矩阵的各种运算详细讲解

1、、矩阵的线性运算定义1设有两个- :矩阵 虫=仙） 和B=y）矩阵/与B的和记作虫+ B，规定为11+*11呵十对dtsl + 切 L注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵设矩阵 I.记,称为矩阵的负矩阵，显然有由此规定矩阵的减法为弘万*+（-罚.定义2 数与矩阵A的乘积记作丄！或仃,规定为心0沪竽字 字数与矩阵的乘积运算称为数乘运算矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算它满足下列运算规律设上二L 1都是同型矩阵，是常数，贝U小y m - J；（3）:小I （5）-二.一（7）”心（8）注：在数学中，把满足上述八

2、条规律的运算称为线性运算二、矩阵的相乘定义3设匕】时11bQ4（嗨）和厂 -万（阳山织1 巧2 巧世v n %、如参考材料矩阵与矩阵丄的乘积记作jL，规定为其中.记号丄常读作左乘丄或丄右乘.注：只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能进行乘法运算若J|/，贝U矩阵/的元素:;即为矩阵的第.行元素与矩阵.的第列对应元素乘 积的和即矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的):(1)(2)(3)(X5)C= ABQ；U + B)CC+BG C(A+B)=CA+CBf k(AF)= (kA)B=kB).(4)注：矩阵的乘法一般不满足交换律=41例如，设吋;4、-3，则4、r24：詔

3、-33 心,即上IP U.BA而-r.曰广2 广乙2存巾片，7 -2J A于是且上1 L从上例还可看出：两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵或口 L_.此外，矩阵乘法一般也不满足消去律，即不能从丨；-1必然推出_例如，设,故不能从.门-.必然推出 .则但!定义4qo2Y1Mb1 V% 则%列 %111务紗矩阵的转置满足以下运算规律（假设运算都是可行的）:二v 一書五、方阵的幕定义5设方阵匕，规定He,八乔炳自然数J称为上的卜次幕.方阵的幕满足以下运算规律 （假设运算都是可行的）：注：一般地，亠-工： 为自然数命题3设均为n阶矩阵，- 则有为自然数，反之不 成立。六、方阵的行列式定义7由：阶方阵的元素

4、所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵的行列式, 记作!或：二_注：方阵与行列式是两个不同的概念，.阶方阵是个数按一定方式排成的数表，而.阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数值（实数或复数）.方阵上的行列式!满足以下运算规律（设为阶方阵，-为常数）： 1I.-进一步恥/七、对称矩阵定义8设为阶方阵,如果J 即 则称为对称矩阵.显然，对称矩阵的元素关于主对角线对称.例如均为对称矩阵如果-二则称为反对称矩阵八、共轭矩阵定义9设为复（数）矩阵，记其中亠表示t的共轭复数，称几为A的共轭矩阵共轭矩阵满足以下运算规律 （设，为复矩阵，为复数，且运算都是可行的）:二!.!,.（3）口 一二

5、.例题选讲：矩阵的线性运算C123432-PA=031,B5-301例1 （讲义例1)已知D3J2-5ojq-12rl5-2157B=5197例2 （讲义例2)已知462-19且，求二上._ 求02a0n阶数量矩阵3、2求一上设，：。A是一个1.矩阵，B是一.矩阵，因此AB有（讲义例3）意义，BA也有意义；但rpAB = iX 0, 4) 1 =lxl+Oxl+4xQ=l（这种记法表示主对角线以外没有注明的元素均为零），则1x1 1x0 lx410 4&4 =1(1, 0, 4)=1x1 1x0 1x41 0 4卫xl 0x0 0x4丿j o o丿侔1H 二例5设，B=(、f+%=ax +Aj

6、例6 （讲义例4）某地区有四个工厂i、n、川、w ,生产甲乙、丙三种产品，矩阵A其中，甲乙丙单位价格述丸空4;牡1邓） 是第.个工厂生产第讪甲32 乙 III利；总收入卜种产品的数量总利润1 及 分别表示一年中各工厂生产各种产品的数量，矩阵B表示各种产品的单位价格 （元）及单位利润 （元）,矩阵C表示各工厂的总收入及总利润是第！种产品的单位价格及单位利润，及.一 -，; ；| 分别是第.个工厂生产三种产品的总收入及总利润则矩阵 JLB.C 的元素之间有下列关系：如如+ 口丄妇】+ 曲】 +如如+勺為1碍卫* +刎為】+ asAi04也11十知巧1 +ff4331总收入其中 I ； - 1 一

7、.知力13 +如站+ 少却CL1 612+如站+金应誥Cai Cfn勺少12 +眄篦+ 3332C3l C32牛少口 +內心2 +盘4珈01仏总利润W23肋山），即C=AB.I1om00100001例7 （讲义例5）求与矩阵J0丿可交换的一切矩阵例8 （讲义例6）证明：如果 丄-】- 则有例9 （讲义例7)(Jh 3)C =。(加 B),(2 P1 2解矩阵方程（娜心5）.r 2c4丿X为二阶矩阵1-12、f 120-13Ar =205A =-114-11-3例10 （1）设5- 3b，则34b(2)设3,一 L，则ll例11 （讲义例8）已知（2( 7X例12（讲义例9)设0A =2105：例13设32T丿J 21AB =-451松9丿又1 0 -1-2 1 02 1 0=-2 B =03 13 2 -10 0 2因此地-I-：例14 （讲义例10）设A与B是两个n阶反对称矩阵，证