分式不等式解法讲义

1、不等式的解法1一元二次不等式的解法（1）含有未知数的最高次数是二次的一元不等式叫做一元二次不等式（2）一元二次不等式的解法 （如下表所示 ）设 a0， x1， x2是一元二次方程 ax2 bx c0 的两实根，且 x1x2（3）对于一元二次不等式的解法需注意：x ax a 0（ab； 0（a b）的解集为： x|ax0（ a 0）的解集是一元二次函数 yax2 bxc（a 0）在 x 轴上方的点的横坐标的集合 三个“二次”的关系常说的三个“二次”即指二次函数、 一元二次方程和一元二次不等式， 这三者之间有着 密切的联系， 这种联系点可以成为高考中的命题点 处理其中某类问题时， 要善于产生对于

2、另外两个“二次”的联想，或进行转化， 或帮助分析具体到解一元二次不等式时，就是要 善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析， 要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等 式的解集区间的端点值的联系2解一元二次不等式的方法：（1）图象法：先求不等式对应方程的根，再根据图象写出解集（2）公式法步骤： 先化成标准型： ax2 bx c 0（或0； 计算对应方程的判别式 ； 求对应方程的根； 利用口诀“大于零在两边，小于零在中间”写出解集3解绝对值不等式的基本思想 / 101)解绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，把带有绝对值号的不等式等价转化 为不含绝对值号的不等式求解，常采用的方法是讨论符号和平方

3、，例如：(1) 若 a0，则 x a? axa? x20，则 x a? xa? x2a2；(3) |f(x)| g(x)? g(x)f(x) g(x)? f (x)g(x)或 f(x)a(a0)? f (x)a或 f(x)a；(2) |f(x)| 0)? af(x) ( 0(或0 f x 0?f(x) g(x)0?热点考(3) 再讨论各因子的符号或按数轴标根法写出解集点 题 型 探 析 考点 1 一元二次不等式的解法题型 1. 解一元二次不等式2例 1 不等式 x/ 10 x的解集是 ( )A ,0 B. 0,1 C. 1, D. ,0 1, 【解题思路】严格按解题步骤进行解析由 x2 x得

4、x(x 1) 0 ,所以解集为,0 1, ,故选 D;别解:抓住选择题的特点,显然当 x 2时满足不等式 , 故选 D.【名师指引】解一元二次不等式的关键在于求出相应的一元二次方程的根 题型 2.已知一元二次不等式的解集求系数 .2 1 1 2例2已知关于 x的不等式 ax2 2x c 0的解集为 ( , ) ,求 cx2 2x a 0的解集. 32【解题思路】由韦达定理求系数2 1 1 1 1 2解析 由 ax2 2x c 0的解集为 ( , ) 知 a 0, 为方程 ax2 2x c 0 的两3 2 3 21 1 2 1 1 c 2个根 , 由韦达定理得 , , 解得 a 12,c 2,

5、cx2 2x a 0 即 3 2 a 3 2 a22x2 2x 12 0, 其解集为 ( 2,3) .【名师指引】 已知一元二次不等式的解集求系数的基本思路是,由不等式的解集求出根 , 再由韦达定理求系数新题导练】21. 不等式( a2)x2+2(a2) -40,对一切 xR 恒成立，则 a的取值范围是( )A.( - ,2B.(-2,2C.(-2,2)D.(- ,2)解析：可推知 -2a2,另 a=2时，原式化为 -40，恒成立， -20，若此不等式的解集为 x| x0B.0 m D. m0解析：由不等式的解集形式知 m 1 (a 0,ax【解题思路】借助于单调性进行分类讨论110解析 (1

6、)当 a 1 时，原不等式等价于不等式组x11ax / 101由此得 1a 1 .因为 1a 0，所以 x0，x(2)当 0a1 时，原不等式等价于不等式组：1 x 0. 1a1101x11ax， 1 x 1 或 x 0，由得 0 x1时，不等式的解集是 x| 1 x0 ，当 0a1时，不等式的解集为1a1 x|1 x.1a【名师指引】 解指数不等式与对数不等式通常是由指数函数和对数函数的单调性转化为一般 的不等式 (组 ) 来求解，当底数含参数时要进行分类讨论 .【新题导练】3. 关于 x 的不等式 63x2 2mx m2 0 的解集为 ( ) m mm mmmA. ( , ) B. ( ,

7、 )C.( , ) ( , ) D. 以上答案都不对9 77 997解析 : 原不等式可化为 (x m)(x m) 0, 需对 m分三种情况讨论 , 即不等式的解集与 m 有 97关.4. 解关于 x 的不等式： ax2 2(a 1)x 4 0解析： (ax 2)(x 2) 02 2 2(a 1)aa22当 a 1 2x| x 2 ；aa2当 0 a 1 22x|2 xaa2当 a 0 ( ax 2)(x 2) 0 x|x或 x 2aa 0 x 2;a 1 x5.考点 3 分式不等式及高次不等式的解法例 5 解不等式 :(x2 1)(x2 6x 8) 0 【解题思路】先分解因式 , 再标根求解

8、 解析 原不等式(x 1)(x 1)(x 2)(x 4) 0, 各因式根依次为 -1,1,2,4, 在数轴上标根如下 : / 10【名师指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根轴法,要注意不等式的解集与不等式对应的方程的根的关系 .【新题导练】5. 若关于 x的不等式xa(x 3)(x 1)0 的解集是( 3, 1) (2, ),则 a的值为 解析 :原不等式 （x a）（x 3）（x 1） 0 ,结合题意画出图可知 a2.6. 解关于 x的不等式2(a 1)x2 1ax 1x(a 0)解：若 0 a / 10 1，则原不等式的解集为 （ 1，15） （1 5， ） ；2 a 2 2若 a 5

9、 1，则原不等式的解集为 （1 5 ， ）；22若 a 5 1，则原不等式的解集为 （1 5 ， 1） （1 5 ， ）解不等式 xx 2 (21)4 2x2.2 2 a 27.（ 广东省深圳中学 2008 2009 学年度高三第一学段考试）解析： 2x 2 （12）4 2x2x222x 422即 23x 2522得 x 65所以原不等式的解集为x|x 56考点 4 简单的恒成立问题题型 1: 由二次函数的性质求参数的取值范围2例 1.若关于 x的不等式 ax2 2x 2 0在 R 上恒成立 ,求实数 a的取值范围 . 【解题思路】结合二次函数的图象求解解析当a 0时,不等式 2x 2 0解集

10、不为 R ,故a 0不满足题意 ; a 0 1当 a 0时, 要使原不等式解集为 R , 只需, 解得 a22 4 2a 0 21综上, 所求实数 a的取值范围为 （ , ）2a02 a 0 【名师指引】不等式 ax2 bx c 0 对一切 x R恒成立b 0 或 2b2 4ac 0 c0a0b2 4ac 0a02不等式 ax2 bx c 0对任意 x R恒成立b 0 或c0题型 2. 转化为二次函数的最值求参数的取值范围【解题思路】先分离系数 , 再由二次函数最值确定取值范围 .解析 (1)设 f(x) ax2 bx c(a 0).由 f (0) 1得c 1,故 f(x) ax2 bx 1.

11、 f(x 1) f (x) 2x a(x 1)2 b(x 1) 1 (ax2 bx 1) 2x即 2ax a b 2x,所以 2a 2,a b 0,解得 a 1,b 1 f(x) x2 x 122(2)由(1)知x2 x 1 2x m在 1,1恒成立 ,即m x2 3x 1在 1,1恒成立 .2 3 2 5令 g(x) x 3x 1 (x ),则 g(x)在 1,1上单调递减 .所以 g(x) 在 1,1上24的最大值为 g(1) 1.所以 m的取值范围是 ( , 1).【名师指引】 m f (x)对一切 x R恒成立 , 则 m f (x)min ; m f(x) 对一切 x R恒成 立,则

12、m f (x)max;【新题导练】 8.不等式 ax2 4x a 1 2x2 对一切 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是22解析：不等式 ax2 4x a 1 2x2对一切 x R恒成立 ,2a20若 a 2 0 ，则9.若不等式 x2ax1 0 对于一切 x (0，即 (a 2)x2 4x a 1 0 对一切 x R 恒成立 若 a 2=0, 显然不成立011 )成立，则 a 的取值范围是2A052aa 1x ,若，即 a 1 时，则 f(x)在22 21 1 5 0， 上是减函数，应有 f( ) 0 x 12B 2CD-3解析：设 f(x) x2 ax 1，则对称轴为12若 a 0，

13、2即 a 0 时，则 f( x)在 0，1上是增函数，2应有 f(0)1 0 恒成立，故 a 0若 0 a21，即 1 a 0，则应有2f(a2)a222aa 1 10 恒成立，4 2 45故 1 a 0 综上，有a,故选抢分频道基础巩固训练1. 不等式 x2 5x 6 0 的解集是 / 10解析 :将不等式转化成 x2 5x 6 0，即 x 1 x 6 0.2. 若不等式 x2 ax b 0的解集为 x|2 x 3,则不等式 bx2 ax 1 0 的解集为22. 解析 : 先由方程 x2 ax b 0的两根为 2 和 3 求得 a,b 后再解不等式 bx2 ax 1 0.得 112, 33.

14、 ( 广东省五校 2008 年高三上期末联考 ) 若关于 x的不等式 g(x) a2 a 1(x R)的解 集为空集，则实数 a 的取值范围是解析： g(x) a2 a 1(x R) 的解集为空集，就是 1= g(x)max0，即 0k0，1 k1 k2k若 0k1，由原不等式的解集为 x|2x ；1k2k3若 1k1 时，原不等式等价于 (x )(x 2) 0,1k2 k2 k此时恒有 2 2 k ，所以原不等式的解集为 x|x2.1 k1 k综合拔高训练6. 已知，且 ，解关于 x 的不等式： / 102 log2(ax 1) log4(4 ax ). 解：原不等式等价于1 x 1 x x

15、 x log2(ax 1)log2(4 ax),1 2log 2(ax 1) log2(4 ax)2 2 2 2 2 2 log2(ax 1)2 2 log2 (4 ax)ax 1 0(1)原不等式同解于 4 ax 0(2)7 分2(ax 1)2 4 a x(3)由得 ，1由得 2(ax )2 3ax 2 0, ax 22从而 11 时，原不等式解为 当 时，原不等式解为 0)万人进企业工作， 那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为 3000a 元( a 0)。( I )在建立加工企业后， 要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的 农

16、民的年总收入，试求 x 的取值范围；(II)在(I)的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x多大时)，能使这 100 万农民的人均年收入达到最大。解：(I)由题意得( 100-x)3000(1+2x% )100300，0 即 x2 50x0，解得 0x5，0又 x 0 0 x50；II )设这 100 万农民的人均年收入为 y 元，则 y=(100x) 3000 (1+2 x%)+3000 ax100= 60x2+3000(a+1)x+300000= 1003 2 2=5x25(a+1)2+3000+475(a+1)2(0 x 50)(i)当 025( a+1) 50，即 050，即 a 1，

17、函数 y 在( 0,50单调递增，当 x=50时， y取最大值 答：在 01时安排 50 万人进入企业工作， 才能使这 100 万人的人均年收入最大7.已知二次函数 f(x) ax2 bx c,(a,b,c R)满足：对任意实数 x，都有 f (x) x，且12当 x ( 1， 3)时，有 f (x) (x 2)2 成立。8 / 101)证明： f (2) 2;(2)若 f( 2) 0, f (x)的表达式 ;2)4a 2b c 24a 2b c 01 4a c 2b 1, b ,2c 1 4a.m1(3)设 g(x) f (x)x , x 0, )，若 g(x) 图上的点都位于直线 y 的上方，求24 实数 m的取值范围。解析：(1)由条件知f (2) 4a 2b c 2 恒成立又取 x=2 时，f(2) 4a 2b c 18(2 2)2 2与恒成立 ,f (2) 2.又 f(x) x 恒成立，即 ax2 (b 1)x c 0恒成立 .12 a 0, ( 1)2 4a(1 4a) 0 ，2111