双曲线知识点总结例题

1、二双曲线知识点及稳固复习1. 双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线假设一个动点到两定点距离之差等于一个常数， 常数的绝对值小于两定点间的 距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支Fi，F2为两定点，P为一动点， 假设|PF i|-|PF 2|=2a 02a|FiF2|那么动点P的轨迹是 2a=|FiF2|那么动点P的轨迹是 2a=0那么动点P的轨迹是 假设|P F i|-|PF 2|=2a 02a|FiF2|那么动点P的轨迹是 2a=|FiF2|那么动点P的轨迹是 2a=0那么动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质1

2、焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率e=范围越大双曲线的开口越e 越小双曲线的开口越|PF2|=(F焦半径公式|PFi|=1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的渐近线(1)焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率e=范围 e越大双曲线的开口越 生 越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PFi|=FF2F F 1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点1. 等轴双曲线：特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直卩一厘离心率为2. 共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实轴

3、为虚轴的双曲线叫原双曲线 的共轭双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆J双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系+ - = 11 共焦点的双曲线的方程为0kvc2,c为半焦距2共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值， 弄清是指 整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、动圆M与圆C1： x+ 42 + y2 = 2外切，与圆C2: x 42 + y2 = 2内 切，求动圆圆心M的轨迹方程与双曲线山【例2】假设椭圆rnF2, P是两条曲线的一个交点，贝U |PFi| IPF2I的值是A.口B.D.vih /a【例3】双曲线与点M( 5，3)，F为右焦

4、点，假设双曲线上有一点P, 使-；最小，那么P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1 定义法，根据题目的条件，假设满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程.2 待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法 与双曲线a2b2=1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2b2=t(t工0)； 假设双曲线的渐近线方程是y=农，那么双曲线的方程可表示为a在双曲线的标准方程中， 假设 x2 的系数是正的， 那么焦点在 x 轴上；如果 y2 的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上，且对于双曲线， a 不一定大于 b. 2. 假设不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：bLt(t

5、工0);与双曲线a2 b2= 1共焦点的方程可表示为a2k b2+ k= 1( b2kVa2);x2 y2 过两个点的双曲线的标准方程可表示为m+ n = 1( mn b 0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2 -入+ b2-入=1(b2 入 a2).例 4、求以下条件下的双曲线的标准方程x2 y2(1) 与双曲线9 16= 1有共同的渐近线，且过点(一3, 2);x2 y2mx2+ny2=1(mn0, b0)的右顶点为 A, x轴上有一点AP PQQ(2a, 0)，假设C上存在一点P,使t 0,求此双曲线离心率的取值范围.例6、【活学活用】3.(2021北京期末检测)假设双曲线a2-b2=

6、1(a0, b0)的两个焦点分别为Fi、F2, P为双曲线上一点，且|PF|= 3|PB|，那么该双曲线的离心率 e 的取值范围是 上，那么双曲线的离心率 e的范围是75例 8】设P为双曲线两个焦点，假设码I I丹 3 ,那么场的面积为上的一点，厲兀是该双曲线的C. 门24【评注】解题中发现 PFF2是直角三角形，是事前不曾想到的吧可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处 .渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而

7、又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中【评注】在双曲线即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄将双曲线a1的实、虚轴互易，所得双曲线方程为:共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用【例10】两共轭双曲线的离心率分别为设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求.请看下例:【例11】双曲线_1的一弦中点

8、为2，1，那么此弦所在的直线方程为a*1 B.C. p =d. y = 2x3“设而不求具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它但是，“设而不求的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子 .请看:【例12】在双曲线宀-上，是否存在被点 M 1，1平分的弦如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.女口果不问情由地利用“设而不求的手段，会有如下解法:练习1. 2021安徽高考双曲线2x2 y2= 8的实轴长是A. 2B. 2 C . 4D. 42. 2021山东高考双曲线x2 b2= 1a0，b0的两条渐近线均和圆C:

9、 x2 + y26x + 5= 0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，那么该双曲线的方程为y2y26 = 19(x2),6) 3 = 1x2 y2y2A. 5 4 = 19(x2),4) 5 = 19(x2),3)3. 2021嘉兴测试如图，P是双曲线4 y2= 1右支在第一象限内上的任意一点，A，A分别是左、右顶点， O是坐标原点，直线 PA, PO PA的斜率分别为ki, k2, k3,那么斜率 之积kik2k3的取值范围是D (0 , 2)4.金榜预测在平面直角坐标系A. (0,1) B . (0 , 8) C . (0 , 4)xOy中， ABC的顶点 A 5,0和Q5,0，顶点x2

10、y2sin BB在双曲线 16 9 = 1 上，贝U |sin A sin C| 为()3A.29(2),3)9( 5),4)9(4),5)x2 y222225. P为双曲线9 16= 1的右支上一点，M N分别是圆(x + 5) + y = 4和(x 5) + y=1上的点U | PM I PN的最大值为离心率为A. 6 B . 7 C . 8 D . 96 . 2021南宁模拟点F,F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，假设厶PFF2为等腰直角三角形，那么该双曲线的A. + 1 B. + 1 C . 2D. 2x2 y27.方程2 m+ |m| 3 = 1表示双曲线.那么 m的取值

11、范围是 & 2021大连测试在双曲线 4x2 y2= 1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|0A JOB = 15,其中0为双曲线的中心，贝U AB中点的轨迹方程是 .x2 y2b2 + 19.双曲线a2 b2= 1(a0, b0)的离心率是2,贝U 3a的最小值是 102021肇庆模拟中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1 3,0, 一条渐近线的方程是x 2y= 0.1求双曲线C的方程;直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为马，求k的取值范围.11.(文用)中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0).(1)求双曲线C的方程；M N,且线段MN的垂 假设直线：y = kx + m

12、(kM0,0)与双曲线 C交于不同的两点直平分线过点A(0，- 1)，求实数m的取值范围.12中心在原点，顶点A、A在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6,6). (1)求双曲线方程.动直线I经过 APA的重心G与双曲线交于不同的两点M N,问：是否存在直线I,使G平分线段MN证明你的结论.宀X13双曲线丄 ，问过点A( 1,1)能否作直线彳，使；与双曲线交于 P、Q两点，并且A为线段PQ的中点假设存在，求出直线的方程，假设不存在，说明理由14点N (1，2)，过点N的直线交双曲线=1顾丄+于A B两点，且(1 )求，那么A B、C D四点直线AB的方程；2假设过N的直线丨交双曲线于 C D两

13、点，且 是否共圆为什么二双曲线知识点及稳固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线假设一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支Fi，F2为两定点，P为一动点， 假设|PF i|-|PF 2|=2a 02a|FiF2|那么动点P的轨迹是 2a=|FiF2|那么动点P的轨迹是 2a=0那么动点P的轨迹是2假设|P F i|-|PF 2|=2a02a|FiF2|那么动点P的轨迹是2a=|FiF2|那么动点P的轨迹是 2a=0那么动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.

14、双曲线的性质(1)焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率e=范围 e越大双曲线的开口越 二 越小双曲线的开口越渐近线焦半径公式|PFi|=|PF2|= (F 1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的(2)焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y 的范围顶点焦点对称轴对称中心 实半轴的长 虚半轴的长 焦距离心率e=范围 e越大双曲线的开口越 _乞 越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PFi|=|PF2|= F 1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点3. 等轴双曲线:卄花特点实轴与虚轴长相等渐近线互相垂直 止离心率为4.

15、共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点有共同的渐近线四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系3共焦点的双曲线的方程为0).=1伽?总AO)例 1】假设椭圆曲 旳有相同的焦点F1,a. Tn-tiB.C.D.【解析】椭圆的长半轴为e |/7i r叫(】)双曲线的实半轴为|円i|叫-上卩(矿-(町跖|=4(ip)=|j=严|连FP，那么.此时|+i|=|Pjf |+ 皆 M|= |JfV|= 5- 1= 最XT J3 = 1在中，令畀，得LL 12. 一取12 ； i .所求P点的坐标为2门门.考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1定义法，根据题目

16、的条件，假设满足定义，求出相应 a、b、c 即可求得方程 2待定系数法(2) 待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线02 bL 1有共同渐近线的双曲线方程可表示为 02 bL t(t工0)；bx2 y2假设双曲线的渐近线方程是 y = ax,那么双曲线的方程可表示为a2 b2 = t(t工x2 y2x2 y2220)；与双曲线a2 62= 1共焦点的方程可表示为a2 k b2 + k= 1( b k V a); 过两个点的双曲线的标准方程可表示为m+ n = 1( mn b 0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2 -入+ b2-入=1(b2 入 0,4 + k 0.将点(3，2)代入得 k

17、= 4，且满足上面的不等式，所以双曲线方程为 12 8=1.1. 在双曲线的标准方程中， 假设 x2 的系数是正的， 那么焦点在 x 轴上；如果 y2 的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上，且对于双曲线， a 不一定大于 b.2. 假设不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：m)2 + ny2 = 1( mnc 0), 以防止分类讨论考点 3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、 平面几何的知识联系密切, 解题时要深刻理解确定双曲 线的形状、大小的几个主要特征量,如 a、b、 c、 e 的几何意义及它们的相互关系,充分利 用双曲线的渐近线方程,简化解题过程x2 y2例

18、3、(12分)双曲线C： a2 b2= 1(a0, b0)的右顶点为A, x轴上有一点AP PQC(2a, 0)，假设C上存在一点P,使t0,求此双曲线离心率的取值范围.【标准解答】设P点坐标为(x, y),那么由PQ一 0,得 API PQ即P点在以AQ为直径的圆上，3a 22 a 2x2 y2(x 2) + y= (2).又P点在双曲线上，得a2 - b2 = 1.(a2+ b2) x2 3a3x + 2 a4 a2b2= 0.即(a2+ b2) x (2 a3 ab2)( x a)=分2a3ab2当x= a时，P与A重合，不符合题意，舍去当x = a2 + b2时，满足题意的2a3ab2

19、2222 c 6P点存在，需x = a2 + b2 a，化简得a2b，即卩3a 2c，av2.10分.离心c6率 e = a (1 ， 2).12 分例4、【活学活用】3.2021北京期末检测假设双曲线a2 b2= 1a0，b0的两个焦点分别为 只、F2， P为双曲线上一点，且| PF1| = 3| PB|，那么该双曲线的离心率e的取值范围是.|PF1| = 3|PF2|解析:依题意得 |PF1| |PF2| = 2a由此解得 | PF?| = ac a，即卩 cw2a， e= aW2，即该双曲线的离心率不超过2.又双曲线的离心率大于1，因此该双曲线的离心率e的取值范围是1,2.【例5】直线过

20、双曲线的右焦点，斜率k=2.假设/与双曲线的两个交点分别在左右两支【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为直线的斜率为2,所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与之相交.故有如下妙解【解析】如图设直线孑的倾斜角为a,双曲线渐近线臥的倾斜角为B .显然。当3a时直线与双曲线的两 个交点分别在左右两支上由Im位n - 2 -_5aa为双曲线上的一点，%、是该双曲线的两个焦点IHI 3 2，那么輕的面积为B .竝C. 诡【解析】双曲线的

21、实、虚半轴和半焦距分别是:.设;.双曲线中1，故取e7弓选D|序|二梵肉|二二|稠卜朋|二加二人二尸二于是11 =咼禺 I = 4二册T +1邮 f=52 =故知 PF1F2是直角三角形，/ FP F2=90 .W=WII=x6x4=12选B.【评注】解题中发现 PFF2是直角三角形，是事前不曾想到的吧可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维能力，这正是命题人的高明之处 .渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开.双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何

22、性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中y = -jc【例7】过点1, 3且渐近线为？ 的双曲线方程是刍-宀1【解析】设所求双曲线为点1，3代入：YV .代入1：【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄将双曲线口=i的实、虚轴互易，所得双曲线方程为:共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用【例8】两共轭双曲线的离心率分别为考点5、直线

23、与双曲线位置关系设而不求一一与借舟弃舟同理A v = 2x-l B y = 2x-2 Cy = 2x-3 D p = 2x+3【解析】设弦的两端分别为观讣片.那么有:2屛-两二 On耳十恶二4打=垄二吃=型玉2,1,5 I羽-2.故直线的斜率 SAB鬥那么所求直线方程为:f-心-上y “ I应选C.“设而不求具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以 用虚设代替而不必真地去求它.但是，“设而不求的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子 .请看:2【例10】在双曲线- 上，是否存在被点 M 1，1平分的弦如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理

24、由.如果不问情由地利用“设而不求的手段，会有如下解法:【错解】假定存在符合条件的弦 AB,其两端分别为：A X1, y1 ，B X2，y2.那么:?=斥-弓屮叫-紬-片 5 = 0!v M 1，1为弦AB的中点,代入1； 2斗-町一卅-旳=。化 =乩# =22这个结论对不对呢我们只须注意如下两点就够了:其一：将点M 1,1 代入方程，发现左式=1-2 2 1,故点M 1,1在双曲线的外部；其二：所求直线ab的斜率斤三 7，而双曲线的渐近线为尸1 3.这里.乜 2x6x + 5= 0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，那么该双曲线的方程为 -2x1Z = 2=2x1 4r+3=02这里A=16-

25、24-i0，故方程2无实根，也就是所求直线不合条件此外，上述解法还疏忽了一点：只有当W 七时才可能求出k=2.假设气说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件结论；不存在符合题设条件的直线.练习1. 2021安徽高考双曲线2x2021山东高考双曲线a2 b2= 1a0，b0的两条渐近线均和圆C: x2 + y2 y2= 8的实轴长是A. 2B. 2C. 4D. 4解析：2x2 y2 = 8化为标准形式:x2 y224 8 = 1， a = 4. a = 2. 实轴长 2a= 4.x2 y2A. 5 - 4 = 19(x2),4) = 19(x2),3)-y2=19(x2),6)- 3

26、 = 1x2 y2b解析：由题意得，a2- b2= 1 a0, b 0的两条渐近线方程为 y= ax,即bx ay= 0,又圆C的标准方程为：x- 32 + y2= 4,半径为2，圆心坐标为3,0a + b = 3 = 9,且a2 + b2= 2，解得 a = 5, b = 4. 该双曲线x2 y2的方程为5 - 4 = 1.3. 2021嘉兴测试如图，P是双曲线4 y2= 1右支在第一象限内上的任意一点，A, A分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线 PA, PQ PA的斜率分 别为k1, k2, k3,那么斜率之积k1k2k3的取值范围是A. (0,1) B1 1 (0 , 8) C . (

27、0 , 4)1D (0 , 2)解析:设 P(x, y)，那么x (0 ,2 22)，且 x - 4= 4y (x 0, y0), k1k2k3= x(xy3- 4 =(0 ,18).4. 金榜预测在平面直角坐标系 xQy中， ABC的顶点A - 5,0和Q5,0，顶点x2 y2sin BB在双曲线 16- 9 = 1 上，贝U |sin A - sin C| 为3A.29(2),3)9( 5),4)9(4),5)解析：由题意得a= 4, b= 3, c= 5.A、C为双曲线的焦点， | BQ-| BAI = 8, | AC|=10.1C854sin B|ACI由正弦定理得 |sin A -

28、sin C| = |BC| - |BA|x2 y25. P为双曲线9 - 16= 1的右支上一点,. . 2 2 2 2M N分别是圆(x + 5) + y = 4 和(x 5) + y=1上的点，贝U | PM-1 PN的最大值为A. 6 B . 7 C . 8 D . 9解析：易知两圆圆心为 Fi 5,0 , F25,0.由双曲线方程知a= 3, b= 4,贝U c = 5,故两圆心恰好为双曲线的两个焦点.| PM -1 PN的最大值为如下列图的情况,即| PM - | PN 三 I PF| + | FiM - (| PFa| - | NF|) = | P冋 + 2- | P| + 1 =

29、 2a+ 3 = 2X 3 +3= 9.6. 2021南宁模拟点F1, F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，假设PFH为等腰直角三角形，那么该双曲线的离心率为A. + 1 B. + 1C. 2 D. 2解析：不妨设P点在双曲线的右支上,那么 | PF| - | PF| = 2a. PFF2是等腰直角三角形，只能是/ PF2F1 = 90,.| PF| =|FF| = 2c,丨 PF| = 2a+ |PF| = 2a+ 2c, (2 a+ 2c) 2= 2 (2 c)2,即 c2 2ac-a2 = 0,两边同除以 a2，得 e2-2e-1 = 0.：e 1 , e=+ 1.x2 y27

30、. 方程2-m+ |m| - 3 = 1表示双曲线.那么m的取值范围是 2 ir 0,解析：注意分两种情况.一是实轴在x轴上，二是实轴在y轴上.依题意有|m| - 3v 0,2 mK 0,或|m| - 30,得 m3 或3k nK 2.& 2021大连测试在双曲线 4x2- y2= 1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA JOB = 15,其中O为双曲线的中心，贝U AB中点的轨迹方程是 .解析：双曲线4x - y = 1的两条渐近线方程为 2xy = 0,设A( m,2n) , B( n， 2n), AB2m 2n,22中点 Mx, y)，贝U ,即 y = m n,所以 4x y =

31、4mn由 | OA 丨 OB = x= |m x |n| = 15,得 | miji = 3,2 2 x2 y2所以AB中点的轨迹方程是 4x y = 12, 即卩3 12= 1.x2 y2b2 13a 111 33a = a+ 3a 23= 3,9. 双曲线a2 b2= 1(a0, b0)的离心率是2,贝U 3a的最小值是 c c2 2 2222b2 1解析：a = 2? a2= 4? a + b = 4a ? 3a = b ,贝U 3a13当a = 3a,即a= 3时取最小值10(2021肇庆模拟)中心在原点的双曲线C的一个焦点是F* 3,0), 一条渐近线的方程是 x 2y= 0.(1)

32、 求双曲线C的方程；(2) 假设以k(k工0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点 M N,且线段MN勺垂81 直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2 求 k 的取值范围.x2 y2a2= 4解: (1)设双曲线C的方程为a2 b2= 1(a0 , b0),由题设得5解得b2 = 5.所以双曲线C的方程为：x2 y2(2)设直线l的方程为：4 5 = 1. y = kx + m(k丰0),y2 x2 (kx m贝点 M(x1 y1) N(x2 y2) 的坐标满足方程组= 1 得 4 5= 1整理得(5 4k2) x2 8kmx- 4ni 20 = 0.此方程有两个不等实根，于是5 4

33、k2 0 ,2 2 2 2 2且 A = ( 8km) + 4(5 4k )(4 m2+ 20) 0,整理得 mi+ 5 4k 0.y0= kx0x1 x24km由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(xo, yo)满足xo=2 = 5 4k2,5m5m 1 4km+ m 5 4k2，从而线段 MN的垂直平分线的方程为 y 5 4k2 = k(x 5 4k2).此直线与 x 轴, y 轴的交点坐标分别为9km9m1 9km 9m 81(5 4k2, 0) , (0 , 5 4k2)，由题设可得 2|5 4k21 5 4k2| = 2 ,整理得(54k2,心o.将上式代入式得(5 4k22|k|

34、54k1 20,整理得(4k可得 m3k 1 且 kz 3.设 Mx1, y , Nx2, y2), MN的中点为 B(xo, yo), 5)(4 k2 | k| 5) 0, k 丰 0，解得 0V | k| V 2 或 | k| 4.5555所以 k 的取值范围是(一R, 4)U ( 2,0) U (0 , 2) U(4 ,+s).10. (文用)中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0).(1) 求双曲线C的方程；MN的垂(2) 假设直线：y = kx + m(kM0,0)与双曲线C交于不同的两点 M N,且线段直平分线过点 A(0 , 1) ,求实数 m 的取值范围.x2 y2解： 设双曲线方程为a2 b2= 1(a0, b0).由得a=, c= 2.x2又a2+ b2 = c2,得b2= 1.故双曲线C的方程为3 y2= 1.x2(2)联立y2