《常微分方程》课程标准

1、常微分方程课程标准一、课程概述 常微分方程是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门专业必修课。它不但是数学的基础课，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。在教学当中，教师应加强基本理论的教学，同时也要注意运算技能的培养和训练；通过典型例子、做练习题这些环节，帮助培养、提高解题能力和技巧。二 、课程目标1、 通过学习，使学生知道常微分方程在数学基础课中的地位与作用，知道本学科的研究范围、研究方法和学科进展情况。2、 通过本课程的学习，使学生掌握常微分方程的基本概念、基本原理和基本方法。3、 要求学生学会运用基本方法和基本运算和技能，把所学到的基本原理应用到具体的实际事件中去，去发现

2、、分析和解决一些日常生活中遇到的实际问题。三 、教学内容和教学要求这门学科的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次。这四个层次的一般涵义表述如下：知道是指对这门学科和教学现象的认知。理解是指对这门学科涉及到的概念、原理、策略与技术的说明和解释，能提示所涉及到的教学现象演变过程的特征、形成原因以及教学要素之间的相互关系。掌握是指运用已理解的教学概念和原理说明、解释、类推同类教学事件和现象。学会是指能模仿或在教师指导下独立地完成某些教学知识和技能的操作任务，或能识别操作中的一般差错。教学内容和要求表中的“”号表示教学知识和技能的教学要求层次。本标准中打“*”号的内容可作为自学，教师可根据

3、实际情况确定要求或不布置要求。（一） 绪论教 学 内 容教学要求知道理解掌握学会1、微分方程：某些物理过程的数学模型2、基本概念（二） 一阶微分方程的初等解法教 学 内 容教学要求知道理解掌握学会1、变量分离方程与变量变换（1） 变量分离方程（2） 可化为变量分离方程的类型（3） 应用举例2、线性方程与常数变易法3、恰当方程与积分因子（1） 恰当方程（2） 积分因子4、一阶隐方程与参数表示（1） 可以解出（或）的方程（2） 不显含（或）的方程（三）一阶微分方程的解的存在定理教 学 内 容教学要求知道理解掌握学会1、 解的存在唯一性定理与逐步逼近法（1） 存在唯一性定理（2） 近似计算和误差估计

4、2、 解的延拓3、 解对初值的连续性和可微性定理4、 奇解*（1） 包络和奇解（2） 克莱罗方程（四）高阶微分方程教 学 内 容教学要求知道理解掌握学会1、 线性微分方程的一般理论 （1）引言 （2）齐线性方程的解的性质与结构 （3）非齐线性方程与常数变易法2、 常系数线性方程的解法（1） 复值函数与复值解（2） 常系数齐线性方程和欧拉方程（3） 非齐线性方程比较系数法与拉普拉斯变换法（4） 质点振动3、 高阶方程的降阶和幂级数解法（1） 可降阶的一些方程类型（2） 二阶线性方程的幂级数解法 （3）第二宇宙速度计算（五）线性微分方程组教 学 内 容教学要求知道理解掌握学会1、 存在唯一性定理（

5、1） 记号和定义（2） 存在唯一性定理2、 线性微分方程组的一般理论（1） 齐线性微分方程组（2） 非齐线性微分方程组常数变易法3、 常系数线性微分方程组（1） 矩阵指数的定义和性质（2） 基解矩阵的计算公式 （3）拉普拉斯变换的应用（六）非线性微分方程和稳定性*教 学 内 容教学要求知道理解掌握学会1、 引言2、 相平面3、 按线性近似决定微分方程组的稳定性4、 李雅普诺夫第二方法5、 周期解和极限圈6、 二次型V函数的构造与控制系统的绝对稳定性四、课程实施（一） 课时安排与教学建议常微分方程是数学与应用数学专业的必修课，也是主干课程。在第三学期或第四学期开设为宜，每周安排3节，共60学时完

6、成本课程的教学。具体课时安排如下：主 要 内 容课时建议教与学的方法建议绪论4 介绍本课程教学的基本要求（包括教学必读书、参考书等），以及全学期的教学进度、总体安排等。 通过实例，强调微分方程是从解决实际问题而产生的学科。一阶微分方程的初等解法12 教师应以变量分离方程、线性方程、一阶隐方程的解法为重点，并要注意加强解题训练。 学生则以掌握所有方程类型的解法为目标，同时应学会灵活运用各种方法求解一阶方程，为后面的学习打基础。一阶微分方程的解的存在定理8 用教学与问题讨论相结合方式进行授课，着重介绍存在唯一性定理和解的延拓定理；对于解对初值的连续性和可微性定理、奇解这两节内容则可以作较简单的介绍

7、，并以师生共同讨论式进行教学。高阶微分方程14 重点应是线性微分方程的一般理论、常系数线性微分方程和欧拉方程。教学时应着重讲授非齐线性方程与常数变易法、常系数齐线性方程及非齐线性方程和比较系数法等各种解方程的具体方法。线性微分方程组16 本章的重点的讲授线性微分方程的一般理论、常系数线性微分方程组。在教学过程中，教师应当经常与高阶方程的解法相比较，以帮助学生理解、掌握教学基本内容。非线性微分方程和稳定性（*）6 本章是选学内容，可以根据学生实际情况机动地确定教学时数、教学要求。（二） 教学组织形式与教学方法要求1、 应以标准教学班为主要教学组织，班级授课制是本课程教学的主要组织形式。2、 应注

8、意教学方法、教学手段的综合运用，教学过程中，可以用如讨论、提问、声像、多媒体教学等手段开展教学活动以激发学生学习兴趣。五、教材编写与选用本课程可以选用高等教育出版社出版，王高雄、周之铭等编写的常微分方程，或东北师大数学系编写的常微分方程作为教材。六、课程评价1、考试时间：120分钟； 2、考试方式：闭卷，采用百分制； 3、题型比例： 单项选择20%，填空题15%，计算题50%，证明题15%； 4、题样与目标定位示例： A、单选题： （在比较广泛的范围内考查学生对知识的掌握程度） 例：下列方程中，属于齐次微分方程的是（ ）。 a、 b、 c、 d、 B、填空题：（在比较广泛的范围内考查学生对知识的掌握程度） 例：方程的特征方程