数学分析第五章 导数和微分ppt课件

1、1、知道导数的构造性定义,了解导数在研讨函数性态方面的作用.2、知道导数和延续的关系,即可导必延续,延续不一定可导.3、运用导数的定义计算函数在一点的导数.1 1 导数的概念导数的概念学习要求学习要求 学习目的学习目的 使学生掌握导数的概念。明确其几何意义，能使学生掌握导数的概念。明确其几何意义，能从从定义出发求一些简单函数的导数，能利用导数的意义处理某定义出发求一些简单函数的导数，能利用导数的意义处理某些实践运用的计算问题。些实践运用的计算问题。第五章第五章 导数和微分导数和微分;问题的提出问题的提出:在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等于位移除以时间。而物体的运动往往不能够总是

2、匀速的，通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。假设我们知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度?一一 导数的定义及几何意义导数的定义及几何意义;1 两个例子两个例子1). 1). 瞬时速度瞬时速度.).(0其在该时刻的速度为某一确定的时刻，求若其运动规律为设一质点作直线运动，ttss .,)()(00000）上的平均速度（或是质点在时间段的时刻，则为邻近于设tttttttstsvtt;那么物体在时辰 t 0 的瞬时速度定义为tsvtvtt000limlim)(ttsttst)()(lim000速度反映了路程对时间变化的快慢程度;2). 2).

3、切线的斜率切线的斜率的斜率为因为割线时的位置沿曲线无限接近与点当动点是割线处的切线在其上一点曲线PQPQPQPTyxPxfy.),()(00 xQ曲线在其上一点),(00yxP,0)0()(xxxfxfk则极限的极限存在时如果所以当,0kxx )(xfy 00)()(lim0 xxxfxfkxx即为曲线在点 P的切线的斜率.OPTy;xyx00lim)(xf).(,000 xfxfxf记作处的导数在点并称该极限为函数处可导在点则称函数存在极限,的某邻某邻域内有定义0 x在点 f(x)设函数y 0)0()(lim0 xxxfxfxx定义定义1:即 00000 xx)f(xf(x)lim)f(x)

4、f(xlim0 xxxxx.处不可导 x在点式极极限不存在，则 若0f上(1)2 导数的定义;.lim)4(,)3(),()()2(),() 1 (00000 xyxyxfxxfyxxfx，xx求极限作商计算计算函数值改变量给3 求函数在某点的导数值;.处的导数 1在点x)( 求函数 1例3 xxf3)33(limlim) 1 ()4(33) 3(331)1 () 1 ()1 ()2(331)1 ()1 () 1 (2002323323xxxyfxxxyxxxxfxfyxxxxxfxx解;.处不可导 0在点 . 00, 01sin)(证明函数 2例0 xxxxxxf证 由于 ,1sin1sin

5、0)0()(xxxxxfxf.处不可导 0在点x 所以f ,时极限不存在0 0 x当注注: 利用导数的定义可证, 常量函数在任何点的导数为零,即 . 0C;3 导数的几何意义导数的几何意义 处切线方程为： ,在点 所以曲线 ,处切线的斜率, 在点 等于曲线)( 00000yxxfyyxxfyxf 000 xxxfyy法线方程为: )()(1000 xxxfyy注注:.)0(,0()(,0)(.)0(,0()(,0)(垂直的切线轴可能存在与在点即曲线是无穷大它的导数可能不可导在因为函数可能存在切线在点则曲线不可导在若函数xxfxxfyxxfxfxxfyxxf;.处的切线方程 ) 1,1 (点并求

6、曲 线,处的导数 1在点x)( 求函数 3例2在 xxf解: 由定义求得2)2(lim2limx1x)(1limf(1)f(1lim) 1 (020200 xxxxxxfxxxxx处的切线斜率为) 1,1 ( 在点2 由此知道抛物线xy 2) 1 ( fk所以切线方程为 ) 1(21xy即.12xy; 解 由于 ,203203xxxxxy.203)203203(0lim0 xxxxxxxf方程为的切线 在点 3曲线 ,所以Pxy )0(2030 xxxyy方程为法线的 在点 3曲线 Pxy )0(203130 xxxxy例例4.法线线方处的切线方程与 )0,0(在点 3求曲 线程yxPxy ;

7、。xxfxoxxfy，xxfxyxyxf，xxfx)0()()(0)(lim)()(000000仍成立此外有限增量公式在称为于是时的无穷小是则可导在若二 可导与延续的关系;.为狄利克雷函数 )(其中 ,处可导 0仅在点)()( 证明函数 5例02xDxxDxxf。xfxfxxoxxfy。xf，xf连续在点可导在点注分析连续在点则可导在点若定理不一定00000:)0(0)()(:1 . 4;.可导处 在点 )(所以 ,处不连续 0在点 )(由归归结原理可 ,时0 当 证000不得xxxfxxfx. 0)(0lim0)0()(0lim)0(,)(,00 xxDxxfxfxfxDx因此得到为有界函数

8、由于时当.0,0sin)(6可导性讨论其在连续在函数例xxxxf;。xf，xyxxxxxyxxxyxxxfxfxyxxxxxx不可导在即不存在故由于解0lim1sinlim)sin(limlim1sinlimlimsin)0()0(:000000;)0(0 x-x)0f(xf(x)xlim)0f(x)0f(x0lim0 xlim0 xxxxxxy定义定义2:限域若右极 ,有定义上 ),的某邻 在点 )(设函数000 xxxxfy. )0(记作 ,的右导0 在点 则称该极限为 ,存在xfxf数三 单侧导数的概念1) 右导数右导数 ;类似地, 可以定义左导数 0 x-x)0f(xf(x)xlim)

9、0f(x)0f(x0lim(x)/-f0-xxxx左右导数统称为单侧导数. 2) 单侧导数与导数的关系)。(xf = )(x f )都都存在，(xf),(xf存在)(xf 定义的某邻某 x在点 f(x)若函数y 5.2定理000000且的充要条件是内有; 注注:以下函数个别点的导数或左右导数运用导数的定义.(1) 函数在个别点的函数值单独定义的, 其他点的函数(2) 值用一致解析式定义的(函数在个别点延续).(2) 求分段函数在分段点的导数.例例7.0)(. 0, 0,cos1)(导数与导数处的左右在讨论设xxfxxxxxfxyxyxy-0 x0 x0 xlimlimlim:存在分析; 解 由

10、于 , 0, 1, 0,cos1)0()0(xxxxxfxf因此 , 0cos10lim)0(xxxf110lim)0(xf.处不可导 0 在 所以 , )0()0( 因 为xfff; .上的可导 为 则称 ),单侧导数仅考虑相应的 ,对区间端点(一点都可导上 若函数在区间函数导每IfI即或记作,dxdyyf.,)()(0lim)(Ixxxfxxfxxf定义定义:。ydxd，dxdyxx，的求导施加于也可理解为看成一个整体记号目前注看成变量把看成常量应求极限过程中注:;,:四四 导函数导函数;特别 例例8证明 (i) nnnxnx,1)(为正整数.(ii) xxxxsin)(cos,cos)(

11、sin(iii) ),0, 1, 0(log1)(logxaaeaxxa.1)(lnxx ;1122110012211)(limlim)()( :nnnnnnxxnnnnnnnnxxxxCxCxyyxxxCxCxxxxxyiproof;xxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxyiixxsin)2sin(22sinlimlim)(cos)2sin(22sin22sin2sin2cos)cos()(00;axexxxxxxxxxxxxxxxxyiiiaxxaxaxxaaaaln1log1)1 (log1lim)(log)1 (log1)1 (log1log)(log)(0).(,sgn)(92x

12、fxxxf求设例;0202)(0)0(0lim)0()0(lim)0(0lim)0()0(lim)0(02)2(lim)()(lim)()(lim)(02)(,00000sgn)(:20020002200222xxxxxffxxxfxffxxxfxffxxxxxxxxxxfxxfxfxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxx即时当时时由于解;.值点称极大值点极小值点统 ,极值极大值极小值统称为 .值点)小(为极大 称点 ,值)小(取得 极 在点 则称函数 ),()()( 有)(一切内 )(的某 邻某 在点 若函数0000000极为大对xxfxfxfxfxfxUxxUxf定义定义3四 导数的运用

13、1 极值的概念;.)()(,.0)(, 0)(, 0)(:).()(, 0)()(,00)()(),(, 0,0)()(lim)(:).()(),(, 0, 0)(1100000000000000000000极点不是则存在且不为零若从上例可知的情况用类似方法可证明注即有时从而推得当有对一切由保号性证明有使对任何则存在证明若例xfx，xfxfxfxfxfxfxfxfxxxxxfxfxxxxxxfxfxfxfxfxxxxfxx;。xfxfxxxxf，xfxfxxxxf，xfxfxxxxf，xfxfxxxxfxfx，xfxfxfxf)()(,),(, 0,0)()()(,),(, 0,0)()()(

14、,),(, 0,0)()()(,),(, 0,0)(.)()(,.0)(, 0)(, 0)(:000000000000000000000时当时时当时时当时时当时极点不是则存在且不为零若从上例可知的情况用类似方法可证明注;0)(,;,3 . 50000 xffxxxf则必有的极值点为若点可导在点且的某邻域内有定义在点设函数定理2 定理定理 (费马定理费马定理);注注2:极值点与稳定点的关系:1. 极值点不一定是稳定点,稳定点也不一定是极值点.2. 可导函数的极值点一定是稳定点. 0)(. 0)(, 0)()(),()()()(lim)(:0000000000 xfxfxfxUxxfxfxxxfx

15、fxfxx分析注1。xf的点为稳定点称满足0)(;3 达布达布(Darboux)定理定理 (导函数的介值定理导函数的介值定理)kfbabfafkbfafbaf)(),(,)(),(),()(,4 . 5使得则至少存在一点之间任一数于为介且上可导在若函数定理;),(,)(0)(:,),()(,(*),)(;,)(*)()(),()()(),(0)(, 0)(0)()()()()(,)(,)()(:210201bakfFFemartbaxFbaxFxFbFxFaFxFbUxaUxbFaFkbfkafbFaFbaxFkxxfxF即定理得由内取得只能在的最大值点知由最大值与最小值上有在故因而连续可导因

16、且则分别存在不妨设且上可导在则设证明;作业P94 3,4,6(2),8, 9(2),11,14;2 2 求导法那么求导法那么教学内容：教学内容：1. 给出了函数的和、差、积、商的求导法那么.2. 给出了反函数的求导法那么,并得到了指数函数,反三角函数 的求导公式.3. 给出了复合函数的求导法那么, 并得到了幂函数的求导公式.要求要求:1. 掌握求导法那么,尤其是复合函数的求导法那么.2. 能熟练运用求导法那么及根本初等函数的求导公式计算 初等函数的导数.; 上一节我们讲述了导数的相关知识，从实际上来讲，给了一个函数，总可用定义求其导数只需可导。但用定义计算函数的导数是比较繁琐的。 因此，我们不

17、能满足于只用导数定义求导数，而应去寻觅一些求导数的普通方法，以便能较方便地求出初等函数的导数。在给出较普通的方法之前，先看以下函数如何求导数：xxxfcossin)(1 xxg2sin)(1xxxfcossin)(2 )sin()(2axxgxxxfalogcos)(3 xxgarcsin)(3xcxfsin)(4 xxgarccos)(4;一一 导数的四那么运算法那么导数的四那么运算法那么1 和差运算法那么).()()(,)()()(,)()(5 . 500000 xvxuxfxxvxuxfxxvxu且可导在点则函数可导在点和若函数定理;)()()()()()()()()()()()(:00

18、0000000000 xvxuxxvxxvxxuxxuxxvxuxxvxxuxxfxxfxy分析nkknkkkxuxf，xuxf，xnkxu10010)()()()()2 , 1)(:且可导则可导在若注;xxxxxxxf。xxxxfxxxxxxxf。xxxf1sin3)5(sin)(ln)(cos)()(:5sinlncos)(2cos2)(sin)()sin()(:sin)(1233222解的导数求例解的导数求例;2 乘积运算法那么)()()()()(,)()()(,)()(6 . 50000000 xvxuxvxuxfxxvxuxfxxvxu且可导在点则函数可导在点和若函数定理;)()()

19、()()()()()()()()()()()()(:000000000000000 xvxuxvxxvxxvxuxxuxxuxxvxxvxuxxvxxuxxfxxfxy分析)()()()()()()()()()( :1xvxuxvxuxvxuxvxuxvxu注;xxxxxxxxxfxfxxxfcoslnsin)(sinlnsin)(ln)(:).(,sinln)(3解求设例)()()()()(,)()(,)2 , 1)(:2001010110010 xuxuuxuxuxfxxuxfxnkxunkkknknkkk且可导在则可导在若注;2sin82cos1223)2(sincos33)cos()l

20、n3()(:).2(cosln3)(. 4)(|)(,)(:3233000fxxxxxxxxxffxxxxfxcvxcvcxxvxx解求设例则为常数可导在若函数推论;3 相除运算法那么)()()()()()(,)()()(0)(,)()(7 . 50200000000 xvxvxuxvxuxfxxvxuxfxvxxvxu且可导在点则函数且可导在点和若函数定理?|)(1()()()()(1)()()(:0011xxxvxfxfxuxvxuxvxu转化研究分析;)()(|)(1()()()(1)()()()(1)(1)(1)()(0200100200000001010 xvxvxvxfxvxvxx

21、vxxvxvxxvxxvxxvxxfxxfxx分析;)()()()()()()()()()()()()(1)(|)()(0200000200000 xvxuxvxuxvxvxuxvxuxvxvxuxvxuxvxuxx注故;xxxxxxxxxxxxxxxxxnxxnxxxxx。nxxnnnnnnnnn2222222212121cscsin1sincossinsin)(sincossin)(cos)sincos()(cot:.csc)(cot,sec)(tan6)()1()( :,)(5证明证明例证明其中为正整数证明例;22222)tan3sin5()sec3cos5()(tan3sin5()ta

22、n3sin5()(:).(,tan3sin5)(8cotcscsincossin)(sin)sin1()(csc:cotcsc)(csc,tansec)(sec7xxxxxxxxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxxxxxxxxxx解求设例证明证明例;二二 反函数的导数反函数的导数定理定理5.8 设设)(xfy 为)(yx的反函数，假设)(y在点0y的某邻域内延续，严厉单调且0)( 0y，那么)(xf在点0 x)(00yx可)( 1)( 00yxf 。导，且1:yxxy，如出就把这个变量用下标标的导数变量关于那一个变量有时为了清楚标明一个注;)(1lim1limlim)(0)(, 00; 0

23、0,)()(),()(:0000000100000yyxxyxyxfyxyxyyfyxfxxfyyyyxyyx得由时当且时从而当邻域内连续且严格单调某在故调某邻域内连续且严格单在因设证明;1 指数函数的导数xxxaaxaxxxxeeaaeyyayxayaaaaaay)( :lnlog)(log1)(log:.ln)(),1, 0(注反函数为证明则设;2 反三角函数的导数),(11)cot()4(),(11)(arctan)3() 1 , 1(11)(arccos)2() 1 , 1(11)(arcsin) 1 (2222xxxarcxxxxxxxxx;2211cos11sin1)(cos1)(

24、arccos), 0(,cos) 1 , 1(,arccos:xyyyxyyxxxy的反函数为证明;222211cot11sincsc1)(cot1)cot(cotcotxyyyyxarcyxxarcy的反函数为;三三 复合函数的导数复合函数的导数(链式法那么链式法那么)()()()()(),()()(100000000 xHxfxxxHxfxfxHxxUxxxf从而使得函数的连续内存在一个在点某邻域的可导的充要条件是在在点引理;)()()()(,)()()()()(lim)(lim)()()()()(,)(”“:00000000000000000 xUxxxxHxfxfxxHxHxfxxxf

25、xfxHxxxfxUxxxxfxfxHxxfxxxx且连续在所以则因令可导在设必要性证明;。xHxf，xxfxHxHxxxfxfxUxxxxHxfxfxxUxxHxxxx)()()()()(lim)()(lim)()()()(,)()(”“0000000000000且可导在点所以因且连续它在点若充分性;2 定理定理5. 9 设设)(xu在点0 x可导，)(ufy 在点)(00 xu可导，那么复合函数fy 在点0 x可导，且)( )( )( )( )()(00000 xxfxufxf。;)()()(),()(. .),(,)()()()()()()(. .),(,)(:0000000000000

26、 xxxxxxxtsxxxxuuUuuuuFufufuFuftsuFuuuf且续的函数连同理存在一个在可导在又由且连续的函数在则由引理存在一个可导在点由证明;)()()()()()(,)()()(,)(,)()()()()()()(0000000000000 xufxxFxHfxfxxxFxHxuFxxxxxFxxxFxfxf且可导在由引理充分性得连续在所以连续在连续在因为于是有.)()()(| )()(1)(含义不可混淆与注xxfxfufxfxu;dxdddvdvdududydxdyxxJhvvguufydxdududydxdyxuufy导数为在的复函数可导函数函数可推广到多个函数复合写成般

27、可的复合函数求导公式一函数为链式法则复合函数求导公式也称注,)(),(),(),(,)(),(,2;x。xxxuxuyxuuyxy。yxy2sincossin2cos2)(sin)(sin,sin:,sin82222故的复合由解求设例。xxy为实数的导数求幂函数例),0(9;1lnln)ln()()(ln,:xxexexexxueyexyxuuxu故的复合为解).(),1ln()(102xfxxxf求设例;22222222211)11 (11)1 (1211 11)1(11)1ln()(:xxxxxxxxxxxxxxxxf解.,)(arctan11313yeyx求设例;223222323313

28、3131333311)(arctan31131)()()(arctan)(,arctan,)(arctan:xeeexevuxevudxdddvdvdududyyxevvuuyeyxxxx的复合为解;3333333333332232323223232311)(arctan)(11)(arctan31)(11)(arctan31)(arctan)(arctan31)(arctanxxxxxxxxxxxxeexexeeeeeeeeey熟练后;)2cos()2sin(21)21(|)cos()sin(2)cos()sin(2)(sin()sin()()(:21),()sin(1221222222es

29、vttetetetetets。ttesvtttttt解时质点的运动速度试求为常数设一质点的运动方程为例;xexxxxeyyeyxxx2sin1)1(1cos1sin2:.,131sin221sin1sin222解求设例;3 对数求导法对数求导法求导然后两边对数则采用两边取对求导时或幂指函数幂运算表达的函数除对由某些函数乘x，xuy，、xv)()(;1lnln,)(lnln)(ln1)2()(lnln) 1 ()(yydxdydyyddxyd。xyxyyxfdxdyyxxfyxfy为自变量函数为中间变量为以这里求导两边对两边取对数如.),1(1) 1(114222yxxxxxy求设例;)1121

30、1(1) 1(1122112111)1ln(21) 1ln(2)1ln(ln:222222222xxxxxxxxyxxxxyyxxxxxy即求导得两边对两边取对数得解。y，xvxuxuxuyxv)()()(0)(,)(15求均可导和且其中设例;)()()()(ln)()()()()()(ln)()()(ln)()()(:1)()()()(ln)()(ln)()(xvxuxuxuxvxuxuxuxvxuxvxuxuxveexuyxvxvxvxuxvxuxvxv解.,16yxyxx求设例;)ln11(lnln)ln11(lnln1ln11ln1ln1lnlnlnlnlnlnln:xxxxxxxxx

31、yyyxxxxxyyyxxxxyxxyxxxx求导两边对解;例例17.),4() 4(5) 2() 4(2) 5(2131yxxxxxy求设;先对函数取对数, 得解解).4ln(21) 2ln(5) 4ln(31) 5ln(2) 4(5) 2() 4(2) 5(lnln2131xxxxxxxxy再对上式两边分别求对数, 得.)4(2125)4(3152xxxxyy整理后得到.)4(2125)4(3152)4(5)2()4(2)5(2131xxxxxxxxy; 初等函数导数的计算方法:1.利用求导的四那么运算法那么及复合函数的链式法那么求导； 2.利用反函数求导法那么求导； 3.对数求导法； 4

32、.利用导数的定义求导； ;1 根本求导法那么1 )(vuvu 2. )(uvvuuv， )(cucu 32)(vuvvuvu，21)1(vv 4反函数导数 dydxdxdy1 5.复合函数导数 dxdududydxdy;2 根本初等函数导数公式10)(c21)(xx )(R3xxcos)(sinxxsin)(cos4xx2sec)(tanxx2csc)(cotxxxtansec)(secctgxxxcsc)(csc5aaaxxln)(xxee)(6axxaln1)(logxx1)(ln;7211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cot(xxarc。

33、 P102 2(4)(5)(12), 3(8)(10)(15)(19)(23)(25)4(2),5(4),6;3 3 参变量函数的导数参变量函数的导数教学内容：教学内容：本节给出了由参量方程所确定的参变量函数的求导法那么.教学重点教学重点:参量方程的求导法那么.要求要求:能熟练求出参变量函数的导数.;问题的提出问题的提出:如何求由参量方程所确定的函数的导数呢?在解析几何上，我们遇到过曲线的参数方程。例如，椭圆的参数方程为)(sin)(costtbyttax )20( t;参数方程所确定的函数的求导参数方程所确定的函数的求导)()()()(:ttytxxyyC参变量方程一般的表达形式是平面曲线。

34、ttttC的切线斜率点对应于求曲线)(),(1000;)(000000000000000000000|)()()()()()(lim)()()()(limlimlimtan,0,)()()()(0)(,)(),(txtttxPQdxdyttttttttttttttttxyxyPTPQtPCQttttttxyktttt时即时趋于沿则且可导在设;20)()(limcot0)(, 0)(:100000ttyxttt则只要若注光滑曲线。Ctt为光滑曲线这时称且存在连续的导函数在若, 0,)(),(2 2 ;)()()()(:2ttytxxyyC式是参变量方程一般的表达形平面光滑曲线注) 1 ()()(

35、ttdxdy则例例1试求摆线20),cos1 (),sin(ttayttax所确定的函数)( xyy 的导数.;解解由公式(1)求得2cot)cos1 (sinsin()cos1 (ttatattatadtdxdtdydxdy)()(, 0)(,)()(:)()(211ttdtdxdtdydxdtdtdydxdytxtyCxttx由复合函数求导法规有可导且只要则具有反函数若;)2(tan)()()(tan)(sin)(cos)(cos)(sin)()cos)()sin)(,)(sin)(sincos)(cos,)(. 3dxdydxdyyxC即则可导若为参数方程以参量则可转化为给出由极坐标曲线

36、;)()(tantan1tantan)tan(tan的正切是的夹角与切线的射线过点MTOHM;。aar径的极角线与向径的夹角等于向上任一点的切圆证明例)0(sin2:2tancos2sin2)()(tan:aarr对圆上每一点都有证明作业 P105 1(1),3,6;4 高阶导数高阶导数教学内容：教学内容：1、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数、给出了高阶导数的定义，并得到幂函数y=xn、三、三角函数角函数 y=sinx、y=cosx、指数函数、指数函数y=ex的的n阶导数公式。阶导数公式。2、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。、给出了求两个函数乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。3、给

37、出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计、给出了求由参量方程所确定的函数的二阶导数的计算公式。算公式。要求：要求： 熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式熟练掌握各类函数高阶导数的计算及莱布尼茨公式的运用。的运用。;问题的提出：问题的提出： 速度是位移的导数，而加速度又是速度的速度是位移的导数，而加速度又是速度的导数，那么加速度与位移是什么关系呢？导数，那么加速度与位移是什么关系呢？知运动规律)(tss ，那么它的一阶导数为)( tsv ，在一段时间t内，速度的ttvttvtv)()(当0t时，极限tvt0lim 就是加速度，即速度，即平均变化率为:;)( ()( )(tstvta说加

38、速度是路程对时间的二阶导数。 对时间的导数的导数。)(ts加速度是路程)( ()( )(tstvta)( lim)(0tvtvtat综上知：;一一 高阶导数的概念高阶导数的概念。xfxxfxxfxf，xf，xfxf，xffxx二阶可导在同时称即记作的二阶导数在导数为的在则称可导在的导函数若函数定义0000 0 000)()(lim)()(1) 10;)1()()(0 )()(: )(1)()(lim)(),()2xfxfxfnfnf，xxfxxfxfIxxf，If，Ifnnnx函数阶导的阶导函数可定义的由一般地记作上二阶导函数在则可得到上每一点都二阶可导在区间若;)()()(0)(0)1()(

39、,),(:,|),()()(:)300nnnnxxnxxnnnnnydxydxfnydxydxf，nxfxfxf阶导函数记作记作阶导数处在二阶及二阶以上的导数高阶导数;二二 高阶导数的计算高阶导数的计算例例1 求幂函数求幂函数 n 为正整数的各阶导数。为正整数的各阶导数。 求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法求高阶导数无非是反复运用求一阶导数的方法,普通来说先求出有限阶普通来说先求出有限阶,然后总结出普通规律然后总结出普通规律.; 由此可见，对于正整数幂函数由此可见，对于正整数幂函数xn，每求导一次，其幂次降，每求导一次，其幂次降低低1，第，第 n 阶导数为一常数，大于阶导数为一常数，大于

40、 n 阶的导数都等于阶的导数都等于0。解解 由幂函数的求导公式得由幂函数的求导公式得;.,cos2)(nyxy求设例xysin:解)2cos(xxycos )2sin(x)22cos(xxysin )22sin(x)222cos(x)2cos()(nxyn故)2sin(,sin:)(nxyxyn则若类似;.3各阶导数求例xey xxee)(:解xxee )(xnxee)()(;三三 求高阶导数法那么求高阶导数法那么)()()()() 1nnnvuvu2) 莱布尼茨公式莱布尼茨公式2) 莱布尼茨公式莱布尼茨公式莱布尼茨公式：莱布尼茨公式：;解解 令令 由例由例2和例和例3有有运用莱布尼茨公式运用

41、莱布尼茨公式n=5得得)(cos4nxyx，ey求设例;.,) 1(15)(nyxxy求设例111:xxy解)()1(nx)(1)(nx11!) 1(!) 1(nnnnxnxn)()11(nx1) 1(!) 1(nnxn)(ny) 1(11( !) 1(11nnnxxn)()1(nx)()11(nx;3) 分段函数的高阶导数分段函数的高阶导数例例5 研讨函数研讨函数 的高阶导数。的高阶导数。解解 当当 时，时， 当当 时，时， 当当 时，由左右导数定义不难求得时，由左右导数定义不难求得 而当而当 时，时， 不存在，整理后得不存在，整理后得 当当 时时;4) 由参量方程所确定的函数的高阶导数由参

42、量方程所确定的函数的高阶导数) 1 ()()(, 0)(,)()()(ttdxdytnttytxxyy则且阶导数有直到其中所确定由参数方程设函数确定参数方程由即)()()()()(ttdxdytxttdxdy;3 22)()()()()()()()()()(ttttttttdtddtdxdxdydtddxdtdxdydtddxdydxddxyd )()( )2()()()()()( 22322ttdxydtttttdxyd 注;。xfyttbytax的一阶二阶导数所确定的函数程求由上半椭圆的参数方例)(0sincos7.cotsincos)cos()sin()2)(1 (:tabtatbtat

43、bdxdy得由公式解.cscsincsc)cos()cot()(32222tabtatabtatabdtdxdxdydtddxyd;5) 复合函数的高阶导数。xyxgxgfxgxgfxgxgfxgxgfdxdxgxgfdxdxyxgxgfxynIgfIxxgfy数求导法规时对上式仍采用复合函从而求则阶导数直到都有在和其中设)()()()()()()()()()()()()()()(,)( 2 ;)(arctan7nyx，y求设例)(coscostan1111:2222xyyyxy解求导方程两边对x y)2(2sincossincos22yyyyy y2)2(202cos)2(2sinsinco

44、s2yyscyyyysin)2(2sincos)2(2coscos23yyyyy)2(3sincos2)3cos(cos233yyyy;)2(sincos)!1(:)(ynynynn若1)1()2(coscos)2(sinsincos)!1(yynynynyynnynnn)2)(1sin(cos!1ynynn)2(sincos)!1()(ynynynnn求导两边对求导两边对则注由xyxxy，xyxxy0)1 (21)1 (11 222;作业P109 2,3(3)(4),4(2),5(4),6(1); 5 微微分分教学内容：教学内容：1、给出了函数在一点得微分可微的概念，并证明、给出了函数在一点

45、得微分可微的概念，并证明了可导与了可导与 可微是等价的。可微是等价的。2、微分运算法那么以及一阶微分方式的不变性。、微分运算法那么以及一阶微分方式的不变性。3、高阶微分的定义与计算，并阐明高阶微分不具有方、高阶微分的定义与计算，并阐明高阶微分不具有方式的不变式的不变 性。性。4、微分在近似计算中的运用。、微分在近似计算中的运用。要求要求:1、掌握微分概念，了解微分的分析和几何意、掌握微分概念，了解微分的分析和几何意义。义。2、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联、掌握微分与导数的异同以及它们之间的联络。络。; 由两部分组成：由两部分组成： 阴影部分阴影部分 它是关于它是关于 的高阶无穷小量的高

46、阶无穷小量因此，当给因此，当给 一个微小增量一个微小增量 时，由此引时，由此引起的正方形增量起的正方形增量 可近似地用可近似地用 的线性部分的线性部分 来替代，且来替代，且由此产生的误差是一个关于由此产生的误差是一个关于 的高阶无穷小量。的高阶无穷小量。例：设一边长为例：设一边长为x的正方形，它的面积的正方形，它的面积 是是 正数。假设边长由正数。假设边长由 添加到添加到 ，相应地正方，相应地正方形形202020)(2)(xxxxxxs2xs 0 xxx0面积地增量面积地增量;一一 微分的概念微分的概念1定义定义1设函数设函数 定义在点定义在点 的某邻域的某邻域 内。当给内。当给 一个增量一个

47、增量 时，相应地得到函数的增量为：时，相应地得到函数的增量为： 假设存在常数假设存在常数A，使得，使得 能表示成能表示成那么称函数那么称函数 在点在点 可微，并称可微，并称1式中的第一项式中的第一项 为为 在在点点 的微分，记作的微分，记作 1或或留意：函数的微分与增量之间仅相差一个关于留意：函数的微分与增量之间仅相差一个关于 的高阶无穷的高阶无穷 小量。小量。 假设函数假设函数 在点在点 可微，那么在点可微，那么在点 的小邻域内可的小邻域内可 用切线替代曲线。用切线替代曲线。;2 可导与可微的关系可导与可微的关系xxfdyxfAxfxf)()(,10. 50000即而且可导在可微的充要条件是在函数定理可导可微在必要性分析)0()()(,”“0 xAxxoAxyxoxAyxf)()0, 0()(”“00 xodyxxxxfyxf有限增量公式可导在充分性;PQQR3 微分几何意义长小得多比的长时即当且如图0000,0, 0)()()0, 0()(:RQQQxxRQQQxfRQQQxfPRQQxdyyQQdyyxxxxfRQy;4 区间上可微函数xxxfdxdyxxfyxxxxfdyIfIfIxfy)()(),()(,)(时当也依赖于不仅依赖于上微分记