圆锥曲线轨迹方程经典例题

1、轨迹方程经典例题一、 轨迹为圆的例题：1、 必修2课本p124b组2：长为2a的线段的两个端点在轴和轴上移动，求线段ab的中点m的轨迹方程：必修2课本p124b组：已知m与两个定点（0,0），a（3,0）的距离之比为，求点m的轨迹方程;（一般地：必修2课本p144b组2：已知点m(,)与两个定点的距离之比为一个常数；讨论点m(,)的轨迹方程（分=1，与1进行讨论）2、 必修2课本p122例5：线段ab的端点b的坐标是（4,3），端点a在圆上运动，求ab的中点m的轨迹。（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为。 （1）求圆心的的轨迹方程；（2）

2、若点到直线的距离为，求圆的方程。如图所示，已知p(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，a、b是圆上两动点，且满足apb=90，求矩形apbq的顶点q的轨迹方程.解：设ab的中点为r，坐标为(x,y)，则在rtabp中，|ar|=|pr|.又因为r是弦ab的中点，依垂径定理：在rtoar中，|ar|2=|ao|2|or|2=36(x2+y2)又|ar|=|pr|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点r在一个圆上，而当r在此圆上运动时，q点即在所求的轨迹上运动.设q(x,y)，r(x1,y1)，因为r是pq的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,

3、得10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系中，点，直线设圆的半径为，圆心在上 （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围（2013陕西卷理20）已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为8.（1） 求动圆圆心的轨迹的方程；（2） 已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，若轴是的角平分线，证明直线过定点。二、 椭圆类型：3、 定义法：（选修2-1p50第3题）点m(,)与定点f(2，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点m的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)讨论：当这个比例常数不是小于1，而是大于1，或等

4、于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）4、 圆锥曲线第一定义：（选修2-1p50第2题）一个动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆的圆心轨迹方程。5、 圆锥曲线第一定义：点m()圆上的一个动点, 点（1,0）为定点。线段的垂直平分线与相交于点q(,),求点q的轨迹方程;(注意点（1,0）在圆内)6、 其他形式：（选修2-1p50例3）设点a,b的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线am,bm相交于点m，且他们的斜率的乘积为，求点m的轨迹方程:（是一个椭圆）（讨论当他们的斜率的乘积为时可以得到双曲线）（2013新课标1卷20）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。 （1）求的方

5、程； （2）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求（2013陕西卷文20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。（1）求动点的轨迹的方程（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率。三、 双曲线类型：8、圆锥曲线第一定义：点m()圆上的一个动点, 点（1,0）为定点。线段的垂直平分线与相交于点q(,),求点q的轨迹方程;(注意点（1,0）在圆外)定义法：（选修2-1p59例5）点m(,)与定点f(5，0)的距离和它到定直线的距离之比为，求点m的轨迹方程.(圆锥曲线第二定义)四、 抛物线类型：10、定义法：（选修2-1）点m(,)与定点f(2，0)的距离和

6、它到定直线的距离相等，求点m的轨迹方程。（或：点m(,)与定点f(2，0)的距离比它到定直线的距离小1，求点m的轨迹方程。）（2013陕西卷文20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍。 （1）求动点的轨迹的方程（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率已知三点，曲线上任意一点满足。（1）求曲线的方程；）在直角坐标系xoy中，曲线c1的点均在c2：（x-5）2y2=9外，且对c1上任意一点m，m到直线x=2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值.（）求曲线c1的方程；（湖北）设a是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点a与x轴垂直的直线，d是直线i与x轴的交点，点m在直线

7、l上，且满足丨dm丨=m丨da丨（m0,且m1）。当点a在圆上运动时，记点m的轨迹为曲线c。（i）求曲线c的方程，判断曲线c为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（辽宁）如图，椭圆：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于a，b，c，d四点。 ()求直线与直线交点m的轨迹方程; （四川）如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为。（）求轨迹的方程；（）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。1.()已知椭圆的焦点是f1、f2，p是椭圆上的一个动点，如果延长f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那么动点q的轨迹是( ) a.圆b.椭圆 c.双曲线的一支d.抛物线2.()设a

8、1、a2是椭圆=1的长轴两个端点，p1、p2是垂直于a1a2的弦的端点，则直线a1p1与a2p2交点的轨迹方程为( ) a.b. c.d.二、填空题3.()abc中，a为动点，b、c为定点，b(,0),c(,0)，且满足条件sincsinb=sina,则动点a的轨迹方程为_.4.()高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为a(5，0)、b(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_.三、解答题5.()已知a、b、c是直线l上的三点，且|ab|=|bc|=6，o切直线l于点a，又过b、c作o异于l的两切线，设这两切线交于点p，求点

9、p的轨迹方程.6.()双曲线=1的实轴为a1a2，点p是双曲线上的一个动点，引a1qa1p，a2qa2p，a1q与a2q的交点为q，求q点的轨迹方程.8.()已知椭圆=1(ab0),点p为其上一点，f1、f2为椭圆的焦点，f1pf2的外角平分线为l，点f2关于l的对称点为q，f2q交l于点r.(1)当p点在椭圆上运动时，求r形成的轨迹方程；(2)设点r形成的曲线为c，直线l：y=k(x+a)与曲线c相交于a、b两点，当aob的面积取得最大值时，求k的值.一、1.解析：|pf1|+|pf2|=2a,|pq|=|pf2|,|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a,即|f1q|=2a,动点

10、q到定点f1的距离等于定长2a,故动点q的轨迹是圆.2.解析：设交点p(x,y）,a1(3,0),a2(3,0),p1(x0,y0),p2(x0,y0)a1、p1、p共线，a2、p2、p共线，解得x0=二、3.解析：由sincsinb=sina,得cb=a,应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.答案：4.解析：设p(x,y），依题意有,化简得p点轨迹方程为4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：设过b、c异于l的两切线分别切o于d、e两点，两切线交于点p.由切线的性质知：|ba|=|bd|，|pd|=|pe|，|ca|=|ce|，故|pb|+|pc|

11、=|bd|+|pd|+|pc|=|ba|+|pe|+|pc|=|ba|+|ce|=|ab|+|ca|=6+12=186=|bc|，故由椭圆定义知，点p的轨迹是以b、c为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以bc的中点为原点，建立坐标系，可求得动点p的轨迹方程为=1(y0)6.解：设p(x0,y0）(xa),q(x,y).a1(a,0),a2(a,0).由条件而点p(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化简得q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(xa).8.解：(1)点f2关于l的对称点为q，连接pq，f2pr=qpr，|f2r|=|qr

12、|，|pq|=|pf2|又因为l为f1pf2外角的平分线，故点f1、p、q在同一直线上，设存在r(x0,y0）,q(x1,y1),f1(c,0),f2(c,0).|f1q|=|f2p|+|pq|=|f1p|+|pf2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故r的轨迹方程为：x2+y2=a2(y0)(2)如右图，saob=|oa|ob|sinaob=sinaob当aob=90时，saob最大值为a2.此时弦心距|oc|=.在rtaoc中，aoc=45，专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1如

13、图1，中，已知，点在轴上方运动，且，则顶点的轨迹方程是图1 图2 图3 图42如图2，若圆：上的动点与点连线的垂直平分线交于点，则的轨迹方程是3如图3，已知点，点在圆上运动，的平分线交于，则的轨迹方程是4与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为5如图4，垂直于轴的直线与轴及抛物线分别交于点、，点在轴上，且点满足，则线段的中点的轨迹方程是几种常见求轨迹方程的方法：1直接法：由题设所给（或通过分析图形的几何性质而得出）的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法直接法求轨迹方程的一般步骤：建系设点列式代换化简检验；【例1】（1）求和定圆的圆周的距离等

14、于的动点的轨迹方程；（2）过点作圆：的割线，求割线被圆截得弦的中点的轨迹解：（1）设动点，则有或即或故所求动点的轨迹方程为或（2）设弦的中点为，连结，则，化简得：其轨迹是以为直径的圆在圆内的一段弧（不含端点）【例2】已知直角坐标平面上一点和圆：，动点到圆的切线长等于圆的半径与的和求动点的轨迹方程，并说明它表示什么曲线解：如图，设切圆于，又圆的半径，由已知设，则，即可化为故所求的轨迹是以点为中心，实轴在轴上的双曲线的右支，顶点为，如图【例4】已知定圆的半径为，定点与圆的圆心的距离为又一动圆过定点，且与定圆相切求动圆圆心的轨迹方程解：以所在的直线为轴，以的中点为原点建立坐标系，如图当动圆与定圆外切

15、时，；当动圆与定圆外切时，由双曲线的定义知动圆圆心的轨迹应是以、为两焦点的双曲线（外切时为右支，内切时为左支）显然，又，故所以所求的点轨迹方程是：3动点转移法：若动点随已知曲线上的点的变动而变动，且、可用、表示，则将点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点的轨迹方程这种方法称为动点转移法（或代换法或相关点法）【例5】已知定点、为抛物线，上任意一点，点在线段的中点，当点在抛物线上变动时，求点的轨迹方程解：设点，且设点，则有点是线段的中点由中点坐标公式得：，将此式代入中，并整理得：，即为所求轨迹方程它是一条抛物线4待定系数法：当动点的轨迹是确定的某种曲线时，设出这种曲线的方程，然后列方程，求出所设的参

16、数，进而求出方程如求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求【例7】若抛物线和以坐标轴为对称轴、实轴在轴上的双曲线仅有两个公共点，又直线被双曲线截得的线段长等于，求此双曲线方程解：设所求双曲线方程为，将代入整理得：抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程应有等根，即由和得：由弦长公式得：即由得：，双曲线的方程是5参数法：当动点的坐标、之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点的坐标、，从而动点轨迹的参数方程消去参数，便可得到动点的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有的范围确定出、的范围【例8】抛物线的焦点为，过点作直线交

17、抛物线于不同两点、，以、为邻边作平行四边形，求顶点的轨迹方程解：设，：，中点为，与联立得：，为中点，消得：巩固练习：1平面上和两相交的定圆（半径不等）同时相外切的动圆圆心的轨为（）（a）椭圆的一部分（b）椭圆（c）双曲线的一部分（d）双曲线2已知动点与定点的距离比动点到轴的距离大，则动点的轨迹（）（a）抛物线（b）抛物线的一部分（c）抛物线和一射线（d）抛物线和一直线3已知定直线和外一点，过与相切的圆的圆心轨迹是（）（a）抛物线（b）双曲线（c）椭圆（d）直线4一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线的一支（d）抛物线5已知椭圆的焦点是、是椭圆上的一个动点如果延

18、长到，使得，那么动点的轨迹是（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线的一支（d）抛物线6已知点、，动点满足，则点的轨迹是（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线7与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）（a）（b）和（c） （d）和8过抛物线的焦点作直线与此抛物线相交于两点、，则线段中点的轨迹方程为（）（a）（b）（c）（d）9过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于a、b两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）（a）（b）（c）（d）10已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（）（a）（b）（c）（d）11与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是（）（a）（b）（c）（d）12设为双曲线上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是13已知，是圆：（为圆心）上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为14倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则线段中点的轨迹方程是15求焦点在坐标轴上，中心在原点且经过和两点的椭圆方程16已知双曲线