专题07 基本不等式（讲）（原卷版）

1、2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）专题07基本不等式（讲）本节知识点与题型快速预览知识点课前预习与精讲精析1重要不等式当a、b是任意实数时,有a2b22ab,当且仅当ab时,等号成立2基本不等式当a0,b0时有,当且仅当ab时,等号成立3基本不等式与最值已知x、y都是正数(1)若xys(和为定值),则当xy时,积xy取得最大值(2)若xyp(积为定值),则当xy时,和xy取得最小值1,下列不等式始终成立的是 （ )ABCD2若正实数满足,则（ ）A有最大值4B有最小值C有最大值D有最小值3函数的最小值为 （ ）A3B2C1D4已知,则的最小值是（ ）ABCD5

2、若函数在处取最小值,则等于（ ）A3BCD4典型题型与解题方法重要考点一：利用基本不等式求函数的最值【典型例题】(1)已知,求的最大值；(2)已知,求的最大值【题型强化】（1）已知,求的最小值；（2）已知,求的最大值.【收官验收】（1）已知,求的最小值并求此时的值；（2）设,求函数的最大值；（3）已知,求的最小值；（4）已知,且,求的最小值；【名师点睛】1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即(1)一正：符合基本不等式成立的前提条件,a0,b0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“”号的条件,即“”号成立以上三点缺一不可2若是求和式的最小值,通

3、常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分或配凑因式重要考点二：变形技巧：“1”的代换【典型例题】已知,则的最小值为_；【题型强化】若,且,则的最小值是_【收官验收】设,若,则的最小值为_【名师点睛】1.应用基本不等式求最值时,经常要对所给式子进行变形,配凑,变形的目标是能配凑出“和”或“积”为定值的条件2若条件式是axbyc(a,b,c都是正常数),常常进行常数代换(或乘除常数)如xy1(x0,y0)求的最值时,可以将1xy,22(xy)代入,也可以变形()1()(xy)两种方法本质相同,若已知条件为2xy3(x0,y0),求的最值时,

4、可利用()(2xy)变形3求二元函数最值时,可以用代入消元法转化,但要注意根据被代换的变量的范围,对保留下的变量的范围加以限制重要考点三：忽视等号成立的条件而致误【典型例题】已知四个函数；,其中函数最小值是2的函数编号为_【题型强化】（1）已知,求的最大值；（2）已知,求的最小值；（3）已知,求的最大值；（4）求函数的最小值【收官验收】已知,求的最大值.重要考点四：利用基本不等式比较数的大小【典型例题】已知,为三角形的三边,且,则（ ）ABCD【题型强化】已知,则与的大小关系是_.【收官验收】已知且,试比较,的大小重要考点五：不等式的证明技巧字母轮换不等式的证法【典型例题】已知a,b,c为正数

5、,且满足abc=1证明：（1）；（2）【题型强化】（1）已知,且,证明：；（2）已知,且,证明：.【收官验收】已知,为正数,且满足.证明：（1）；（2）.【名师点睛】证明不等式时,要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法若不等式中字母具有轮换对称关系,则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证重要考点六：求参数的取值范围问题【典型例题】已知,若恒成立,则 的取值范围是_【题型强化】已知,且,若恒成立,则实数的取值范围是_.【收官验收】已知不等式对任意的恒成立,则实数的范围为_【名师点睛】1.恒成立问题求参数的取值范围,常用“分离参数”转化为函数最值问题求解；2.解题思路来源于细致的观察,

6、丰富的联想和充分的知识、技能的储备,要注意总结记忆重要考点七：均值不等式在实际问题中的应用【典型例题】（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大？最大面积是多少？【题型强化】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.（1）在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大？最大车流量是多少（精确到千辆/时）？（2）若要求在该时段内车流量超过千辆/时,则汽车的平均速度应该在什么范围内？【收官验收】某单位修建一个长方形无盖蓄水池,其