18.独立重复试验的应用类型

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(三-18):独立重复试验的应用类型(788) 0227 独立重复试验的应用类型 母题(三-18):(2014年四川高考试题)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.()设每盘游戏获得的分数为x,求x的分布列;()玩三盘游戏,

2、至少有一盘出现音乐的概率是多少？()玩过这款游戏的许多人发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.解析:()设击鼓三次出现音乐的次数为,则p(=k)=c3k()k(1-)3-k(k=0,1,2,3)p(x=-200)=p(=0)=,p(x=10)=p(=1)=,p(x=20)=p(=2)=,p(x=100)=p(=1)=x的分布列为:()由每盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率p=玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率=1-(1-)3=;()由ex=-4.25,即每盘所得分数的期望为负数玩得越多所得分数越少的可能性更大.点评:由独立重复

3、试验引发了二项分布,实质上,由独立重复试验,通过:令=ak+b(k为成功的次数);截取独立重复试验的部分;令=ak+bt(k,t分别为成功的次数)等手段,构造概率分布的有关问题. 子题(1):(2010年江苏高考试题)某厂生产甲、乙两种产品,生产甲产品一等品80%,二等品20%;生产乙产品,一等品90%,二等品10%.生产一件甲产品,如果是一等品可获利4万元,若是二等品则要亏损1万元;生产一件乙产品,如果是一等品可获利6万元,若是二等品则要亏损2万元.设生产各种产品相互独立.()记x(单位:万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润,求x的分布列;()求生产4件甲产品所获得的利润不少于1

4、0万元的概率。解析:()设生产甲、乙两种产品是一等品的事件分别为a、b,则a与b相互独立,且p(a)=0.8,p(b)=0.9;x的的取值为-3,2,5,10,p(x=-3)=p()=p()p()=0.02,p(x=2)=p(a)=p(a)p()=0.08,p(x=5)=p(b)=p()p(b)=0.18,p(x=10)=p(a)=p(a)p(b)=0.72的分布列是:()设4件甲产品中一等品的件为,生产4件甲产品所获得的利润为,则p(=k)=c4k0.8k(1-0.8)4-k(k=0,1,2,3,4),=4-(4-)=5-4p(10)=p(3)=p(=3)+p(=4)=0.8192. 注:关

5、于随机变量=ak+b(k为成功的次数)的问题,应通过建立变量关系:=ak+b,把关于的问题转化为k的问题. 子题(2):(2005年浙江高考试题)袋子a和b中装有若干个均匀的红球和白球,从a中摸出一个红球的概率是,从b中摸出一个红球的概率为p.()从a中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止.(i)求恰好摸5次停止的概率;(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为,求随机变量的分布率及数学期望e;()若a、b两个袋子中的球数之比为1:2,将a、b中的球装在一起后,从中摸出一个红球的概率是,求p的值.解析:()(i)恰好摸5次停止的概率p=c42()2(1-)2=;(ii)的取值为0

6、,1,2,3;p(=k)=c5k()k(1-)5-k(k=0,1,2)p(=3)=1-p(=0)p(=1)-p(=2)=的分布列是:e=; 0228 母题(三-18):独立重复试验的应用类型(788) ()设袋子a中有m个球,则a中有m个红球,袋子b中有2m个球袋子b中有2mp个红球,由=p=. 注:若b(n,p),取k=0,1,m(mn)时,p(=k)(km)适合重复试验的概率公式,利用分布列的性质求p(=m). 子题(3):(2004年全国高考试题)一接待中心有a、b、c、d四部热线电话.己知某一时刻电话a、b占线的概率均为0.5,电话c、d占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没

7、有影响.假设该时刻有部电话占线,试求随机变量的概率分布和它的期望.解析:设某一时刻电话a、b占线的个数为x,电话c、d占线的个数为y,则p(x=k)=c2k0.5k(1-0.5)2-k,p(y=k)=c2k0.4k(1-0.4)2-k(k=0,1,2)x、y的分布列分别是:由=x+yp(=0)=p(x=0)p(y=0)=0.09,p(=1)=p(x=1)p(y=0)+p(x=0)p(y=1)=0.3,p(=2)=p(x=2)p(y=0)+p(x=0)p(y=2)+p(x=1)p(y=1)=0.37,p(=3)=p(x=2)p(y=1)+p(x=1)p(y=2)=0.2,p(=4)=p(x=2)

8、p(y=2)=0.04的概率分布是:e=00.09+10.3+30.37+30.2+40.04=1.8. 注:关于=ak+bt(k,t分别为成功的次数)的问题,首先列出关于k,t的二项分布,由此得的分布列解决问题. 子题系列:1.(2010年全国高考试题)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审,若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.()求投到该杂志的1

9、篇稿件被录用的概率；()记x表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求x的分布列及期望.2.(2004年全国高考试题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.()求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望;()求这名同学总得分不为负分(即0)的概率.3.(2009年江西高考试题)某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”,则给予10万元

10、的创业资助;若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令表示该公司的资助总额.()写出的分布列;()求数学期望e.4.(2005年福建高考试题)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与,投中得1分,投不中得0分.()甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和的数学期望;()甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率. 子题详解:1.解:()记a表示事件:“稿件能通过两位初审专家的评审”,b表示事件:“稿件恰能通过一位初审专家的评审”,c表示事件:“稿件能通过复审专家的评审”,d表示事件:“稿件被录用”;则p(a)=0.25,p(b)=c210

11、.5(1-0.5)=0.5,p(c)=0.3,由d=a+bcp(d)=p(a+bc)=p(a)+p(bc)=0.4;()由p(x=k)=c4k0.4k(1-0.4)4-k(k=0,1,2,3,4)x的分布列为:ex=1.6.2.解:()设这名同学回答这三个问题正确的个数为x,则p(x=k)=c3k0.8k(1-0.8)3-k(k=0,1,2,3),且=100x-100(3-x)=200x-300p(=-300)=p(x=0)=0.008,p(=-100)=p(x=1)=0.096,p(=100)=p(x=2)=0.384,p(=300)=p(x=3)=0.512的概率分布为:e=-3000.008-1000.096+1000.384+3000.512=180;()p(0)=p(=100)+p(=300)=0.896.3.解:()设三位大学生获得“支持”的个数为x,则p(x=k)=c6k()k(1-)6-k(k=0,1,2,3,4,5,6)p(=0)=p(x=0)=, 母题(三-18):独立重复试验的应用类型(788) 0229 p(=5)=p(x=1)=,p(=10)=p(x=2)=,p(=15)=p(x=3)=,p(=20)=p(x=4)=,p(=25)=p(x=5),p(=30)=p(x=6)=的分布列为:()e=15.4.解:()设“