垂径定理—知识讲解提高

1、【学习目标】1. 理解圆的对称性；2. 掌握垂径定理及其推论；3. 学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题.【要点梳理】知识点一、垂径定理1. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2. 推论平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧要点诠释:1垂径定理是由两个条件推出两个结论，即直径 垂直于弦J平分弦= 平分眩所对的弧这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论:1平分弦该弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3 平分

2、弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.4圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论注意：“过圆心、平分弦作为题设时，平分的弦不能是直径【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明&1.如图，。O的两条弦AB CD互相垂直，垂足为E,且AB=CDCE=1, ED=3,那么。O的半径是.【答案】【解析】作OML AB于M ONL CD于 N,连结OAAB=CD CE=1, ED=3, OM=EN=1AM=2 0A= 22+12 =、5 .【点评】

3、对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算配合勾股定理问题举一反三：【变式1】如下图0两弦AB CD垂直相交于H, AH= 4, BH= 6, CH= 3, DH= 8,求O 0半径.【答案】如下图，过点O分别作OMLAB于M ONL CD于N,贝U四边形MON为矩形，连JV MO HN CN CH -CD CH2结OB-(CH DH ) CH -(3 8) 3 2.5 ,2 2BM1 1 1-AB 严 AH) 2(4 6) 5,在 Rt BOM中, OB JBM2 OM2 -45 .2【高清ID号：356965关联的位置名称播放点名称：例2-例3】【变式2】如图，AB

4、为。O的弦，M是AB上OO的半径.【答案】14cm.点，假设 AB= 20cm, MB= 8cm, OM= 10cm 求C【高清ID号：356965关联的位置名称(播放点名称)：例2-例3】軌.：O O的半径为10cm弦AB/ CD AB=12cm CD=16cm求AB CD间的距离.【思路点拨】在O O中，两平行弦AB CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，假设分别作弦AB CD的弦心距，那么可用弦心距的长表示这两条平行弦 AB CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1,当OO的圆心O位于AB CD之间时，作 OMLAB于点M,并延长MO交CD于 N点.分别连结AO CO. AB/ CDON

5、L CD即ON为弦CD的弦心距./ AB=12cm CD=16cm AO=OC=10cm.AM= -AB=6cm.CN= 1 CD=S cm2 2MN=MO+NO=V103 - 63 + -扌=8+6弦ABCD之间即弦AB=14(cm)图1图2 如图2所示，当。O的圆心O不在两平行CD在圆心0的同侧时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm) /0中，平行弦AB CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解举一反三:【变式】在。0中，直径MNLAB,垂足为C, MN=10 AB=8那么MC=【答案】2或8.类型二、垂径定理的综合

6、应用G3.要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h = 8mm如下图，求此小孔的直径d.【思路点拨】此小孔的直径d就是。O中的弦AB根据垂径定理构造直角三角形来解决.【答案与解析】过0作MNLAB交O 0于M N,垂足为C, 1那么 0A - 10 5mm , 0C= MC- 0M= 8 -5 = 3mm2在 Rt ACC中, AC= 52 32 4mm ,AB= 2AC= 2 x 4= 8mm答：此小孔的直径d为8mm【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.不过圆心的直线I交。0于 C、D两点，AB是。0的直径，AELl于E, BF丄l于F.(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； 请你观察 中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论 (0A= OB除外)(不 再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能