第十一章排列组合与二项式定理

1、备考核心建议：本单元是中学数学相对独立的一部分，是近代数学的基础，也是后面学习概率统计的基础，是高考必考的内容之一。每年有一至两道题，基本上是以选择题和填空题形式出现。注重基础知识与思维能力的考察，属中档题或容易题。只要能够认真理解基本概念和原理，掌握一些常用的思想方法，应该是非常容易得分的。排列与组合部分基础知识可概括为四个两：两个基本原理，两个基本公式，两个基本公式，两个基本性质。学好本节的关键是深刻理解两个基本原理和两个基本概念同时，掌握处理问题常用的思想方法：如直接法，间接法，捆绑法，插空法，对应法，分类的思想，转化的思想，整体思想等。在使用两个的基本原理时如何分类和分步，主要要坚持下

2、面几个原则：特殊元素优先安排的原则；特殊位置优先考虑的原则，先分类后分步的原则。二项式定理处理的方要问题有：（1）求二项展开式中特定项系数（如常数项，有理项等）；（2）系数和问题（如二项式系数和，奇次幂项系数和等）；（3）整除与近似计算问题。基础全程串练：权威试题设计一、选择题1.做一个零件,有三道工序。第一道工序有4人会做；第二道工序有3人会做；第三道工序有2人会做。如果每道工序各挑选一人，则完成这个零件的不同方案总数有（ ）A.9B.24C.26D.282.已知:,则xy表示不同的值的个数有( )A.2B.3C.6D.93.电子计算机的输入带每排有8个穿孔位置.每个孔可穿孔或不穿孔表示不同

3、的信息,则每排最多可产生不同的信息种数为( )A.16B.64C.256D.512ABCD4.如图在图中A,B,C,D四块区域中分别涂上5种颜色中的一种,允许同一样颜色使用多次,但相邻区域的颜色不同.则不同的涂色方案共有( )A180种B.160种C.96种D.60种5.用1,2,3,4,5五个数字,组成没有重复数的三位数,其中偶数的个数为( )A.24B.30C.40D.606.27名同学排成三排,第一排8人,第二排9人,第三排10人,则不同的排法种数为( )A.B.720C.D.以上都不对7.6人站成一排照相,其中甲,乙,丙三人要站在一起,并且乙,丙要站在甲的两边,则不同的排法种数共有(

4、)A.12B.24C.48D.1448.在平面上有九个不同的点,其中有且仅有三个点在一条直线上,若任取三点作三角形,则不同的三角形的个数为( )A.84B.83C.63D.659从4辆A型和5辆B型坦克中任意调出3辆执行任务,至少要有A型,B型各一辆,不同的调度方法有( )A.70种B.72种C.74种D.80种10.8项工程,甲,乙,丙,丁分别承包其中的3项,2项,2项,1项,共有不同的承包方案种数共有( )A.1680B.840C.420D.9611.若的展开式中,只有第6项系数最大,则展开式中的常数项为( )A.120B.220C.460D.21012.若+,则的值为( )A.B.C.D

5、. 13.被100除的余数为( )A.1B.81C.-81D.992二、填空题14.在的展开式常数项为_.15.若的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为_.16.若展开式中第2项大于它的相邻两项,则 x的取值范围是_.17.某科技小组有6名同学.现从中选出3人去参观展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则小组中的女生人数为_.18.从6名运动员中选出4人参加米接力赛,如果甲,乙两人都不能跑第一棒,那么共有_种不同的参赛方案.19.六人分乘两辆不同的车,每辆至多坐4人,则不同的乘车方法共有_种20.若直线方程Ax+By=0的系数A,B可以从0,1,2,3,6,7这六个数字中取出不同的数

6、而得到,则这样的方程表示不同的直线的条数是_.三、解答题21.4名男生,3名女生(身高都不相同),按下列要求各有多少种不同的排法(1) 男甲排在正中间;(2) 甲，乙两人必须站在两端的排法(3) 男甲不在排头,女乙不排在排尾;(4) 三个女生排在一起;(5) 甲，乙两人间间隔两人的排法(6) 三名女生互不相邻;(7) 男女相间的排法(8) 三名女生在队列中从左向右看按从高到矮的顺序排列(不一定相邻)22.从1,3,5,7,9五个数字中选出两个,从0,2,4,6,8五个数字中选3个,能组成多少个没有重复数字的五位偶数?23.已知二项式的展开式中,前三项的系数成等差数列.求展开式中的有理项. 24

7、.求的展开式中的系数.名师出招解答一、选择题1.B. 2.D3.C.每个孔表示2种不同的信息，一排共8个孔，由分步计数原理每排共可以表示种不同的信息。4.A这是一个涂色问题，由于每种颜色可以使用多次，不能直接用排列模型处理，用基本原理来解决，分四步涂完，统计每一块的涂色方法数，由乘法原理可计算涂色方法总数，分步次序为B，C，A，D。在这一类问题中，设计好次序很关键，否则选择不好，后面的方法数不好确定，原则是先涂相邻区域多的区域。如本题先涂A（或C）。如果按顺序A，D，B，C涂色，那么B，C涂色方法就不好确定了。因为不知道A，D的颜色是否相同。5A6C.27个不同元素排在27个没位置上是一个排列

8、问题.不管这些位置在不在一排.7C本题是排列中某几个元素必须相邻问题，这类问题可采用捆绑法，把捆绑的整体看成一个元素先和其它元素一起排列，然后再排捆绑元素。用乘法原理可得。种8B=839A. 利用分类计数原理，一类为两辆A型，一辆B型的选法有；另一类为一辆A型，两辆B型的选法有。此题有一种常犯的错误是先各选一个，再从剩下的7个中再任选一个即：种，这种做法的错误在于三台中有两台型号一样的分两次选取了，而它们先选与后选没有区别，所以重了。10A直接用分步计数原理：=168011D此题涉及二项式系数的性质：当n为偶数是二项式系数中中间一项最大；当奇数是中间两项二项式系数最大。所以此题中，n=10.由

9、通项得，由30-5r=0，得r=6,所以第七项是常数项为。注:此题若把条件改为展开式中第6项系数最大,求n的值,将有三解,因为不知是一项最大,还是二项最大,得分类处理.12C令 两式相加即可13B思路一：种用的展开式，得余数为，再把展开即可得余数为81；思路二：利用的展开式直接求解二、填空题14.解法一：利用展开式寻找常数项，解法二：利用二项式的推导过程来处理要巧妙的多。原式=因其展开式中的各项由6个因式中各取一项相乘后得到。当第一个因式取二次项时，另5个因式中有一个取，其余取1，共有种；当第一个因式取后面不论怎么选取不能产生常数项；当取常数项-5时，后面都取1，只有1种，故常数项为=15。1

10、55.由通项得=所以，n的最小值为5。16172设女生n人，男生为6-n人由题意可得：(6-n)(5-n)(4-n)=24注意到n为自然数，所以n=218.240. 完成题中条件可分下面二步1） 确定跑第一棒的选手有种方法2） 确定跑其余三棒的选手有种方法由分步计数原理可得1950由题可知：每辆车最多乘坐4人，因此乘车方式可分为三类：1） 甲车乘2人，乙车乘4人：2） 甲车乘3人，乙车乘3人：3） 甲车乘4人，乙车乘2人：由分类计数原理可得2018用间接法，不考虑重复情况共有：条。其中重复的有下面几类（1）A，B中有一个取0的10条中，只表示两条直线要去掉8条；（2）A，B取1，2和A，B取3

11、，6重了2条；（3）A，B取1，3和2，6重了2综上所述共表示直线的条数为：-8-2-2=18三、解答题21.分析：本题包括几种不同类型的问题，要仔细审题，弄清限制条件，分步要设计好次序，分类要标准统一且不能重复和遗漏。本题是有限制条件的排列问题，这类问题依限制条件一般有下列几个类型（1） .某元素只能（或不能）在某个位置问题 某元素只能在某个位置时，可先把这个元素排在这个位置上；不能在某个位置时，可先让其他元素排在这个位置上，或先把这个元素安排在其它位置上。（2） 某些元素相邻或互不相邻问题相邻的可“捆绑”成一个新元素，参与整体排列，然后再排捆绑元素；某些元素互不相邻的排列问题可先安排其他没

12、有要求的元素，再把不相邻元素去插在前者元素之间的空（两头也算）俗称“插空法”。（3） 某些元素在队列中顺序固定问题：如从高到矮，从大到小等。这类问题有两种常用的处理方法：一是：先求总的排列数，再求这些特殊元素的排列数，则符合条件的是前者除以后者；二是：先设计好空位，先把不加要求的元素排到位子上，再排这几个特殊元素时只有一种方法了。(1)因男甲站在中间已经确定，而其余6个人站在除中间位置以外的的6个位置上共有：种不同的排法。(2)甲,乙两人站在两端,这二人是特殊元素,先考虑特殊元素,甲,乙两人的站法有种;再考虑其余5个元素的排法有根据乘法原理不同的排法共有=240种.(3)方法一:因为甲,乙是特

13、殊元素,排头排尾是特殊位置.应优先安排.不妨先考虑排头的站法,分两类(I)乙站在排头,共有种不同的站法.(II)乙不站在排头,又甲也不在排头所以排头的站法有种,再考虑排尾,由于有一个人站在排头,乙又不能站在排尾,所以排尾的站法有,中间5个位置有种,所以乙不站在排头的站法有种 所以甲不在排头,乙不在排尾的站法共有: (种) 方法二:不考虑限制条件,男女生的排法有种,而甲在排头,乙在排尾各有种,这些都不符合要求,但甲站在排头乙站在排尾的被去掉两次,因此要补上,所以满足条件的排法有:=3720种.(4)先把女生捆绑看成一个元素和其它四个男生共5个元素全排列共有种,再把捆绑的女生进行排列共有种,由乘法

14、原理女生站在一起的排法共有: =720种(5)先从五人(除甲,乙两人)中选二人的排列有种排法,再将甲,乙两排在两端有种排法,此四人看成一个整体与其余3人排列有,根据乘法原理有种不同的排法.(6)先排男生有种不同排法,在男生中间和两头共有5个空档,女生只要站在这5个空档中的三个即可不相邻,共有种不同的排法.由乘法原理可得共有=1440种不同的排法.(7)同上第一步先排男生,女生的站法还要使男生也不相邻,因而女生必须站在中间的三个空档上,所以只有A种不同站法,由乘法原理得不同的站法共有 A=144种(8)方法一:先定好7个位置,从中选取4个站上4个男生共有种不同的排法,再把3名女生安排在剩下的三个

15、空位上,由于女生从左向右是按从高到矮排列的因此只有1种排法.由乘法原理共有: =840种不同的排法.方法二:先不考虑条件有,而其中的女生种排法只有一种满足条件,所以满足条件的排法共有:种.22.思路分析:因为0是特殊元素,所以按取出数字0与不含数字0分成两类解:第一类不含0的.第一步先取数,从5个奇数中选2个,有种方法;从2,4,6,8中选3个有种方法,第二步排数,先排个位,从3个偶数中选取1个排在个位有A种,其余四个位有A种,共有不同排法A A=72种.由乘法原理,这一类偶数共有个第二类:含0的偶数.第一步选数方法有种;第二步排法,分两类个位是0的有A种,个位不是0的有.所以共有( A+)=

16、3600个由上可知,能组成的五位偶数共有2880+3600=6480个23.由条件得 n=8. 由通项得=,要使其为有理项,则x的指数为整数,所以r必为4的倍数,r=0,4,8 有理项为24.-55.提示:x9是9个括号中取x,另一个括号内取常数项而得到的,所以系数为-(1+2+10)= -55跨越创新热线热点创新设计一、选择题1.有1元,2元,5元,10元,50元,100元各一张,取出其中一张或几张,共能组成不的币值种数为( )A.64B.63C.60D.622.把一个圆周24等分.过其中任意三个点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数为( )A.2024B.264C.132D.122

17、3.一条铁路原有m个车站,为了适应客运需要新增了n个车站(n1),则客票增加了58种,那么原有车站( )A.12个B.13个C.14个D.15个4.某人连续射击8次,命中4次且恰好有3次连在一起的结果有( )A.720种B.480种C.224种D.20种5.某乒乓球队有男女队员18人,现从中选出男女各一人组成一对混合双打组合.由于在男队员中有两个人主攻单打项目,不参与双打组合,这样一共有64种组合方式,则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人6.马路上有编号1,2,3,4,10的十只路灯,为了节约用电,可以关掉其中的3只路灯,但马路两端的1号灯和10号灯不能关掉,也

18、不能同时关掉相邻的两只或三只,这样的关灯方法的种数共有( )A.56种B.35种C.20种D.10种7.平面内,分别包含m条直线和n条直线(m1,n1)的两组平行直线,它们的交点数是15,由这两组平行线可以构成的平行四边形共有( )A.60个B.50个C.40个D.30个8.若,则的值为( )A.1B.-1C.0D.29.二项式的展开式中，系数为有理数的项共有（ ）A.6项B.7项C.8项D.9项10.若=,则=( )A.nB.C.D. 11.二项式()中系数最大的项是()A.第项B.第项C.第项D.第项和第项二、填空题12.两条异面直线称为“一对”,连接正方体的八个顶点的所有直线中,异面直线

19、共有_对13.从6对不同的手套中任取4只，其中恰有一双配对的取法有_种。14.现有6个参加兴趣小组的名额,分给4个班级,每班至少一个,则不同的分配方案共有_种.15.从集合中选3个不同的数,使这3个数成递增的等差数列,则这样的数列共有_组.16.若,且,那么_三、解答题17.设为两个平行平面,在内取4个点,在内取5个点,在这九个点中,无四点共面,其中任意三点不共线(1) 这些点能确定平面多少个?(2) 以这些点为顶点能作多少个四面体.18.一个袋子内有4个不同的红球,6个不同的白球(1) 从中任取4个球,红球个数不少于白球的取法有多少种?(2) 若取出一个红球记2分,取1个白球记1分,从中任取

20、5个球,使总分不少于7分的取法共有多少种?ABCDSABCDS19.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法总数有多少种?(1-378)22.设m,n是正整数,中,x的系数为19(1) 当m,n为何值时,的系数最小?(2) 当的系数最小时,求的系数.名师出招解答一、选择题1.B.取一张可得到种币值;取2张可得币值种;取6张可得币值.由加法原理可得+=2.B.提示:要想使三个点连成直角三角形,必须有两点连线为圆的直径.因而可分两步.先选出两点是直径的端点的有12种,再选另一个点共有种.由乘法原理得共有12=264个直角三角形3.C.

21、由题意得:化简得 , 解得:m=144.D.法一:此题可用枚举法.分类枚举 如:第1,2,3次连中,另一次为第5,6,7,8次中,共4种不同命中方式;第2,3,4次连中,另一次为第6,7,8次中共3次,其他类推即可 法二:先把连中三次看成一个整体,另一次不能与此整体相邻,可插在其余4次中间及边上的空位上,因而共有种不同的命中方式.5.A. 设男队员人数为n个,则女生有18-n个,由题意知,解得n=106.C.因为熄灭了三只路灯，还有7只没有熄灭，由于要求熄灭的灯不能相邻，可采用插空的方法来处理。没有熄灭的7只灯中间共有6个空位，从中选取3个放上熄灭的灯的每一种选法就对应一种熄灭方案，所以熄灭方

22、法共有=20种。7D易知这两组平行线共可产生交点数为mn个，所以由题意可知mn=15又n,m都大于1，所以可得m=3，n=5或m=5,n=3。每一个平行四边形需要从每组平行线中各出两条四条直线；又每组各取两条恰好构成唯一的一个四边形。所以组成四边形的个数即为分别从两组平行直线中各取两条直线的方法数：=30个。8A令x=1和x=-1得到两个式子两边分别相乘即可得9D由二项展开式的能项可得要使其系数为有理数，则r必为6的位数而在050中6的倍数共有9个，所以选D。10C令x=2即可得=。11A由二项式定理得系数为，由二项式系数性质可得，其绝对值最大的项为=，因为当r为奇数时系数为负数，当r为偶数为

23、正数，所以最大项为，即展开式的第2n+1项的系数最大。二、填空题12174.一对异面直线需要4个不共面的点，而4个点每两点连线中可得到3对异面直线如右图：AB与CD；ABCDAC与BD；AD与BC。现在只要求出从这8个点中选四个不共面的点方法数用间接法先不考虑共不共面共有种，其中共面的四个点有两类一类是共于表面的有6种；共面于对角面的有6种，所以选四个不共面的点方法数为种，因此可得异面直线的对数为。13240分两步完成。第一步先选一双的方法有=6种；第二步选两只不是一双的方法，先从剩余的10只中任取2只有种，再去掉配成一双的种，所以选两只不配成一双的方法共有： -= 40种。综上用乘法原理可求

24、对选四只恰好配成一双的方法共有种。1410这是一种常见的名额分配问题，它与一般的排列组合问题不一样的地方是，名额只是数字的差异，本身没有区别的。这种问题一般可用挡板法处理。方法一：由于每班至少一人，每班先分一个后还剩余2个，这两个名额的分配方法即是所求名额的分配方法。这两个名额分法有两类，一类是全给一个班共有4种方法；另一类是分给两个班共有种方法，由加法原理可知6个名额的分配方法共有4+6=10种。方法二：用挡板来处理。把6个名额看成6个相同的小球排成一列如下图所示现在小球这间的5个空档中选取三个上插上三个挡板，每一种选法对应一种名额分配方法，所以共有分配方法种1590有两种方法可以处理这个问题方法一：分类枚举法公差为1的等差数列有18个；公差为2的等差数列有16个；依次类推公差为9的等差数列有2个。然后利用等差数列求和公式共可得等差数列个数为个。方法二：构造对应取出三个数要构成等差数列，则2b= a+c,因此选取三个数中有两个数的和为偶数，a+c必须为偶数，一旦a,c选出，则b就唯一确定了。因此a,c的选法就是选三个数能构成等差数列的方法。这20个数中选取两个数和为偶数的方法为=90种16