(完整word版)小学奥数最大与最小教师版.doc

1、第七讲：最大与最小模块一、数论中的极端思想【例1】 1 8 这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？【解析】 8531 和 7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是可确定十位和个位数.8， 7，百位分别是85，另一个数的前两位是6，5。两数76。同理【巩固】 两个自然数的和是【解析】 将两个自然数的和为15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？15 的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7 种情况：15=1+14，1 14=14；15=2+13，2 1

2、3=26；15=3+12，3 12=36；15=4+11，4 11=44；15=5+10，5 10=50；15=6+9， 6 9=54；15=7+8， 7 8=56。由此可知把15 分成 7 与 8 之和，这两数的乘积最大。结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大 .【巩固】两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？【解析】 48 的约数从小到大依次是1， 2， 3， 4， 6， 8，12， 16，24， 48。所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5 种情况：48=148， 1+48=49；48=224，

3、2+24=26；48=316， 3+16=19；48=412， 4+12=16；48=68， 6+8=14。两个因数之和最小的是6+8=14。结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。【例2】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如 257， 1459 等等，这类数中最大的自然数是多少？【解析】 要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故 10112358 满足条件 如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取1与 0【例3】有一类自然数，它的各个数位

4、上的数字之和为2003 ，那么这类自然数中最小的是几？【解析】 一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上的和固定为2003 ，要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取9，而 2003 9=2225，所以满足条件的最小自然数为：599.9222 个9【例4】将前 100 个自然数依次无间隔地写成一个192 位数： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100从中划去100 个数字，那么剩下的92 位数最大是多少？最小是多少？【解析】 要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为 159 中有 109 个数码，其中有6 个 9，要

5、想左边保留 6 个 9，必须划掉1 59 中的 109-6 103（个）数码，剩下的数码只有192103=89（个），不合题意， 所以左边只能保留5 个 9，即保留 1 49 中的 5 个 9，划掉 1 49 中其余的84 个数码。然后，在后面再划掉16 个数码，尽量保留大数（见下图）：所求最大数是999997859606199100。同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。 2 50 中有 90 个数码，其中有5 个 0，划掉其余90-5=85 （个）数码，然后在后面再划掉15 个数码，尽量保留小数（见下图）：所求最小数是100000123406162 99100。【例5】

6、 把 17 分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？【解析】 假设分成的自然数中有 1，a 是分成的另一个自然数，因为1 a 1+a，也就是说，将 1+a 作为分成的一个自然数要比分成1 和 a 两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自然数中有大于 4 的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如， 5=2+32 3，8=3+5 3 5。也就是说，只要有大于4 的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4 的数。如果分成的自然数中有4，因为 4=2+2=22，所以可以将 4分成两个 2。由上面的分析得到，分成的自然数中只有2

7、和 3 两种。因为 2+2+2=6， 22 2=8，3+3=6，3 3=9，说明虽然三个 2 与两个 3 的和都是6，但两个 3 的乘积大于三个2 的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是 3。由此得到，将17 分为五个 3 与一个 2 时乘积最大，为 3 3 3 3 32=486。结论：整数分拆的原则：不拆1，少拆 2，多拆 3。【巩固】把 14 拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？【解析】 14 拆成 3、3、 3、 3、 2 时，积为3 3 3 3 2=162 最大 .【例6】某国家的货币中有1 元、 3 元、 5 元、 7 元、 9 元五种，为了能支付

8、1 元、 2 元100 元的钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？【解析】 为了使货币越少越好，那么9 元的货币应该尽量多才行。当有10 张 9 元时，容易看出1、 1、 3、5 这四张加上后就可以满足条件。当9 元的货币超过11 张时，找不到比14 张更少的方案。当9元的货币少于10 张时，至少有19 元需要由5 元以下的货币构成，且1 元的货币至少2 张，这样也找不到比14 张更少的方案。综上分析可以知道，最少需要10 张 9 元的、 2 张 1 元的、 1 张 3元的、 1 张 5 元的，共14 张货币。【例 7】 在五位数 22576 的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六

9、位数中最大的是几？【解析】 225776【巩固】 在六位数 865473 的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是几？【解析】 8654473.【例8】设自然数n 有下列性质：从1、2n 中任取 50 个不同的数，其中必有两数之差等于7，这样的 n 最大不能超过多少？【解析】 当 n=98 时，将 1、298 按每组中两数的差为7 的规则分组：1 ，8 、2 、9 、 7 ，14 、15 ，2290 ，97 、91 、98 。一共有 49 组，所以当任取50 个数时，必有两个数在同一组，他们的差等于7。当 n=99 时，取上面每组中的前一个数，即1、 27、 1521、 29

10、35、4349、5763、 7177、 8591 和 99 一共是 50 个数，而它们中任2 个的差不为7。因此n 最大不能超过98。【例9】 在 10， 9，8，7，6，5，4，3，2， 1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求： （1）算式的结果等于 37；（ 2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？【解析】 把 10 个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2 倍。因为55-37 18，所以我们变成减数的这些数之和是182=

11、9。对于大于2 的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好 （不包括 1）。9 最多可拆成三数之和2 3 4=9，因此这些减数的最大乘积是234 24，添上加、减号的算式是：10 987 65-4-3-2 137。模块二、智巧趣题中的极端思想【例10】 99 个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果问：这群小朋友最多有几位?【解析】 1+2+3+13=91 99， 1+2+3+14=10599，说明若13 位各分得1， 2，3， ， 13 个苹果，未分完 99 个，若 14 位各分得 1， 2，3， ， 14

12、 个苹果，则超出99 个因 91+8=99，在 13 位上述分法中若把剩下的8 个苹果分别加到后8 位人上，就可得合题意的一个分法：13 人依次分 1，2，3， 4， 5，7， 8， 9，lO ， 11， 12， 13， 14 个所以最多有13 位小朋友 ( 注： 13 人的分法不唯一 )【例11】（第四届希望杯1 试）一位工人要将一批货物运上山，假定运了5 次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的3 多一些，比 3 少一些。按这样的运法，他运完这批货物最少共要运54次，最多共要运次。【解析】 这道题目用到了极值判断法，体会极值判断法：假定 5 次运的恰好等于3 ，则每一次最少运35= 3

13、5525假定 5 次运的恰好等于3 ，则每一次最多运35= 34420，所以最多运1 3 =819次；253，所以最少运1 3 =62 7次.203【例12】某学校，星期一有15 名学生迟到，星期二有12 名学生迟到，星期三有9 名学生迟到，如果有22 名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？【解析】 三天都迟到的要尽量多，则将迟到的22 人次分为仅迟到一次和三天都迟到的可求出三天都迟到的学生最多有(15+12+9-22) 2=7( 人 )【巩固】某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得分198，最低得分169，没有得 193 分、 185 分和 1

14、77 分，并且至少有6 人得同一分数，参加测试的至少多少人？【解析】 得 分数共有198-169+1-3=27(种 ) ，当只有6 个人得分相同时，参加测试的人最少，共有27+6-1=32( 人 ) 【例13】 149 位议员中选举一位议长，每人可投一票候选人是A，B，C 三人开票中途，A 已得 45 票，B 已得 20 票， C 已得 35 票如果票数最多者当选，那么A 至少再有多少票才能一定当选?【解析】 45+20+35=100，还有 149-100=49( 票 ) 45-35=10 ，如果 49 票中有 10 票都给 C，49-10=39 ，那么A 至少还要有20 票才能当选【例14】

15、如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学生上车第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半车到学校时，车上最少有多少学生 ?【解析】 因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1 个学生上车 假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2， 4，8， 16个因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31( 人 ) ，很明显，如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于31 个所以，最少有31 个学生【例15】某公共汽车从起点开往终点站，中途共有15 个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各

16、有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？【解析】 （法 1）：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：由上表可见，车上最多有56 人，这就是说至少应有 56 个座位。本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。（法 2）：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1 人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此：车开出时人

17、数 =（以前的站数 +1）以后站数 =站号 （ 15-站号）。因此只要比较下列数的大小：114，213， 312， 411， 510，69， 78，87， 96， 105，114，123， 132， 141 .由这些数，得知78 和 87 是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56 人，所以它应有56 个座位 .此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值； 或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。【例16】某班学生 50 人，年龄均为整数， 年龄的平均值为12.2 ，已知班上任意两人的

18、年龄差都不超过3那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?【解析】 因为全班 50 人的年龄总和比平均12 岁的年龄总和多(12.2-12)50=10( 岁 ) ，所以年龄最大的能是 12+3=15( 岁 ) 如果有人年龄达到15 岁，那么剩下的49 人的年龄和比平均12 岁的年龄和多10 3=7( 岁) ，所以最多有7 人的年龄大于12 岁，小于15 岁【例17】若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有 22 人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多

19、 2 人，至少有 1 名男老师，那么在这 22 人中，爸爸有多少人？【解析】 家长比老师多，所以老师少于22 2=11 人，即不超过10 人；相应的，家长就不少于12 人。在至少 12 个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12 2=6 人，即不少于7 人。因为女老师比妈妈多 2 人，所以女老师不少于9 人。但老师最多就10 个，并且还至少有1 个男老师，所以老师必定是9 个女老师和1 个男老师，共10 个。那么，在12 个家长中，就有7 个是妈妈。所以，爸爸有 12-7=5 人。【例 18】现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么

20、在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩 34 个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的 2 倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？【解析】 先每堆拿出一个， 这样第一堆就是第二堆的 3 倍：“如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的 2 倍”，第三堆最少剩一个，那么第一堆的每一份就是： （ 34-2 ）2=16，即三堆分别有： 16 3+1=49，16+1=17 和 16 个，总数： 49+17+16=82 个；如果第三堆剩2 个，那么第一堆的每一份为：（34-4 ） 2=15，各堆分别为： 15 3

21、+1=46， 15+1=16 和 14 个，总数减少 . 显然第三堆留下的越多，第一堆的每一份就越少，总数越少 . 所以原来三堆苹果之和的最大值是82.【例19】如图，小明要从A 走到 B，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数请问小明最快需几分钟?【解析】 从 A 到 B 要想最快， 肯定不能走回头路，路线分为过C 点和不过 C点两类不过 C点有两条路：第一条是 15+7+9+18=49( 分钟 ) ；第二条是 14+6+17+12=49( 分钟 ) ；两条路所用时间相同经过C 点的路线分为两段，A C、 C B同上面一样：A C： 14+13=27(分钟 ) ； 15+11=26(分钟

22、) C B： 10+12=22(分钟 ) ；5+18=23(分钟 ) 在分析已知条件时。很可能会出现不同情况和不同结果，而且不好推理说明谁是极端情形，那就应该列举比较所以从A CB 最少用 48 分钟，比前面不过C 的少用 1 分钟【例20】阶梯教室座位有10 排，每排有 16 个座位， 当有 150 个人就座， 某些排坐着的人数就一样多我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？【解析】 至少有 4 排如果10 排人数各不相同，那么最多坐：16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115( 人 ) ；如果最多有2 排人数一样，那么最多坐：(16+15+14+13+12

23、)2=140( 人 ) ；如果最多有3 排人数一样，那么最多坐： (16+15+14) 3+13=148( 人 ) ；如果最多有4 排人数一样，那么至多坐：(16+15) 4+142 =152( 人 ) 148150152， 所以，至少有4 排课后练习练习 1.如果一个自然数 N的各个位上的数字和是1996 ，那么这个自然数最小是几？【解析】 1996 9=2217，N= 799.9 .221个9练习 2.有四个数，其中每三个数的和分别是45， 46， 49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？【解析】 把 4 个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+5

24、2） 3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-52=12 。3小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的975 个人若用电话联系，每通知1 个人需 1 分钟，而见面可一次通知 60 个人，但需 10 分钟，问：完成传达任务最少需多少分钟?( 每人均有电话 )【解析】 应该充分发挥每个人的作用， 即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人因此，可以先花 10分钟安排一次见面通知，然后凡被通知的人再不断打电话，到第14分钟时共可通知：(1+60) 2222 1=975( 人 ) ，因此最少用 14 分钟练习 3.当 A+B+C 10 时(A 、 B、 C 是非零自然数 ) 。

25、 A B C 的最大值是，最小值是。【解析】 当为 3+3+4 时有 AB C 的最大值，即为3 34 36；当为 1+1+8 时有 AB C 的最小值，即为1 18 8。练习 4.要砌一个面积为 72 米 2 的长方形猪圈， 长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？【解析】 将 72 分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9-8=1 。，猪圈围墙长 9 米、宽 8 米时，围墙总长最少，为（ 8+9） 2=34（米） .练习 5.公园里有一排彩旗，按 3 面黄旗、 2 面红旗、 4 面粉旗的顺序排列，小红看到这排旗的尽头是一面粉旗已知这排旗不超过 200 面，这

26、排旗子最多有多少面 ?【解析】 旗 子排列是9 面一循环，关键在于最后几面旗子，如果最后四面都能是粉旗那就好了2009=222，所以最多可以出现200-2=198 面旗子，共22 个循环练习 6.有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60 块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？【解析】 最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数，故不小于613= 20 1 ，即它不小于21从而四袋糖3总和不小于21 十 61=82( 块 ) 比如四袋糖数量分别为21， 21， 20， 20 即可月测备选测试 1、比较下面两个乘积的大小：a=57128463 87596512， b=57128460 87596515

27、.【解析】 对于 a， b 两个积，它们都是8 位数乘以8 位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8 位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比 57128460 多 3，87596512 比 87596515 少 3，所以它们的两因数之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515 。因为a 的两个因数之差小于b 的两个因数之差，根据上题结论，可得ab测试 2、将前100 个自然数依次无间隔地写成一个192 位数：从中划去170 个数字，剩下的数字形成一个22 位数，这个22【解析】 在前 100 个自

28、然数中，共有20 个 9，再保留后面的“1234567891011129899100位数最大是多少？最小是多少？10”，即得到最大数：9999999100（20个 9）；最小数的第一位是“ 1”， 再保留 1090 中的 9 个“ 0”， 再在 91 100 中留下 12 个尽量小的数，即得最小数： 1000000000123456789100 .测试 3、（第一届希望杯1 试）一艘轮船往返于A、B 码头之间，它在静水中船速不变，当河水流速增加时，该船往返一次所有时间比河水流速增加前所用时间_ ( 填“多”或“少”)【解析】 极限判断，当水速为10，船速是 20 时，我们可以往来A，B 两地，当河水速度增加时，比如增加到 20，这样逆水时，船速=水速，永远到不了B 地，所以时间变多了。测试 4 冬季运动会共有58 面金牌，至今A 队已得 lO 面， B 队已得 11 面， C 队已得 13 面如果A 队要想金牌数居第一位，A 队至少还要得多少面金牌?【解析】 10+ll+13=34 还有 58-34=24( 面 ) 可争夺 A 队要再得