二次函数与一元二次方程的关系课件

1、二次函数二次函数 与与 一元二次方程的关系一元二次方程的关系一、探究一、探究探究探究1、求二次函数图象、求二次函数图象y=x2-3x+2与与x轴的交轴的交点点A、B的坐标。的坐标。解：解：A、B在轴上，在轴上， 它们的纵坐标为它们的纵坐标为0， 令令y=0，则，则x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你发现方程你发现方程 的解的解x1、x2与与A、B的的坐标有什么联系？坐标有什么联系？x2-3x+2=0结论结论1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=x2-3x+2与与x轴的两个交点的横坐标。轴的两个交点的横坐标。因此，抛物因

2、此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2， 则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交与轴的两个交点坐标分别是点坐标分别是A（ ），）， B（ ）x1，0 x2，0 xOABx1x2y探究探究2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c(a0)与与X 轴的交点轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac0OXY有两个交点有两个交点只有一个交点只有一个交点没有交点没有交点探究探究2、抛物线、抛物

3、线y=ax2+bx+c(a0b2-4ac=0b2-4ac0OY有两个交点有两个交点只有一个交点只有一个交点没有交点没有交点结论结论2：抛物线抛物线y=ax2+bx+c抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的交点个数可由轴的交点个数可由一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：的根的情况说明： 1、 b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根有两个不等的实数根与与x轴有两个交点轴有两个交点相交。相交。抛物线抛物线y=ax2+bx+c 2、 b2-4ac =0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根

4、与与x轴有唯一公共点轴有唯一公共点相切（顶点）。相切（顶点）。抛物线抛物线y=ax2+bx+c 3、 b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根没有实数根与与x轴没有公共点轴没有公共点相离。相离。二、基础训练二、基础训练1、已知抛物线、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在的顶点在x轴上，则轴上，则a= ；若抛物线与；若抛物线与x轴有两个交点，则轴有两个交点，则a的范围是的范围是 ；若抛物线与坐标；若抛物线与坐标轴没有轴没有公公共点，则共点，则a的范围是的范围是 ；3、已知抛物线、已知抛物线y=x2+px+q与与x轴的两个交点为轴的两个交点为（-2，0），（），（3

5、，0），则），则p= ，q= 。2、已知抛物线、已知抛物线y=x2-3x+a+1与与x轴最多只有一轴最多只有一个交点，则个交点，则a的范围是的范围是 。提示提示（1）0，函数的图象与，函数的图象与x轴有两个交点；轴有两个交点；（2）0，函数的图象与，函数的图象与x轴有一个交点；轴有一个交点；（3）0，函数的图象与，函数的图象与x 轴没有交点。轴没有交点。9a94、判断下列各抛物线是否与、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果轴相交，如果相交，求出交点的坐标。相交，求出交点的坐标。（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+46、抛物线、抛物线y=ax2+bx

6、+c（a0）的图象全部在）的图象全部在轴下方的条件是（轴下方的条件是（ ）（A）a0 b2-4ac0（B）a0 b2-4ac0（C）a0 b2-4ac0（D）a0 b2-4ac0D能力提升能力提升证明：= = =又不论m为何值， 00，无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.24 1 (2)mm 248mm2(2)4m2(2)0m2(2)4m24.2.: m,x.yxmxm已知抛物线求证无论取何值 抛物线总与 轴有两个交点 5.5.已知二次函数已知二次函数 的图像与的图像与X X轴有两个不同的交点轴有两个不同的交点. .（1 1） 求求k k的取值范围的取值范围（2 2） 当当k k为何值时

7、，这两个交点横坐标的平方为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于和等于50.50. 121267,.xxxxkk 能力提升能力提升解：= 0k的取值为3628k解：解之得：k的取值为k的值为1.222121212()250,xxxxxx267( )2 ()50,kk 3628k97k267ykxx1.k 97k三、例题推荐三、例题推荐1、已知二次函数、已知二次函数y=x2-kx-2+k.(1)求证求证:不论不论k取何值时，这个二次函数取何值时，这个二次函数y=x2-kx-2+k与与x轴有两个不同的交点。轴有两个不同的交点。(2)如果二次函数如果二次函数y=x2-kx-2+k与轴两个交点为与轴两个

8、交点为A、B，设此抛物线与，设此抛物线与y轴的交点为轴的交点为C，当，当k为为6时时,求求SABC .2、已知抛物线、已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与）若抛物线与x轴只有一个交点，求轴只有一个交点，求m的值。的值。（2）若抛物线与直线）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，只有一个交点，求求m的值。的值。3、已知是、已知是x1、x2方程方程x2-（k-3）x+k+4=0的两的两个实根，个实根，A、B为抛物线为抛物线y= x2-（k-3）x+k+4与与x轴的两个交点，轴的两个交点，P是是y轴上异于原点的点，设轴上异于原点的点，设PAB=，PBA=，问，问、能否相等？并说能否相

9、等？并说明理由明理由.AOBPXY4、已知抛物线、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.求证求证:不任不任m为何实数为何实数,抛物线与抛物线与x轴都有两个不轴都有两个不同的交点同的交点,四、小结四、小结1、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2， 则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与与x轴的两个交点坐轴的两个交点坐标分别是标分别是A（x1，0 ），）， B（ x2，0 ）2、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式与二次三项式ax2+bx+c及二次函数及二次函数y=ax2+bx+c这三个这三个“二次二次”之间互相之

10、间互相转化转化的关系。体现了的关系。体现了数形结合数形结合的思想。的思想。什么叫方程的解，什么叫解方程？方程的解就是符合方程的未知数的值。求方程的解的过程叫做解方程。 这节课我们通过估算的方法探索方程的解的大致范围x8m110m7m6m解：解：由勾股定理可知，滑动前梯由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙子底端距墙_m _m 如果设梯子底端滑动如果设梯子底端滑动x mx m，那么，那么滑动后梯子底端距墙滑动后梯子底端距墙 m m根据题意，可得方程：根据题意，可得方程：72(X6)21026X6 1 1. .如图，一个长为如图，一个长为10m10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端的梯子斜靠在墙上，梯子的

11、顶端距地面的垂直距离为距地面的垂直距离为8m8m如果梯子的顶端下滑如果梯子的顶端下滑1m1m，那么梯，那么梯子的底端滑动多少米？子的底端滑动多少米？10m数学化 在上一节课的这个问题中，梯子底端滑动的距离在上一节课的这个问题中，梯子底端滑动的距离x(m)x(m)满足方程满足方程(x+6)(x+6)2 2+7+72 2 =10 =102 2，把这个方程化为一般形式为，把这个方程化为一般形式为 x x2 2+12x-15=0 +12x-15=0 （1 1）小明认为底端也滑动了）小明认为底端也滑动了1m1m，他的说法正确吗，他的说法正确吗? ?为什为什么么? ?（2 2）底端滑动的距离可能是）底端滑

12、动的距离可能是2m2m吗吗? ?可能是可能是3m3m吗吗? ?为什么为什么? ? 不正确，因为x=1不满足方程不正确，因为x=2，3不满足方程（3 3）你能猜出滑动距离）你能猜出滑动距离x(m)x(m)的大致的大致范围吗范围吗? ?（4 4）x x的整数部分是几的整数部分是几? ?十分位是几十分位是几? ?请同学们，自己算一算，注意组内同学交流哦！请同学们，自己算一算，注意组内同学交流哦！求x x2 2+12x-15=0+12x-15=0的近似根的近似根 由此，他猜测1x1.5进一步计算：所以1.1x1.2，由此他猜测x整数部分是1，十分位部分是1你的结果这样呢？用用“两边两边夹夹”思想解一元

13、二次方程的步骤：思想解一元二次方程的步骤：在未知数在未知数x x的取值范围内排除一部分取值；的取值范围内排除一部分取值；根据题意所列的具体情况再次进行排除；根据题意所列的具体情况再次进行排除；列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。最终得出未知数的最小取值范围或具体数据。 上述求解是利用了“两边夹”的思想2.2.一名跳水运动员进行一名跳水运动员进行1010米跳台跳水训练，在正常情况米跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面下，运动员必须在距水面5 5米以前完成规定的翻腾动作，米以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间员起跳后的运动时间t(t(秒秒) )和运动员距水面的高度和运动员距水面的高度h(h(米米) )满足关系：满足关系：h=10+2.5t-th=10+2.5t-t2 2，那么