西电信号与系统第四章PPTpart1

1、Xidian University, ICIE. All Rights Reserved信号与系统信号与系统Signals and Systems西安电子科技大学西安电子科技大学Xidian University, Xian China国家精品课程国家精品课程, ,国家精品资源共享课国家精品资源共享课1Xidian University, ICIE. All Rights Reserved第四章第四章 傅里叶变换与傅里叶变换与频域分析频域分析4.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数Z4.1矢量的正交分解矢量的正交分解Z4.2信号的正交分解信号的正交分解Z4.3帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理4

2、.24.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数Z4.4周期周期信号三角形式的信号三角形式的傅里叶级数傅里叶级数Z4.5周期周期信号波形的对称性和谐波特性信号波形的对称性和谐波特性Z4.6周期周期信号指数形式的信号指数形式的傅里叶级数傅里叶级数Z4.7两种傅里叶级数展开两种傅里叶级数展开形式形式的关系的关系4.34.3周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点Z4.8周期信号的频谱周期信号的频谱Z4.9单边谱和双边谱的关系单边谱和双边谱的关系Z4.10周期周期矩形脉冲信号的频谱和特点矩形脉冲信号的频谱和特点Z4.11周期周期信号的信号的平均功率平均功率帕斯瓦尔帕斯瓦尔恒等式恒等式Z4.12应用

3、应用案例：案例：DC-to-AC转换器转换器4.44.4非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换Z4.13频谱频谱密度函数密度函数Z4.14傅里叶傅里叶正反变换的定义正反变换的定义Z4.15常用常用信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换2Xidian University, ICIE. All Rights Reserved第四章第四章 傅里叶变换与傅里叶变换与频域分析频域分析4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质Z4.16线性线性Z4.17奇偶性奇偶性Z4.18对称性对称性Z4.19尺度变换特性尺度变换特性Z4.20时移特性时移特性Z4.21频移特性频移特性 Z4.22卷积定理卷

4、积定理Z4.23时域微积分特性时域微积分特性Z4.24频域微积分特性频域微积分特性 Z4.25相关定理相关定理4.64.6能量谱和功率谱能量谱和功率谱Z4.26能量谱能量谱Z4.27功率谱功率谱Z4.28*应用应用案例：案例：白噪声功率谱密度的估计白噪声功率谱密度的估计4.74.7周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换Z4.29周期周期信号的傅里叶变换信号的傅里叶变换Z4.30周期信号傅里叶级数周期信号傅里叶级数与与傅里叶变换的傅里叶变换的关系关系3Xidian University, ICIE. All Rights Reserved第四章第四章 傅里叶变换与傅里叶变换与频域分析频域分析4

5、.8LTI4.8LTI系统的频域分析系统的频域分析Z4.31基本信号基本信号ejt作用于作用于LTI系统的响应系统的响应Z4.32一般信号一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应Z4.33傅里叶变换分析法傅里叶变换分析法Z4.34傅里叶级数分析法傅里叶级数分析法Z4.35频率响应函数频率响应函数Z4.36Matlab求解频率响应求解频率响应Z4.37无无失真失真传输传输Z4.38理想理想低通滤波器低通滤波器Z4.39应用应用案例：二次抑制载波振幅调制接收系统案例：二次抑制载波振幅调制接收系统Z4.40*应用案例：雷达测距系统应用案例：雷达测距系统4.94.9取样定理取样定理Z4.

6、41冲激冲激取样取样Z4.42时域取样时域取样定理定理Z4.43频域取样定理频域取样定理Z4.44应用应用案例：案例：Matlab实现实现Sa信号的采样和恢复信号的采样和恢复Z4.45*应用应用案例：数字录音系统案例：数字录音系统4Xidian University, ICIE. All Rights Reserved第四章第四章 傅里叶变换与傅里叶变换与频域分析频域分析4.104.10模拟滤波器模拟滤波器Z4.46模拟模拟滤波器的概念滤波器的概念Z4.47Matlab设计巴特沃斯低通滤波器设计巴特沃斯低通滤波器Z4.48*切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器4.114.11傅里叶变换在通信系统中的应

7、用傅里叶变换在通信系统中的应用Z4.49载波载波抑制双边带调制抑制双边带调制Z4.50幅度幅度调制调制Z4.51*单边带调制单边带调制Z4.52频频分多路复用分多路复用Z4.53*脉冲幅值调制脉冲幅值调制Z4.54*时分多路复用时分多路复用Z4.55*通信中的多址技术通信中的多址技术5Xidian University, ICIE. All Rights Reserved 思考思考问题：问题：*为什么要引入频域来分析问题？为什么要引入频域来分析问题？*对对系统进行频域分析的基本方法是什么？系统进行频域分析的基本方法是什么？ *频域分析频域分析与时域分析相比与时域分析相比优点优点有哪些有哪些？知

8、识点知识点z4.0第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析6Xidian University, ICIE. All Rights Reserved第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析4.0引言引言7Xidian University, ICIE. All Rights Reserved案例：案例：信号的通信传输信号的通信传输过程过程（调制解调）（调制解调）第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析4.0引言引言8Xidian University, ICIE. All Rights Reserved时域分析时域分析的的要点：要点：以以冲激函数冲激函

9、数为为基本信号基本信号，任意输入，任意输入信号可分解为一系列信号可分解为一系列冲激函数；而冲激函数；而yzs(t) = h(t)*f(t)。第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析4.0引言引言9Xidian University, ICIE. All Rights Reserved 本章系统频域分析法的要点：以本章系统频域分析法的要点：以正弦信号正弦信号和和虚指数虚指数信号信号为为基本信号基本信号，将任意输入信号分解为一系列，将任意输入信号分解为一系列不同频率不同频率的的正弦信号或虚指数信号之和，再利用正弦信号或虚指数信号之和，再利用LTI性质求出系统的性质求出系统的响应。这里

10、用于系统分析的独立变量是响应。这里用于系统分析的独立变量是频率频率，分析是在，分析是在频率空间进行的，故称为频率空间进行的，故称为频率域分析频率域分析，简称，简称频域分析频域分析。 第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析4.0引言引言10Xidian University, ICIE. All Rights Reserved主要内容：主要内容：1.矢量正交、正交矢量集的矢量正交、正交矢量集的定义定义2.矢量的正交分解矢量的正交分解基本要求：基本要求：1.掌握矢量正交、正交矢量集和矢量正交分解的基本概念掌握矢量正交、正交矢量集和矢量正交分解的基本概念2.了解矢量正交分解对信号正交

11、分解的启示了解矢量正交分解对信号正交分解的启示知识点知识点Z4.1矢量的正交分解矢量的正交分解4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析11Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析1.矢量正交矢量正交Z4.1 矢量的正交矢量的正交分解分解两矢量两矢量V1与与V2正交时的夹角为正交时的夹角为90，不难得到两正交矢量不难得到两正交矢量的的内积为内积为零零， 即即 1212cos900V VVV 2.正交

12、正交矢量集矢量集: 由由两两正交的矢量组成的矢量两两正交的矢量组成的矢量集合。集合。12Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析cos1212VVc112121222222coscosVVVV VcVVVV V 3. 非正交矢量的近似表示及误差非正交矢量的近似表示及误差 用与用与V2成比例的矢量成比例的矢量c12V2近似地表示近似地表示V1，则，则误差矢量误差矢量1122eVVc V显然，当两矢量显然，当两矢量V1与与V2正交正交时，时，c12=0，即

13、，即V1V2=0。 1122Vc V13Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析4.矢量正交分解：矢量正交分解： 任意任意N维矢量可由维矢量可由N维正交坐标系表示。维正交坐标系表示。111111222222coscosVV VcVV VVV VcVV V 111111222222333333coscoscosVV VcVV VVV VcVV VVV VcVV V 14Xidian University, ICIE. All Rights Reserve

14、d矢量矢量空间正交分解的概念可推广到空间正交分解的概念可推广到信号空间信号空间：在信号空：在信号空间找到若干个间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，使得信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。 推广推广到到n维维空间空间:n维空间的任一矢量维空间的任一矢量V，可以精确地，可以精确地表示表示为为n个正交矢量的线性组合，个正交矢量的线性组合， 即即 1122rrnnVc Vc Vc Vc V式中，式中，ViVj=0(ij)，第，第r个分量的个分量的系数系数 rrrrV VcVV4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函

15、数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析15Xidian University, ICIE. All Rights Reserved主要内容：主要内容：1.信号正交的定义信号正交的定义2.正交函数集、完备正交函数集的定义正交函数集、完备正交函数集的定义3.信号的正交分解信号的正交分解基本要求：基本要求：1.掌握信号正交、正交函数集和完备正交函数集的基本概念掌握信号正交、正交函数集和完备正交函数集的基本概念2.掌握信号正交分解的方法掌握信号正交分解的方法知识点知识点Z4.2信号的正交分解信号的正交分解4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里

16、叶变换与频域分析16Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析1.信号正交信号正交 定义在定义在(t1，t2)区间的两个函数区间的两个函数 1(t)和和 2(t),若满足若满足 210d)()(*21ttttt(两函数的两函数的内积内积为为0)则称则称 1(t)和和 2(t) 在在区间区间(t1，t2)内内正交正交。 Z4.2 信号的正交分解信号的正交分解17Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.1信

17、号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析2.正交正交函数集：函数集： 若若n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数构成一个函数集，当这些函数在区间集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 则称此函数集为在则称此函数集为在区间区间(t1，t2)上的上的正交函数集正交函数集。 21*0,( )( )d0,tijtiijtttKij18Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析3.完备完

18、备正交函数集：正交函数集： 如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t), 2(t), , n(t)之外，不存在之外，不存在任何函数任何函数 (t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。21*( )( )d0(1,2, )tittttin19Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析例例1：两组典型的在区间：两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的完备正上的完备正交函数集。交函数集。证明证明过程见扩展资源过程

19、见扩展资源Y4001。（1）三角函数）三角函数集集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, （2）虚）虚指数函数集指数函数集ejnt，n=0，1，2，20Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析4.信号信号的正交分解的正交分解 设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交个正交函数的线性组合来近似，可表示函数的线性组合来

20、近似，可表示为为通常通常使误差的方均值使误差的方均值( (称为称为均方误差均方误差) )最小最小。11221( )( )( )( )( )( )niinnjjjf tCtCtCtCtCt思考问题：思考问题：如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差与近似函数之间误差在区间在区间(t1，t2)内为内为最小？最小？21221211 ( )( ) dntjjtjf tCtttt21Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析为使上式最小（系数

21、为使上式最小（系数Cj变化时），有变化时），有展开展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为为0，写为：，写为： 21221211 ( )( ) d0ntjjtjiif tCttCCtt21222112( ) ( )( ) d0tiiiitiCt f tCttCtt即：即： 221122( )( )d2( )d0ttiiittf tttCtt所以系数所以系数2212112( )( )d1( )( )d( )dtittiittiitf tttCf tttKtt22Xidian University, ICIE. All Rights Reserve

22、d4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析21222111221122121221121221211 ( )( ) d1( )d( ) d2( )( )d1( )d( ) d0ntjjtjnntttjjjjtttjjnttjjttjf tCttttfttCttCf tttttfttCtttt代入，得最小均方误差代入，得最小均方误差在在用正交函数去近似用正交函数去近似f(t)时，所时，所取的项数取的项数越多越多，即，即n越大，越大，则均方误差则均方误差越小越小。当。当n时时（完备（完备正交函数集），均方正交函数集），均方误差为零误差为零。2

23、3Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析任意信号任意信号f(t)可以表示为无穷多个正交函数之可以表示为无穷多个正交函数之和和 ：11221( )( )( )( )( )iiiiif tCtCtCtCt实变函数下实变函数下2212112( )( )d1( )( )d( )dtittiittiitf tttCf tttKtt复变函数下复变函数下221211*( )( )d1( )( )d( )( )dtittiittiiitf tttCf tttKttt

24、24Xidian University, ICIE. All Rights Reserved主要内容：主要内容：1.信号的能量信号的能量2.帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理基本要求：基本要求：1.掌握信号能量的基本概念掌握信号能量的基本概念2.了解帕斯瓦尔方程的物理含义和数学本质了解帕斯瓦尔方程的物理含义和数学本质知识点知识点Z4.3帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析25Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数第四章第四章 傅里

25、叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析2211221( )d( ) dttiittifttCtt帕斯瓦尔帕斯瓦尔方程：方程：信号的能量各正交分量的能量物理意义物理意义：在在区间区间(t1,t2)， 信号信号f(t)所所含有的含有的能量恒等于能量恒等于此此信号在信号在完备正交函数集中完备正交函数集中各各正交正交分量能量之和，即分量能量之和，即能量守恒能量守恒定理定理, 也也称称帕斯瓦尔帕斯瓦尔定理定理。 数学本质：数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。矢量空间信号正交变换的范数不变性。Z4.3 帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理26Xidian University, ICIE. All Rights

26、 Reserved主要内容：主要内容：1.周期信号三角形式的傅里叶级数周期信号三角形式的傅里叶级数2.狄里赫利条件狄里赫利条件3.吉布斯现象吉布斯现象基本要求：基本要求：1.掌握周期信号三角形式傅里叶级数和谐波的基本概念掌握周期信号三角形式傅里叶级数和谐波的基本概念2.了解狄里赫利条件了解狄里赫利条件3.了解吉布斯现象的原理了解吉布斯现象的原理知识点知识点Z4.4三角形三角形式的式的傅里叶级数傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数27Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4

27、.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析Z4.4周期周期信号三角形式的信号三角形式的傅里叶级数傅里叶级数回忆正交函数集：回忆正交函数集：三角函数三角函数集集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 设设周期信号周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率 =2 /T，当满，当满足足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件时条件时，可展开为，可展开为三角形式的傅里三角形式的傅里叶级数叶级数。 系数系数an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数。 011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t1.三

28、角形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数28Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t0002( )cos()dtTntaf tn ttT余弦分量系数：余弦分量系数：0002( )sin()dtTntbf tn ttT正弦分量系数：正弦分量系数：00001( )d2tTtaf ttT直流分量：直流分量：直流n次谐波n次谐波an是是n的的偶函数偶函数（实际（实际n取正值）取正值）bn是是n

29、的的奇函数（实际奇函数（实际n取取正值正值）29Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析2.狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件条件：条件条件1：在在一个周期内，函数连续或只有有限个第一一个周期内，函数连续或只有有限个第一类间断点类间断点；条件条件2：在在一个周期内，函数一个周期内，函数极大值极大值和和极小值极小值的数目的数目应为有限应为有限个个；条件条件3：在在一个周期内，一个周期内，函数绝对可积函数绝对可积。30Xidian Univer

30、sity, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析01( )cos()sin()2nnnaf tan tbn tAn是是n的的偶函数偶函数（实际（实际n取正值）取正值） n是是n的的奇函数（实际奇函数（实际n取取正值正值）22arctannnnnnnAabba cossinnnnnnnaAbA 01( )cos()2nnnAf tAn t 3.余弦形式余弦形式的傅里叶级数的傅里叶级数31Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期

31、信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析A0/2 为为直流分量直流分量；A1cos( t+ 1) 称为称为基波或一次基波或一次谐波谐波，角频率与，角频率与 原周期信号相同；原周期信号相同；A2cos(2 t+ 2) 称为称为二次谐波二次谐波； Ancos(n t+ n) 称为称为n次谐波次谐波。 01( )cos()2nnnAf tAn t 表明表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。32Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信

32、号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析例例1：将图示方波信号：将图示方波信号f(t)展开为傅里叶级数。展开为傅里叶级数。解：解：022022222( )cos()( 1) cos()1 cos()TTTTnaf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 1 sin()sin() 202Tn tn tTT nT n考虑到考虑到=2/T，可得：，可得：0na 33Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析信号的

33、傅里叶级数展开式为：信号的傅里叶级数展开式为：011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t022022222( )sin()( 1) sin()1 sin()TTTTnbf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 1cos() cos() 202Tn tn tTT nT n21 cos() 1 cos()2TnnT n21 cos()nn0,2,4,6,4,1,3,5,nnn4110sin()sin(3)sin(),1,3,5,3ttn tnn直流基波3次谐波n次谐波34Xidian University, ICIE. All Rights Reserve

34、d4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析00.20.40.60.811.21.41.61.82-1.5-1-0.500.511.500.20.40.60.811.21.41.61.82-1.5-1-0.500.511.500.20.40.60.811.21.41.61.82-1.5-1-0.500.511.500.20.40.60.811.21.41.61.82-1.5-1-0.500.511.5（a）1次谐波（基波）次谐波（基波） （c）1&3&5次谐波次谐波 （f）1&3&999次谐波次谐波（e）1&3&99次谐波次谐波 （d）

35、1&3&5&7次谐波次谐波（b）1&3次谐波次谐波 约约9%偏差偏差吉布斯现象吉布斯现象35Xidian University, ICIE. All Rights Reserved用用有限项有限项傅里叶级数表示傅里叶级数表示有间断点有间断点的信号时，在的信号时，在间断点附近不可避免的会出现间断点附近不可避免的会出现振荡振荡和和超调量超调量。超调。超调量的量的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，项数的增多，振荡频率变高，并向间断点处压缩，从而使它所占有的能量减少从而使它所占有的能量减少。当选取的项数很大时，。

36、当选取的项数很大时，该超调量趋于一个常数，大约等于总跳变值的该超调量趋于一个常数，大约等于总跳变值的9%，并并从间断点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。从间断点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。这种现象通常称为这种现象通常称为吉布斯现象吉布斯现象。4.吉布斯现象吉布斯现象4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析36Xidian University, ICIE. All Rights Reserved主要内容：主要内容：1.奇函数、偶函数、奇谐函数和偶谐函数奇函数、偶函数、奇谐函数和偶谐函数2.谐波特性谐波特性基本要求：基本要求： 了

37、解奇函数、偶函数、奇谐函数和偶谐函数的谐波特性了解奇函数、偶函数、奇谐函数和偶谐函数的谐波特性知识点知识点Z4.5周期周期信号波形对称性和谐波特性信号波形对称性和谐波特性第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数37Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析Z4.5周期周期信号波形的对称性和谐波特性信号波形的对称性和谐波特性1 . f(t)为为偶函数偶函数对称于纵轴对称于纵轴 f(t) =f(

38、-t)22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展开为，展开为余弦余弦级数。级数。222214111( )cos()cos(3)cos(5)cos(),1,3,5,235f ttttn tnn38Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析2 . f(t)为奇函数为奇函数对称于对称于原点原点 f(t) =-f(-t)an =0，展开为，展开为正弦正弦级数。级数。22d)cos()(2TTnttntf

39、Ta22d)sin()(2TTnttntfTb4111( )sin()sin(3)sin(5)sin(),1,3,5,35f ttttn tnn39Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析3 . f(t)为为奇谐函数奇谐函数f(t) = f(tT/2)其傅里叶级数其傅里叶级数中只含中只含奇次谐波奇次谐波分量，而不含偶次分量，而不含偶次谐波分量，即：谐波分量，即：a0=a2=b2=b4=0 4111( )sin()sin(3)sin(5)sin(),

40、1,3,5,35f ttttn tnn40Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析4 . f(t)为偶谐函数为偶谐函数f(t) = f(tT/2) 其其傅里叶级数中只含傅里叶级数中只含偶次谐波偶次谐波分量，而不含奇次分量，而不含奇次谐波谐波分量，即：分量，即：a1=a3=b1=b3=0 22222( )1cos(2)cos(4)cos(),2,4,6,3151Ef tttn tnn41Xidian University, ICIE. All Rig

41、hts Reserved主要内容：主要内容：1.指数指数形式形式的的傅里叶级数傅里叶级数2.复傅里叶系数复傅里叶系数基本要求：基本要求：1.掌握傅里叶级数的指数形式展开式掌握傅里叶级数的指数形式展开式2.掌握复傅里叶系数的基本概念掌握复傅里叶系数的基本概念知识点知识点Z4.6指数指数形式的傅里叶级数形式的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数42Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与

42、频域分析Z4.6指数指数形式的傅里叶级数形式的傅里叶级数 三角形三角形式式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用常感不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数的傅里叶级数。1022ntnjtnjnnnAAee)()(11021212ntjnjnntjnjnnnAAAeeee102nnntnAAtf)cos()(三角形式傅里叶级数三角形式傅里叶级数利用欧拉公式利用欧拉公式11021212ntjnjnntjnjnnnAAAeeee-nnA n=An n= nntjnjnnAee2143Xidian University, ICIE. All

43、Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数ntjnjnnAtfee21)(令复数令复数1ee2nnjjnnnAFF称为称为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称，简称傅里叶系数傅里叶系数。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222211( )cos()d( )sin()dTTTTf tn ttjf tn ttTT221( )edTjn tTf ttT44Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频

44、域分析ntjnnFtfe)(221( )edTjntTnFf ttT表明：表明：任意周期信号任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的可分解为许多不同频率的虚指虚指数信号数信号之和。之和。 Fn 是频率为是频率为n 的分量的的分量的系数，系数，F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数复傅里叶系数复傅里叶系数45Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析例例1：求如图所示周期信号的求如图所示周期信号的指数形式的

45、傅里叶级数指数形式的傅里叶级数。解：解：( )3,2 /2 /3f tTT 为的周期信号，指数型傅里叶系数为2300211( )23Tjn tjn tjn tnFf t edtedtedtT23221133j nj nj neeej nj n2321110233jn tjn teejnjn46Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析23221133j nj nj neeej nj n23233j nj neej n423232jnjneejn433

46、(1)2jnejn指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数为：为：433( )(1)2jnjn tjn tnnnf tF eeejn47Xidian University, ICIE. All Rights Reserved主要内容：主要内容： 三角形三角形式和指数形式傅里叶级数的式和指数形式傅里叶级数的相互关系相互关系基本要求：基本要求： 掌握掌握三角形式和指数形式傅里叶级数的相互三角形式和指数形式傅里叶级数的相互关系关系知识点知识点Z4.7两种两种傅里叶级数展开形式的关系傅里叶级数展开形式的关系第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶

47、级数48Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.2周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析Z4.7两种傅里叶级数展开形式的关系两种傅里叶级数展开形式的关系三角形三角形式的式的傅里叶级数傅里叶级数： 01101( )cos()sin()2cos()2nnnnnnnaf tan tbn tAAn t 指数形式指数形式的的傅里叶级数傅里叶级数： ( )jn tnnf tF e1122nnjjnnnnnFF eA eab49Xidian University, ICIE. All Rights R

48、eserved知识点知识点Z4.8周期信号的频谱周期信号的频谱第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析主要内容：主要内容：1.周期信号频谱、频谱图的定义周期信号频谱、频谱图的定义2.单边谱的定义单边谱的定义3.双边谱的定义双边谱的定义基本要求：基本要求：1.掌握周期信号频谱和频谱图的基本概念掌握周期信号频谱和频谱图的基本概念2. 掌握单边谱、双边谱的基本概念掌握单边谱、双边谱的基本概念4.3周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点50Xidian University, ICIE. All Rights Reserved第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析Z4.

49、8周期信号的频谱周期信号的频谱信号的信号的频谱频谱是指是指信号信号的某种特征量随信号频率变化的某种特征量随信号频率变化的关系的关系，所，所画出的图形称为信号的画出的图形称为信号的频谱图频谱图。周期周期信号的频谱信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化位随频率的变化关系。关系。将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平面为横轴的平面上得到的两个图，分别称为上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频谱图相位频谱图。因为因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。也也可画可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为

50、双边谱双边谱。若。若Fn为为实数，也可直接画实数，也可直接画Fn 。4.3周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点51Xidian University, ICIE. All Rights Reserved知识点知识点Z4.9单边谱和双边谱的关系单边谱和双边谱的关系第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析主要内容：主要内容： 单边谱和双边谱的关系单边谱和双边谱的关系基本要求：基本要求： 熟练掌握单边谱和双边谱的频谱图的绘制熟练掌握单边谱和双边谱的频谱图的绘制4.3周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点52Xidian University, ICIE. All Rights R

51、eserved第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析Z4.9单边单边谱和双边谱的关系谱和双边谱的关系12nnjjnnnFF eA e三角形式三角形式： ,nnA 单边谱单边谱，n取取0到到+指数形式指数形式： ,nnF 双边谱双边谱，n取取-到到+关系：关系： 双边谱中，双边谱中，|Fn|是是n的的偶函数偶函数, n是是n的的奇函数。奇函数。12nnFA4.3周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点53Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.3周期周期信号的频谱及信号的频谱及特点特点第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换

52、与频域分析例例1：周期周期信号信号 求基波求基波周期周期T, 基波基波角频率角频率, 平均功率平均功率P, 画出频谱图。画出频谱图。6341324211tttfsincos)(解解 化为余弦化为余弦形式：形式：263cos41324cos211)(tttf34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6f(t)的的周期为周期为T1和和T2最小公倍数最小公倍数T = 24基波角频率基波角频率=2/T = /12.基波周期基波周期T=24;323741212121122P根据帕斯瓦尔等式根据帕斯瓦尔等式54Xidian University, ICIE. All R

53、ights Reserved4.3周期周期信号的频谱及信号的频谱及特点特点3234134211tttfcoscos)( 1 是是f(t)的的直流直流分量。分量。34cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次次谐波分量；谐波分量； 323cos41是是f(t)的的/3/12 =4次次谐波分量；谐波分量；55Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.3周期周期信号的频谱及信号的频谱及特点特点第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析12nnFA|Fn|偶函数偶函数 n奇函数奇函数56Xidian University, ICIE.

54、All Rights Reserved知识点知识点Z4.10周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析主要内容：主要内容：1.周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱2.周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点3.谱线结构与波形参数的关系谱线结构与波形参数的关系基本要求：基本要求：1.掌握周期矩形脉冲信号的频谱掌握周期矩形脉冲信号的频谱2.了解周期信号频谱的特点了解周期信号频谱的特点3.了解谱线结构与波形参数的关系了解谱线结构与波形参数的关系4.3周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点57Xidian University, ICIE. All

55、 Rights Reserved4.3周期信号的频谱及周期信号的频谱及特点特点第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析Z4.10信号信号频谱频谱的的特点特点例例1:有有一幅度为一幅度为1，脉冲宽度为，脉冲宽度为 的的周期矩形脉冲周期矩形脉冲，其，其周期为周期为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。 jjj222222111 e( )ed1 edjsin()sin222,0, 1, 2,2Tn tn tn tTnFf tttTTTnnnnnTnT 解：解：58Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.3周期信号的频谱及周期信号的

56、频谱及特点特点第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数取样函数） sin22nnFnT()(),0, 1, 2,2nnnFSaSanTTT 令令T = 459Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.3周期信号的频谱及周期信号的频谱及特点特点第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析令令T = 4()2nnFSaT(2) 零零点为点为mn22mn，m为整数。为整数。60Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.3周期信号的频谱

57、及周期信号的频谱及特点特点第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析令令T = 4()2nnFSaT(1) 离散性：离散性：以基频以基频 为间隔的若干离散谱线为间隔的若干离散谱线组成组成；(2) 谐波性：谐波性：谱线仅含有基频谱线仅含有基频的整数的整数倍分量；倍分量；(3) 收敛性：收敛性：整体整体趋势减小趋势减小。周期信号频谱的特点：周期信号频谱的特点：61Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.3周期信号的频谱及周期信号的频谱及特点特点第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析 T不变，不变， ，频谱幅度，频谱幅度

58、，谱线间隔，谱线间隔 不变不变。两零点。两零点之间的谱线之间的谱线数目数目(T/ ) 。()2nnFSaT谱线结构与波形参数的谱线结构与波形参数的关系关系:62Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.3周期信号的频谱及周期信号的频谱及特点特点第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析 不变不变，T，幅度幅度，间隔，间隔 ，频谱变密频谱变密。 T时，谱线间隔时，谱线间隔 =2/T 0，谱线幅度，谱线幅度0，周期周期信号的信号的离散离散频谱频谱过渡为非周期信号的过渡为非周期信号的连续频谱连续频谱。()2nnFSaT谱线结构与波形参数的

59、谱线结构与波形参数的关系关系:63Xidian University, ICIE. All Rights Reserved知识点知识点Z4.11周期信号的功率周期信号的功率第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析主要内容：主要内容：1.周期信号功率的定义周期信号功率的定义2.帕斯瓦尔等式帕斯瓦尔等式3.频带宽度的定义频带宽度的定义基本要求：基本要求：1.掌握周期信号功率的基本概念掌握周期信号功率的基本概念2.熟练掌握帕斯瓦尔等式计算周期信号功率的方法熟练掌握帕斯瓦尔等式计算周期信号功率的方法3.了解频带宽度的概念了解频带宽度的概念4.3周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点64

60、Xidian University, ICIE. All Rights Reserved4.3周期信号的频谱及周期信号的频谱及特点特点第四章第四章 傅里叶变换与频域分析傅里叶变换与频域分析Z4.11 周期周期信号的信号的功率功率2222220111( )cos()2TTTTnnnAPft dtAn tdtTT 含义含义： 周期信号平均功率周期信号平均功率=直流和谐波分量平均功率直流和谐波分量平均功率之和。之和。周期信号一般是周期信号一般是功率信号功率信号，其平均功率为，其平均功率为222012|nnnnFFF22011()22nnAA表明表明： 对于对于周期信号，在时域中求得的信号功率与周期信