方法：辅助平面法解题方法：辅助平面法第四章截切体和相惯体投影辅助平面法：辅助平面法： 根据三面共点的原理，利用辅助平面求根据三面共点的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出出两回转体表面上的若干共有点，从而画

27、出相贯线的投影。相贯线的投影。作图方法：作图方法： 假想用辅助平面截切两回转体，分别得假想用辅助平面截切两回转体，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。因而是相贯线上的点。辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则： 使辅助平面与两回转体表面的截交线的使辅助平面与两回转体表面的截交线的投影简单易画，例如直线或圆。投影简单易画，例如直线或圆。一般选择投影面平行面一般选择投影面平行面第四章截切体和相惯体投影例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。：圆柱与圆锥相

28、贯，求其相贯线的投影。 假想用水平面假想用水平面P截切立体，截切立体，P面与圆柱面与圆柱体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线体的截交线为两条直线，与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。P第四章截切体和相惯体投影例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 解题步骤：解题步骤： 求特殊点求特殊点 用辅助平面法求用辅助平面法求 中间点中间点 光滑连接各点光滑连接各点第四章截切体和相惯体投影例例 4：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。 解题步骤：解题步骤： 求特殊点求特殊点 用

29、辅助平面法求用辅助平面法求 中间点中间点 光滑连接各点光滑连接各点第四章截切体和相惯体投影123例例5：补全主视图：补全主视图 这是一个多体这是一个多体相贯的例子，首先相贯的例子，首先分析它是由哪些基分析它是由哪些基本体组成的，这些本体组成的，这些基本体是如何相贯基本体是如何相贯的，然后分别进行的，然后分别进行相贯线的分析与作相贯线的分析与作图。图。2与3第四章截切体和相惯体投影例例5：补全主视图：补全主视图三面共点三面共点 作图时要抓住作图时要抓住一个关键点，相贯一个关键点，相贯线汇交于这一点。线汇交于这一点。第四章截切体和相惯体投影例例6：求俯视图：求俯视图第四章截切体和相惯体投影例例6：

30、求俯视图：求俯视图第四章截切体和相惯体投影 小小 结结 一、本章的基本内容一、本章的基本内容 立体表面相贯线的概念立体表面相贯线的概念 求相贯线的基本方法求相贯线的基本方法相贯线的性质：表面性相贯线的性质：表面性 共有性共有性 封闭性封闭性二、解题过程二、解题过程 交线分析交线分析 空间分析：空间分析： 投影分析：投影分析： 是否有积聚性投影？找出相贯线的已知投影，是否有积聚性投影？找出相贯线的已知投影，预见未知投影，从而选择解题方法。预见未知投影，从而选择解题方法。面上找点法面上找点法 辅助平面法辅助平面法 分析相交两立体的表面形状，分析相交两立体的表面形状， 形体大小及相形体大小及相对位置，预见交线的形状。对位置，预见交线的形状。第四章截切体和相惯体投影特殊点包括：最上点、最下点、最左点、特殊点