初三数学培优之平面几何的定值问题

1、初三数学培优之平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内 变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动 的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值 .解答定值问题的一般步骤是：1 .探求定值；2 .给出证明.【例题与求解】【例1】 如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD上任意一点.求证：PA PC为定值.PB解题思

2、路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等【例2】 如图，AB为。的一固定直径，它把。分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CDAB, / OCD的平分线交。于点P,当点C在上半圆（不包括 A, B两点）上移动时，点 P （）A.到CD的距离保持不变B.位置不变C.等分DBD.随C点的移动而移动（济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论【例3】 如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动， M是ST的中点，P是S对AB作垂线 的垂足.求证：不管 ST滑到什么位置，/ SPM是一定角.(加拿大数学奥林匹克试题)解题思路：不管S

3、T滑到什么位置，/ SOT的度数是定值.从探寻/ SPM与/ SOT的关系入手.【例4】如图，扇形OAB的半径OA=3,圆心角/ AOB=90 .点C是AB上异于A, B的动点，过点 C作CDLOA于点D,作CELOB于点E.连接DE ,点G, H在线段 DE上，且 DG = GH=HE.(1)求证：四边形 OGCH是平行四边形；(2)当点C在AB上运动时，在 CD, CG, DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；(3)求证：CD2+3CH2是定值.(广州市中考试题)解题思路：延长OG交CD于N,利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线 段ON转化成线

4、段CH的倍分关系，再以 RtAOND为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.【例5】如图1,在平面直角坐标系 xOy中，点M在x轴的正半轴上，O M交x轴于A, B两点，交y轴于C, D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点.若点A的坐标为(-2, 0), AE=8.(1)求点C的坐标；(2)连接 MG, BC,求证：MG/BC;(3)如图2,过点D作。M的切线，交x轴于点P.动点F在O M的圆周上运动时， OF-的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律PF(深圳市中考试题)7【例6】 如图，已知等边 ABC内接于半径为1的圆O, P是。O上的任意一点.求证：PA2+pb2

5、+pc2 为定值.解题思路：当点P与C点重合时，PA2 + PB2+PC2=2BC2为定值，就一般情形证明.【能力训练】A级y*BSiBS2（第1题图）（第3题图）（第4题图）1,3, 5,则这个等边三角形的4 .如图，在菱形 ABCD中，/ ABC=120线BF与直线DE所夹的锐角的度数为（,F是DC的中点，AF的延长线交BC的延长线于点 E,则直A .30B.40)C.50D.605 .如图，在0O中，P是直径 AB上一动点, 连接AB ,当点P从点A移动到点B时, A .在平分AB的某直线上移动C.在弧AMB上移动在AB同侧作 AA AB, BBAB的中点的位置（）（武汉市竞赛试题）AB

6、,且 AA =AP, BB =BP.B.在垂直AB的某直线上移动D.保持固定不移动1 .如图，点A, B是双曲线y 3上的两点，分别经过 A, B两点向x轴，y轴作垂线段.若S阴影=1,则 xS1S2（牡丹江市中考试题）2 .从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为 面积是.（全国初中数学联赛试题）3 .如图，OA, OB是。O任意两条半径，过 B作BELOA于E,又作OPLAB于P,则定值 OP2+ep2为（荆门市中考试题）k6.如图，A, B是函数y 一图象上的两点，点 C, D, E, F分别在坐标轴上, x成正方形和长方形.若正方形OCAD的面积为6,则长方形OEB

7、F的面积是（且分别与点A, B, O构A. 3B. 6C. 9D. 12（海南省竞赛试题） 得到如图所表示的7. （1）经过。O内或。O外一点P作两条直线交。O于A, B和C, D四点,六种不同情况.在六种不同，情况下，PA, PB, PC, PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一 个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的 证明.(2)已知。的半径为一定值r,若点P是不在。上的一个定点，请你过点P任作一直线交。于不 重合的两点 巳F. PE PF的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字 叙述出来.(济南市中考试题

8、)8.在平面直角坐标系中，边长为 2的正方形OABC 在原点，现将正方形 OABC绕。点顺时针旋转，当 中，AB边交直线y X于点M, BC边交x轴于点(1)求OA在旋转过程中所扫过的面积；(2)旋转过程中，当 MN与AC平行时，求正方形的两顶点A, C分别在y轴，x轴的正半轴上，点 O A点第一次落在直线 y x上时停止旋转.旋转过程N.OABC旋转度数;(3)设 MBN的周长为P,在正方形OABC旋转的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论(济宁市中考试题)9.如图，AB是半圆的直径,ACXAB, AC=AB.在半圆上任取一点D,作DEXCD,交直线AB于点E,BFXAB,交线段AD的延长

9、线于点F.(1)设弧AD是X。的弧，若要点 E在线段BA的延长线上，则 x的取值范围是 .(2)不论点D取在半圆的什么位置， 图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线 段，并予证明.(江苏省竞赛试题)10.如图，内接于。的四边形ABCD的对角线 AC与BD垂直相交于点 K,设。的半径为R.求证:(1) AK2 BK2 CK2 DK2 是定值；(2) AB2 BC2 CD2 DA2 是定值.11.如图，设P是正方形ABCD外接圆劣弧弧 AB上的一点，求证:AP一BP的值为定值.CP DP（克罗地亚数学奥林匹克试题）1 .等腰 ABC的底边BC为定长2, H为乙ABC的垂心.当

10、顶点A在保才ABC为等腰三角形的情况下改变位置时，面积 SA ABC SA HBC的值保持不变，则 Sa ABC - SA HBC=.2 .已知A, B, C, D, E是反比仞函数y 16 （x0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数） x别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成（用含兀的代数式表示）.如图所示的五个橄榄形 （阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（福州市中考试题）3 .如图，将六边形 ABCDEF沿直线GH折叠，使点 A, B落在六边形 ABCDEF的内部，记/ C+/D +/ E+/ F = a,则下列结论一定正确的是（A

11、./ 1 + / 2=900 -2aC.Z 1 + Z 2= 720)B. / 1 + / 2= 1080 -2a/。1D. / 1 + / 2=360 一 a2（武汉市竞赛试题）(第3题图)(第4题图)4 .如图，正 ABO的高等于。的半径，O O在AB上滚动，切点为 T,。交AO, BO于M, N,则 弧 MTN ()A.在0到30变化C.保持30不变5 .如图，AB是。O的直径，且记点A, B到MN的距离分别为B.在30到60变化D.保持60不变AB=10,弦MN的长为8.若MN的两端在圆上滑动时，始终与 AB相交,A.5B.6hi, h2,则 I h1-h2 I 等于（C.7D.8(黄

12、石市中考试题)6 .如图，已知 ABC为直角三角形，/(m0),线段AB与y轴相交于点(1)求点A的坐标(用m表示)(2)求抛物线的解析式；(3)设点Q为抛物线上点P至点AC于点F.试证明：FC (AC+EC)D,ACB=90 , AC=BC,点 A, C 在 x 轴上，点 B 坐标为(3, m) 以P (1, 0)为顶点的抛物线过点B, D.B之间的一动点，连接 为定值.PQ并延长交BC于点 巳 连接BQ并延长交(株洲市中考试题)7 .如图，已知等边 ABC内接于圆，在劣弧 AB上取异于A, B的点M.设直线AC与BM相交于K,直 线CB与AM相交于点N.证明线段AK和BN的乘积与 M点的选

13、择无关.(湖北省选拔赛试题)CAMBAH(第7题图)(第8题图)8 .如图，设H是等腰三角形 ABC两条高的交点，在底边BC保持不变的情况下让顶点 A至底边BC的距 离变小，这时乘积 S；A ABC SA HBC的值变小、变大，还是不变？证明你的结论(全国初中数学联赛试题)1 049.如图，在平面直角坐标系 xOy中，抛物线y x2x 10与x轴的交点为点 A,与y轴的交点为189点B.过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点 C,连接AC.现有两动点P, Q分别从O, C两点同时 出发，点P以每秒4个单位的速度沿 OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿 CB向点B移动. 点P停止运动时，点 Q也同时停止运动.线段OC, PQ相交于点D,过点D作DE/ OA,交CA于E, 射线QE交x轴于点F.设动点P, Q移动的时间为t (单位：秒).(1)求A, B, C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；(2)当t为何值时，四边形 PQCA为平行四边形？请写出计算过程； 一9(3)当0 t 一时， PQF的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由；2(4)当t为何值时， PQF为等腰三角形，请写出解答过程.(黄冈市中考试题)(1)求抛物线Ci的顶点坐标; . . 一 11-(2)若抛物线 C与y轴的交点为A,连接AF,并延长交抛物线