几何证明选讲

1、几何证明选讲（2011-2015全国卷文科）（一）新课标卷1.（2011.全国新课标22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D, E分别为AABC的边AB, AC上的点，且不与AABC的顶点重合.已知AE 的长为m, AC的长为n, AD, AB的长是关于x的方程x （2012.全国新课标22）（本小题满分10分）选修几何证明选讲如图，D, E分别为aABC边ABAC的中点，直线DE交ZiABC的外接圆于F, G两点，若CF/AB,证明:(I )CD=BC；(H)aBCDAGBD-14.r + /Hn = 0的两个根.（I）证明：C, B, D, E四点共圆：（II）若ZA =

2、 90。，且加=4山=6,求C, B, D, E所在圆的半径.（-）全国I卷1. （2013.全国1卷22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B,点C任圆上，ZABC的角平分线BE交圆于点E, DB垂直BE交圆于D。（I ）证明：DB=DC：（口）设圆的半径为1, BC=V3 ，延长CE交AB于点F,求ABCF外接圆的半径。2. （2014.全国1卷22）（本小题满分10分）选修几何证明选讲如图，四边形ABCD是OO的内接四边形，的延长线 与DC的延长线交于点, RCB = CE.（I）证明：ZD = ZE；（II） 设AD不是O的直径，AD的中点为M

3、,且=证明：AABC为等边三角形.3. （2015.全国1卷22）（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲如图&8是GO直径，人C是GO切线，BC交O与点E（I）若D为力C中点，证明：DE是0O切线:（II）若OA = *CE ,求ZACB的大小.（三）全国II卷1.（2013.全国2卷22）（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，CD为ZkABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D, E, F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC AE=DC AF, B, E, F, C四点共圆.（1）证明：CA是AABC外接圆的直径.（2）若DB二BE二EA,求过B, E, F, C四点的圆

4、的而积与 ABC外接圆面枳的比值B2. （2014.全国2卷22）（本小题满分10分）选修4-1： 如图，P是00外一点，PA是切线，A为切点，害懺PBC与O0相交于点B, C, PC二2PA, D为PC的中点，AD 的延长线交O0于点E,证明：（I）BE二EC：（II）AD DE=2PB3. （2015.全国2卷22）（本小题满分10分）选修4仁 几何证明选讲如图O是等腰三角形4BC内一点，圆O与&BC的底边BC交于A4JV两点，与底边上 的高交于点G,且与ABAC分别相切于E,F两点.（I）证明 EFHBC；（II）若&G等于圆O半径，且AE = MN = 2忑，求四边形EDCF的而积.几

5、何证明选讲（20112015全国卷文科）参考答案（一）新课标卷1. （2011.全国新课标22）解：（I）连接DE,根据题意在ZkADE和aACB中,ADxAB=mn=AExAC,AF) Af7即=.XZDAE=ZCAB,从而AC AB ADEAACB因此 ZADE=ZACB所以C, B, D, E四点共圆。(II ) m=4,n=6 时，方程 x（2012.全国新课标22）解（22）证明，（）因为d E分别为AB, AC的中点，所以DEHBC 又已知CF/AB 故四边形BCFD是平行四边形，所卑 CF = BD- AD .而CFHAD ,连结AF所以ADCF是产行 四边形，j&CDAF.因为

6、CFHAB所以BC二AF ,故CD = BC.（II因为 FG/IBC 故GB = CF 由（I ）可知BD = CF 所以GB = BD.而 ZDGB = ZEFC = ZD5C 故BCD s、GED.（二）全国I卷1.（2013.全国 1 卷 22）解：-14x+mn=0 的两根为 xi=2, xz=12.故 AD=2, AB=12.取CE的中点G, DB的中点F,分别过G, F作AC, AB的垂线，两垂线相交于日点 连接DH.因为C, B, D, E四点共圆，所以C, BD. E四点所在圆的圆心为H,半径为 DH.由于ZA=90,故 GHAB, HFZ7AC. HF=AG=5, DF=丄

7、（12-2）=5.2故C, B, D, E四点所在圆的半径为5 JI（I ） 连结DE,交C产点G.由弦切拜定理得，SBE = ZBCE.衙BE = ZCBE 5X CBE = ZBCE , BE 二 CE . 叉因为DZ?丄BE, 以Of人言狰，f DCF二90S 由勾股总浬可得DB二DC .故DG B HC 中魚殳所以RCr = .Hr ） i / ）知.ZCDE - Z/?Z） , DE = DC ,设 QEfj中点为O,连结迟6 则 ZBOG = 60c. AKTfu ABE = /BCE = CBE 30 , 圻以CF丄PF ,故R（A5CA外接圆的半径翠于竺.2. (2014.全国

8、 1 卷22)解：.(I )由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以ZD=ZCBE, 由已知得，ZCBE=ZE,所以ZD=ZE5分(II )设8。“中点为，连接MN,则由MB=MC ，知MN丄BC所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OH丄AD, R卩 MN丄AD,所以 AD/BC,故ZA=ZCBE,又ZCBE=ZE,故ZA二ZE10分由(I) (1)知ZD=ZE,所以AADE为等边三角形.3. （2015.全国 1 卷 22）解：（I）连接AE,由已知得，AE丄BC,AC丄AB.在 RtAAEC 中，由已知得，DE=DC,故ZDEC=ZDCE.连结 OE,则ZOBE=ZOEB.X

9、ZOED+ZABC=90,所以ZDEC+ZOEB=90,故ZOED=90, DE 是00 的切线.5分（II）设CE=1 , AE=x ,由已知得AB= 23 , BE= J12-F 由射影定理可得,AE： =CEBE,所以=即x4+x2-12 = 0.可得x =所以ZACB=6010分（三）全国II卷1. （2013.全国 2 卷 22）解：（1）因为CD为AABC外接圆的切线，所以ZDCB=ZA.由题设恃DCEA故厶CDBAAEF,所以ZDBC=ZEFA.因为B, E, F, C四点共圆，所以ZCFE=ZDBC,故ZEFA=ZCFE=90 所以ZCBA=90 ,因此CA是AABC外接圆的直

10、径. （2）连结 CE,因为ZCBE=90 ,所以过B, E, F, C四点的圆的直径为CE,由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC=DB BA=2DB 所以 CA2=4DB2+BC2=6DBLDC=DB.DA=3DB=,故过B, E, F, C四点的圆的面积与3外接圆面积的比值培.2. （2014.全国 2 卷 22）解：（1）连结 AB, AC,由题设知 PA=PD,故ZPAD=ZPDA因为ZPDA二ZDAC+ZDCA, ZPAD二ZBAD+ZPAB. ZDCA=ZPAB所以ZDAC二ZBAD,从而BE二EC 因此BE二EC（2）由切割线定理得PA2 =PB. PC因为 PA二PD二DC,所以 DC二2PB, BD二PB由相交弦龙理得AD*DE二BD*DC二2 PB13. （2015.全国 2 卷 22）(22)解，(I)由于是等腰三角形，皿 丄BC ,所以是乙CAB的平分线.又因为OO分别与AB, 47相切于点F 所以AEAF.故40丄EF.从而 EF / BC .(II)由(I )知.AE = AF, 40 丄 EF、故 AD 是 EF的垂直平分线.乂防为00的弦.所以O在/D上.连结OE OM ,