《新课标下优化初中数学思想方法教学的研究》之研究报告

1、优化思想方法教学，提升初中生数学思维品质-“新课标下优化初中数学思想方法教学的研究”之研究报告执笔：周利宁课题类别：东莞市普教系统“十二五”教育科研规划课题课题立项编号：mskt11013课题名称：新课标下优化初中数学思想方法教学的研究课题承担单位：东莞市初中数学名师工作室课题主持人：周利宁本课题在本工作室全体成员和入室跟岗学员的共同努力下，通过一年半的深入学习和研究，取得了较好的成果，基本达到课题组预期的目标，现按结题规范将本课题的研究工作报告如下：1 研究背景全日制义务教育数学课程标准（2001年实验稿）要求“课程内容它不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法”，要“使

2、学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验”。义务教育数学课程标准（2011年版）进一步提高了对“数学思想”的教学要求，具体的体现是：数学课程的总目标由原来的“三基”变成了“四基”，即数学课程要使学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，要能“运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，要求学生在“数学思考”方面“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。新的课程标准指出“（教师）在教学设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标。这些目标

3、的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义”。东莞课改虽已走过了十二个年头，但我们在全市教研活动中发现，课程标准中要求把握数学思想方法的呼吁并没引起足够的重视。课堂教学中仍然只注重知识的传授和大量的训练，而忽视知识发生和发展过程中数学思想方法的教学。以下代表性言论，是我们在工作室网络研讨中摘录下来的：刘：我们的数学课堂应该是有思想的数学课堂，但平时我们都没有好好的去思考每节课到底用了什么数学思想方法，或者我们用了很多数学思想方法，但我们并不知道这些具体是什么思想方法。蔡：以前的教学中，的确忽视了数学思想。虽然进行了大量训练，但学生的思维品质和思维能力

4、没有得到提升，学生对数学知识的结构和联系没有整体认知，解决数学问题和实际问题时仍然是一筹莫展。在今后的教学中，我一定要注重思考如何有效的渗透数学思想方法来进行教学，这才是让学生一辈子受益的东西。陈、刘：对于“概念教学中如何使学生领悟数学思想方法”在前几年的教学中真的没去深思过，认为概念让学生理解一下就行了。在以后的教学中，我们知道要注重概念教学中渗透数学思想方法了。在上述背景下，激起了我们对本课题研究的兴趣。2 课题界定2.1 思想：是指客观事物反映在人的意识之中经过思维活动而产生的结果（如观念、想法等）2.2 数学思想：是指客观世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生

5、的结果，是对数学理论和内容及其相互联系的本质认识，是数学学科的精髓，是数学地观察事物的态度或观念。2.3 方法：一般是指为了获得某种东西或达到某种目的而采取的手段、途径、步骤与行为方式。它在哲学、科学及生活中有着不同的解释。2.4 数学方法：是指用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。具体地说，数学方法是指数学本身的论证、运算以及应用的手段，或者说是解决问题的策略或程序。2.5 数学思想方法：严格地说，数学思想与数学方法是有区别的，前者是数学的灵魂，后者是数学的行为，但后者又是前者的具体反映，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断

6、积累的过程，当这种积累达到一定量时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作是根据一幅设计蓝图而建筑起来的一座美丽的大厦，那么数学方法就相当于建筑施工的技术和手段，而这张蓝图就相当于数学思想了。在中学数学教学实践中，人们一般不将数学思想和数学方法严格区分开来，笼统地称为数学思想方法。2.6 初中数学思想方法：是指数学思想方法中最基础、最核心、应用最广泛的那几种，如数形结合、分类讨论、化归转化、整体思想、方程思想、函数思想、类比思想、建模思想等等。2.7 优化：是指为了更加优秀而去其糟粕或放弃其他不太重要的方面。2.8 优化教学：是指为了更好地达成教学目标而在教学方法或教学策略上作出

7、的优化选择3 研究目标通过本课题的研究，我们要进一步明析初中数学思想方法的内涵与外延，探索初中数学思想方法教学的优化策略，研究如何通过初中数学思想方法的优化教学促进初中数学教学的减负增效。在研究的过程中，产生丰富的数学思想方法教学案例。4 研究内容数学思想方法的涵义，初中数学思想方法有哪些？教学中如何把握数学思想方法？如何优化初中数学思想方法的教学以实现减负增效？设计并积累丰富的数学思想方法教学案例，为广大初中数学教师提供具有操作性、参考性的教学范例。研究的重点是“初中数学思想方法教学的优化策略”研究的难点是“优化初中数学思想方法的教学以实现减负增效”5 理论依据5.1 元认知迁移理论（met

8、acognitive transport theory）元认知（metacognition）是指有关个体认知过程的知识，负责对个体的认知过程进行监控、调节和协调。认知策略的训练要达到可以在多种情境中迁移的程度，一个重要的条件是学习者有相当的元认知水平。如果个体不具备元认知能力，不了解策略的使用范围，不能对策略的使用过程进行监控并在必要时做出修正，则无法对已学过的策略做出恰当迁移。个体在元认知上的缺陷，会导致学习和迁移方面出现诸多问题。元认知迁移理论主张学习者需掌握学科的一般原理或思想、专门领域的技能、以及更为精细的信息加工过程和策略，强调学习者应是他们所拥有的一般和特殊知识的管理者。5.2 认

9、知结构理论（cognitive structure theory）学习的认知结构理论告诉我们,数学学习过程是一个数学认知结构的发展变化过程在数学认知结构中,存在数学基础知识、数学思想方法、心理状况三种主要因素,这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的。所谓同化,就是学生把新的数学知识纳入到自身原有的认知结构中去,这种纳入不是简单的 机械的囫囵吞枣式地摄入,而是把新的数学材料进行加工改造,使之与原来的数学认知结构相适应。所谓顺应,是指学生原有的数学认知结构不能有效地同化新的学习材料时,学生将调整或改造原来的数学认知结构去适应新的学习材料。教学的实践和实验研究表明：采取一定手段有意地控制学生的认知结

10、构（如有效地纳入数学思想方法），提高认知结构的可利用性、稳定性与清晰性，以及可辨别程度等，对于有效的学习和解决问题是有作用的。5.3 最优控制理论（optimal control theory）它是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。即对一个受控的动力学系统或变化过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动变化在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。这个理论主张：要研究整个系统，利用反馈原理，以最少的消耗，实现最优化的调控，获得最佳的效果。按这个理论分析，在教学过程中，教师要掌握教和学的平衡，及时

11、注意教学信息的反馈，以便进行调控，实现教学过程的最优化。6 研究意义6.1 数学的思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力。优化初中数学思想方法的教学，将这些蕴含在数学概念、公式、法则、公理、定理之中的深层知识由暗变明，使师生对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握，提升初中生的思维品质,促使学生将数学知识转化为数学能力，对培养和提高学生素质大有益处。现行的中学数学教学，比较强调“多练”，学生的学业负担沉重。如果我们能像北京的孙维刚大师那样，能够有效地向学生传授并让学生深该地体会数学思想方法，则可以实现“减负增效”的目的

12、。6.2 布鲁纳说：“不论我们选教什么学科，务使学生理解该学科的基本结构。所谓基本结构，就是基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。学习结构就是学习事物是怎样相互关联的”。“数学思想方法”作为数学学科的一般原理的重要组成部分，优化对其的教学，符合布鲁纳的基本结构学说。日本著名的数学教育家米山国藏说：“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业了进入社会后，几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学，所以通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了。然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻于头脑中的数学精神，数学的思维方法，研究方法和着眼点等，都随时随地发生作用，使他们受益终

13、生。”我国著名的数学教育家徐利治教授说：“不懂得数学思想方法的教师不是一个称职的教师”。6.3 该课题研究的理论价值:使我们明晰了对数学思想方法的认识，知道数学思想方法有“两大基石”、“两大支柱”和“两大主梁”。“两大基石”即指“符号化与变元表示思想”和“集合思想”；“两大支柱”即指“对应思想”和“公理化与结构思想”；“两大主梁”即指“系统与统计思想”和“化归与辩证思想”；澄清了一些模糊认识。该课题研究的重要阶段成果及结题报告进一步佐证了一些现代教学理论，丰富和发展了有关数学思想方法优化教学的方法体系。6.4 该课题研究的应用价值：课题研究的结题报告，特别是课题研究形成的四个册子，即教学设计集

14、、课例分析集、教学反思集和思想方法论文集对广大中小学数学教师在高效课堂、素质教育、提高学生思维品质和数学素养方面有较好的参考意义。7 研究方法与过程本课题采用的研究方法主要有:文献研究法；调查研究法；专题研究法；案例研究法；行动研究法；研究的过程可分为以下四个阶段第一阶段：调查和文献研究阶段，这个阶段主要解决了两个问题，一是通过文献研究明析初中数学思想方法的概念和意义；二是调查研究初中生对数学思想方法的了解、掌握和应用的情况。这个阶段起于2011年5月，止于2011年7月。通过调查研究,我们发现:（1）对于初中阶段几个常见的数学思想方法，如果提供问题情境、解答和供选答案，并且是多项选择，答对其

15、中一个就算正确，学生回答的通过率还比较高；如果提供问题情境、解答和供选答案，并且是单项选择，学生正确回答的通过率就较低；如果只提供问题情境和解答，让学生指出解答中用了哪个数学思想方法，学生正确回答的通过率就极低；（2）对于一个新问题，即使有提示和启发，大多数学生也不能用指定的数学思想方法去解决问题；如果没有提示和启发，几乎没有学生能够自觉运用数学思想方法去解决新问题；（3）多数老师尚未充分认识到数学思想教学的重要性，不能有计划、有目的、有策略的渗透和优化数学思想方法的教学。第二阶段：专题和案例研究阶段，在这个阶段，我们将课题分成四个小专题，分别解决好（1）概念教学中如何促使学生领悟数学思想方法

16、？（2）法则、定理、公式的教学中如何揭示数学思想方法？（3）解题教学中如何应用与提炼数学思想方法？（4）章节复习中数学思想方法教学的优化策略；这个阶段起于2011年9月，止于2012年7月。在这个阶段，我们共开展了6节专题研讨课，11节示范课，24节汇报课，主题都是“优化初中数学思想方法的策略研究”；开设了4次专家指导讲座和2次科研培训，我室承办的东莞市第四期名师大讲堂的主题是“突出思想方法，提高教学效益”；通过研究，我们积累了教学设计119份，学案设计106份，课件100个，试卷86份，案例分析39份，教学反思169份，研讨心得17篇，教学论文66篇。第三阶段：整理研究成果阶段，在这个阶段，

17、主要是整理前一阶段研究过程中形成和积累下来的教学设计、课例分析、教学反思、教学论文和心得，形成优化初中数学思想方法教学设计集、课例分析集、思想方法论文集和教学反思集。同时，还对课题研究进行了查漏补缺。这个阶段起于2012年9月，止于2012年12月。第四阶段：准备结题阶段，在这个阶段，主要是撰写结题报告，这个阶段起于2013年1月，止于2013年2月。8 研究成效8.1 提高了理论认识（1）知道数学思想方法有“两大基石”、“两大支柱”和“两大主梁”。“两大基石”即指“符号化与变元表示思想”和“集合思想”；“两大支柱”即指“对应思想”和“公理化与结构思想”；“两大主梁”即指“系统与统计思想”和“

18、化归与辩证思想”；通过该课题的研究，提高了课题参与者对数学思想方法的认识，澄清了一些模糊认识。（2）升华观点并提高了对数学思想方法的关注度。老师们在备课时，能自觉地对教材内容中的数学思想方法进行挖掘，在教学设计中能充分考虑数学思想方法的安排，在课堂教学时能自觉地适时渗透数学思想方法。在教学研究中，“数学思想方法”成为了我们的研究重点和热点，一年多来，老师们为此写出了许多高质量的教学论文，其中有17篇获奖或发表（见附1），这为后来形成初中数学思想方法论奠定了较好的基础。无形之中，老师们的教学研究水平也得到了大幅提高，在2012年东莞市中学数学教学研究会论文评比中，我工作室36名教师上交论文16篇

19、，就有13名教师的论文获奖。8.2 形成了四个册子我们在研究过程中注重积累和整理，形成了阶段性研究成果：教学设计集、课例分析集、初中思想方法论文集和教学反思集，这四个册子记录了我们在课题研究中的心得、观点和主张。8.3 提炼了优化策略我们根据以下四种情况，分别提出了针对性的优化数学思想方法的教学策略，简介如下：8.3.1 概念教学中如何促使学生领悟数学思想方法？（1）优化策略数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在人脑中的反映，人们先通过感觉、知觉对客观事物形成感性认识，再经过分析比较、抽象概括等一系列思维活动，抽取事物的本质属性才形成概念。因此，概念教学不应只是简单的给出定义，而

20、要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想。我们的策略是以下的七步教学法：刺激尝试矫正定义强化应用纳入，具体如下：步骤师生活动思想方法的渗透或领悟刺激意识教师提供概念的正例或问题情境，丰富学生的感性认识。将数学思想蕴含在刺激材料中，如提供的材料便于数形结合、建模等等。尝试抽象概括教师组织学生观察与思考、分析与讨论在某种特定的数学思想方法背景下组织学生观察与思考、分析与讨论，有时还需应用特定的思想方法帮助学生抽象概念。教师矫正教师给反例，引导学生步步逼近概念的本质给出定义教师板书，学生读记，圈关键字词强化概念学生举正例或试做概念辨析题应用数学思想方法将对象与概念的本质作比照应用概念应用概念

21、解答数学问题或实际问题在循序渐进的较长时期里指导学生提炼数学思想方法纳入认知结构学生自我管理、自主构建用数学思想贯通知识之间的联系（2）案例与分析 见附28.3.2 法则、公式、定理的教学中如何揭示数学思想方法？（1）优化策略数学法则、公式、定理等结论的取得，都是数学思想方法运用的结果。要让学生亲身体验数学规律探究活动中所经历和应用到的充满活力的数学思想和方法。我们的策略是以下的五步教学法：呈现问题情境探索发现规律证明评价规律应用推广规律小结与整理，具体如下：步骤师生活动思想方法的渗透或领悟呈现问题情境教师引导学生观察，让学生产生“愤悱”状态将思想方法浸润在问题情境中探索发现规律操作、分析、猜

22、想、交流、研讨、尝试概括利用“类比”、“特殊与一般”等思想去分析与猜想；利用“符号化”和“归纳”等思想去概括与抽象；证明评价规律分析、证明、辨析规律的特点与适用范围利用“化归”、“数形结合”、“分类讨论”等思想进行分析论证的思路定向，然后展开证明。应用推广规律尝试应用、举一反三、变式迁移在“变元”和“恒等变换”等思想的指导下应用规律解决问题，通过变式迁移的教学环节让学生充分领悟“化归”等思想方法。小结与整理纳入认知结构用数学思想贯通知识之间的联系（2）案例与分析 见附38.3.3 解题教学中如何激活与提炼数学思想方法？（1）优化策略解题对巩固知识、培养能力和升华思想观点有着十分重要的作用与意义

23、，所以我们要重视解题教学的优化，提高解题教学的效益。这其中最为重要的还是方法的总结与思想的升华，要注重指导学生进行解题前的思路探究和解后的反思，要善于激活与提炼解题中的数学思想方法。对此，我们的策略是以下四步教学法：解前思路定向试解与反馈交流与展示解后点评反思，具体如下：步骤师生活动思想方法的渗透与领悟解前思路定向学生审题，教师视情况决定是否要做关键提示问题的情境与条件刺激学生的头脑，引发联想，激活数学思想，明确思路与方向。试解与反馈学生试解，不成功者接受教师的点拨后再解在数学思想的指导下，依据明确的思路与方向解题，这其中还会不断地修正与完善。展示与交流教师组织学生展示解法，交流解题思想与心得

24、在“我怎么想？”、“我怎么解？”和“我有什么心得？”中，教师及时帮助学生提炼数学思想方法。解后点评反思教师点评一般思路、巧解思路、典型错解并与学生一起反思其中的数学思想方法。重点在提炼与整理解法中的数学思想，完善学生的认知结构，使学生的数学思想得以升华。（2）案例与分析 见附48.3.4 章节复习中数学思想方法教学的优化策略？（1）优化策略由于教材是采用蕴含披露的方式将数学思想溶于数学知识体系中，因此，适时对数学思想做出归纳、概括是十分必要的。教师应有计划、有目的、有意识、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程，尤其是在章节复习中要将有统帅性的数学思想方法概括出来，用数学思想统领全章节知识

25、，这样就可以加强学生数学思想方法的运用意识和能力，也使其对运用数学思想解决问题的具体操作方式有更深刻的了解，有利于活化所学知识，有利于优化思维品质，有利于形成独立分析、解决问题的能力。因此，章节复习中数学思想方法教学的优化策略是：一要揭示共性，二要明确联系，具体如下：策略师生活动思想方法的渗透与领悟揭示共 性师生共同构建章节知识网络图表，融会贯通。重点在抽取共性和其中的数学思想方法。应用“类比”等思想和“联想”等方法将数学对象共同属性或关系抽取出来。例如，在学习完“二次根式的加减”后，及时引导学生概括出“二次根式的加减运算就是合并同类二次根式，而合并同类二次根式就与合并同类项一样”。明确联 系

26、用数学思想统领全章节知识的复习，根据要渗透的数学思想方法选择例习题。用数学思想方法将知识串起来，同时，还要将抽取出来的性质或规律推广到同类的全部对象上去，从而实现从个别认识上升为一般认识。例如，通过解方程，发现可用换元法来求解，由此概括出换元法可以将复杂方程转化为简单方程，从而认识到化归思想是对换元法的高度概括。（2）案例与分析 见附59研究反思9.1 学生的数学思维能力有无得到有效提升？这是本课题研究不够深入的方面，没能对学生进行效果跟踪测评，“前测”不细化，又无“后测”对照。这些有待于本工作室的老师在今后的教学及研究中继续深化与完善。9.2 解决问题的一般方法与数学思想方法的关系如何？像归

27、纳法和比较法这样一些解决问题的一般方法算不算数学思想方法？我们觉得任何学科的研究与学习都离不开归纳和比较，因此，它们至少不能算是数学学科特有的思想方法。但在有些专家或书籍那里我们见到有“数学的归纳思想”和“数学的比较思想”之说，令我们困惑。参考文献1沈文选, 杨清桃.数学思想领悟 m.黑龙江:哈尔滨工业大学出版社2徐利治. 数学方法论选讲 m.武汉.华中科技大学出版社3中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准(2011年版). m北京.北京师范大学出版社4中华人民共和国教育部. 全日制义务教育数学课程标准(实验稿). m北京.北京师范大学出版社 附1：课题研究阶段成果之一：发表或获奖的论文

28、作者论文题目发表杂志、期数获奖情况周利宁关于初中数学思想方法教学现状的调研报告2012年市中学数学教学论文评比一等奖；2013年广东省中学数学教学研究会论文评比特等奖周利宁把握核心要点、遵循认知规律、实现有效教学中学数学研究2012年第1期蔡映红浅谈比较思想在概念教学中的作用2012年市中学数学教学论文评比三等奖李洁文抓住核心思想方法，实施例题变式教学东莞教研2012年第3期李洁文应用题组训练，备考初中数学2012年市中学数学教学论文评比二等奖曾省实例举证“类比思想”在复习“分式”中的应用中学数学研究2011年第7期廖凉月例谈垂径定理中优化数学思想的教学2012年市中学数学教学论文评比三等奖李

29、永义例谈初中数学思想方法中学数学研究2012年第1期2011年市中学数学教学论文评比二等奖汪丽丽用数形结合的数学思想方法巧解题广东教学第1903期杨东科浅谈中考动态几何问题中蕴含的数学思想方法2012年市中学数学教学论文评比二等奖黄志清核心循环教学法在初中数学教学中的实践探索中学数学研究2012年第7期徐明军初中数学思想方法在教材中渗透的探讨2011年长安镇优秀论文评比一等奖杨秀以范例为载体逐步渗透数学思想方法2011年市中学数学教学论文评比三等奖邹瑾浅谈分类讨论思想在解题中的应用中学数学研究2012年第1期2012年市中学数学教学论文评比三等奖刘翥远“庖丁”解“牛”，其“义”自见2012年市

30、中学数学教学论文评比二等奖刘惠清数学思想在初一教学中的渗透师道*教研2011年第8期陈桂芳数学思想方法的提炼和渗透少年智力开发报2012年第8期附2:在概念教学中领悟数学思想方法-人教版九年级数学下册29.1投影的案例分析长安实验中学 蔡映红【案例背景】 2011年12月20日上午，周利宁（初中数学）名师工作室开展了主题为“优化初中数学思想方法的教学”研讨活动。我以人教版九年级数学下册29.1投影一课的教学试图来展示“概念教学中如何促使学生领悟数学思想方法”。在本节课的学习中，我主要引领学生通过观察、猜想、实验、探索，运用类比思想层层揭示中心投影和平行投影之本质与区别，既渗透了数学思想方法，又

31、培养了学生的观察与归纳能力，动手操作的习惯和合作交流意识，还有运用数学知识解决实际问题的能力。【案例实录与评析】环节一：老师先利用投影机光源作手影，再用一些生活中的情景图片引出投影现象，让学生通过类比思想自主获得“投影”的要素。师：老师作的手影是如何产生的？生：被投影机照的。师：（ppt演示生活中的投影图片）这些影子分别是如何产生的?生：图片一和二是被阳光照射；图片三和四是被灯光照射的。师：这些现象我们称为“投影现象”。请大家运用类比思想思考：“投影现象”的产生需具备几个要素？生：（互相提示与补充）光源、投影物、投影面。在教师引导下，学生才小结出投影的要素：光源、投影线、投影物、投影面。师：生

32、活中有哪些投影现象？生活中的影子与刚才我们所说的投影有什么区别？生1：树被阳光照射。生2：被路灯照射。生3：湖面。师：湖面只能算是投影面。师：生活中出现的“日食”和“ 月食”现象，也是一种投影现象。生：噢！师：我们走路时，影子会不会只是落在一个“平平”的面上呢？生：有时是落在一些凹凸不平的面上。师：我们今天谈到的投影中，投影面是一个平面，而生活中的影子可能不在同一个平面上。评析：这个环节又叫“刺激意识”环节。我通过手影创设了一个简单的问题情境，通过生活情境图片丰富了学生的感性认识。让学生知道投影现象的关键就是“光线”，把握住“光线”，就基本解决了“投影”问题。在我问“老师作的手影是如何产生的？

33、”，学生回答“被投影机照的”时，我若能及时将学生的回答进一步具体化，设制问题“是被投影机照这一光源的什么照射而形成？”，学生才能更深层次思考出：“是被这一光源的光线照射而形成”，从而对被“光线”照到或没照到，有一个区别认知，也会大大提高本节课的学习效率。环节二：通过分类讨论，初步感知中心投影和平行投影区别。师：如果对大家所提到的投影现象进行分类，你认为应该分为几类？说说你是怎么想的？针对同学的想法，我们一起用比较思想探讨一下，它们有什么不同？请大家分组进行讨论。生：光源类型、光源方向、光源大小。师：一组阳光线是什么位置关系？生：平行。师：（老师现场运用投影机这一点光源的光线照射一个与投影面平行

34、的正方形纸皮）请同学们观察正方形与其投影的形状和大小有什么关系？生：形状相同，大小不同，影子变大。师：产生的原因是这组光线是怎样的？生：这组光线是发散的，有一个交点。师：这个交点在哪里？生：光源。师生一起分类、归纳：由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影，如灯光照射在物体上形成的投影。由平行光线形成的投影叫做平行投影。如太阳光照射在物体上形成的投影也称日影。评析：这一环节安排了“尝试抽象概括”、“矫正”和“定义”，我有意渗透了“分类讨论”的思想方法。在这一环节中，学生对从哪个角度入手进行分类，有点迷糊，把此活动问题改为“如果对大家所提到的投影现象从照射光线的位置关系的不同之处进行分类，你认为

35、应该分为几类？”会更有利于引导学生把握思考方向。环节三：学以致用（1） 下面左边两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影子.请根据投影，判断它们分别是什么投影。 投影 投影 投影 投影变式：上面右边两幅图表示两根标杆在同一时刻的投影.请在图中画出形成投影的光线.它们是平行投影还是中心投影？说明理由。（2） 同一时刻，两根木棒的影子如下左图，请画出图中另一根木棒的影子。（中心投影）变式：上右图是两棵小树在同一时刻的影子. 请画出同一时刻旗杆的影子。（平行投影）评析：这一环节就是“强化概念”和“应用概念”。在学习了中心投影和平行投影后，学以致用，从练习及变式中让学生体会如何判断其是何种投影及如何画物体的

36、投影，并领悟类比思想，此活动开展得较为成功。环节四：探究物体与投影面之间的位置关系对投影形状的影响（1）老师演示活动：以正方形为素材，用投影机光源去照射改变正方形纸板的摆放位置（分别是正方形纸板平行于投影面；倾斜于投影面；垂直于投影面），它们的投影发生了什么变化？由此,你能得到什么结论?（2）学生自主探究活动：当平行光线与投影面垂直时，改变正方形纸板的摆放位置（分别是正方形纸板平行于投影面；倾斜于投影面；垂直于投影面），它的投影发生了什么变化？由此,你能得到什么结论?评析：这一环节依然还是“强化概念”和“应用概念”。在此活动中，我们不难发现当投影线与物体的夹角发生变化时，投影也随之变化，当投影

37、线垂直于投影面，且平面物体平行于投影面时，投影与物体全等。先老师演示探究，再让学生模仿探究，动手实验，分组讨论，获得物体与投影面之间的位置关系对投影形状的影响。引导学生发现其实质：当平面物体与投影面平行时，中心投影的物体与其投影形成位似图形，平行投影中，当投影线与物体投影面垂直时，物体与投影全等。这个探究活动，给学生提供极大的思维空间，启迪学生创新灵感，有效激发学生的创新意识。学生通过面对面的合作交流，无拘无束的发展自己的见解，通过合作、讨论、交流、争辩逐渐完善自己的想法，从而博采众长，营养智慧。本活动既让学生感悟对新事物的认识较常运用到类比思想与比较思想，又为后面学习垂直投影及三视图做好铺垫

38、。环节五：让学生归纳平行投影与中心投影的异同点。不同之处相同之处光线平面图形与投影面平行时，图形与投影关系它们都是物体在光线照射下，在某个平面上的得到的影子平行投影一组平行的投影线全等（当光线垂直于投影面时）中心投影一组相交的投影线，交点为光源平面图形与其投影是位似图形评析：这一环节就是帮助学生将本堂所学“纳入认知结构”之中，应用比较的方法将前面几个环节的发现及体会作一个记录，便于理解与记忆。环节六：理论联系实际，挖掘生活中的素材，用本课的投影知识去解释。1.小东在一路灯下行走，他的影长怎样变化？小东在阳光照耀的道路上行走，他的影长怎样变化？2.有人说，在同一路灯下，如果甲物体比乙物体的影子长

39、，那么就说明甲物体比乙物体高.你认为这种说法正确吗？3与一盏路灯相对,有一玻璃幕墙,幕墙前面的 地面上有一盆花和一棵树.晚上,幕墙反射路灯灯光形成了那盆花的影子,树影是路灯灯光形成的。你能确定此时路灯光源的位置吗？评析：这一环节的作用就是应用与巩固所学知识。【案例反思】1. “数学思想方法”在教学中，不仅要“运用”，还要“说”出来在平时的生活中，学生时常运用到数学思想方法，但他们往往不清楚“这就是数学思想方法”。所以我们数学教师在教会学生“如何思考”的同时，要“说”给学生听“这是什么数学思想方法”。学生会对数学具有如此广大的用途而大大增强“好感”，无形中提高了学数学的兴趣。2. “数学思想方法

40、”在教学中的长期渗透与展示，有利于学生认知能力、开拓能力的发展本节课中，学生主要运用类比思想学习新知及掌握运用：（1）现场手影表演，激发学生的参与热情和学习兴趣，从而诱发学生的好奇心和想象力产生强烈的问题意识。学生经过观察现象后，小组间交流不难揭示投影、平行投影、中心投影的实质。学生在直观认识的基础上发展了归纳基本规律的能力。（2）通过练习，使学生把生活中的数学问题上升到理论高度，从理论上释疑；（3）学生动手实验，创造出替代隐形的“平行阳光线”显性替代物，通过实验对比，观察现象从而引发了思维冲突，得出中心投影与平行投影的特征；发展了观察能力、归纳概括能力和开拓创造的能力。（4）通过小组合作讨论

41、 ，让学生经历“问题情境建立数学模型解释应用与拓展”的过程，鼓励学生用数学眼光发现和提出问题，有意识地用自己所学的数学知识解决所遇到的问题，提高用数学的意识和能力。附3：多边形的内角和课堂实录与点评长安实验中学 周利宁一、课题与版本：人教版七年级下册/多边形的内角和 执教老师：黄晓（长安实验中学）二、教学目标 【基本知识】理解并记忆n 边形的内角和公式【基本能力】能解释或会验证四边形内角和、 n 边形的内角和，会应用它进行简单的计算和说理, 增强类比推理和发散思维能力, 从而提高分析问题和解决问题的能力。【基本思想】通过本课的学习，向学生渗透特殊到一般、类比、化归、分类讨论和数形结合的思想【基

42、本经验】通过分析研究三角形和多边形之间的联系与转化，培养学生辩证唯物主义观点，激发学生学习几何的兴趣。三、教学重点、难点： “多边形”在教材中起着承上启下的作用，它既是前面所学的“三角形”知识的应用，也是后面学习用正多边形拼地板、各种特殊四边形的重要的预备知识。因此，本节课的教学重点是：体会化归等思想的应用；本节课的教学难点是：找到转化的具体方法；突出重点、化解难点的措施是：（ l ）教师制作课件，直观演示；（ 2 ）随时总结学习几何的一些规律，在得出结论前引导分析；（ 3 ）设计有目的、有梯度、循序渐进的练习题组，强化思想方法训练。 四、教学过程 （一）复旧引新 （ l ）四边形的定义正确的

43、是（ ）。 a 、由四条线段首尾顺次相接组成的图形 b 、在平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的图形 c 、平面内，四个点所确定的图形 d 、在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形 （2）从n边形的一个顶点处可引 条对角线，这些对角线可将这个n边形分成 个三角形；（3）长方形的内角和是 度？一般四边形的内角和是 度？你能证明这个结论吗？【点评】问题(3)是在“呈现问题情境”，已将“特殊到一般”和“化归”的思想方法浸润在其中了。学生在此已出现“愤悱”状态。（二）探究四边形的内角和1 、学生猜想四边形内角和是 360 师质疑：三角形的内角和是 180，四边形的内角和是多少

44、度？ 生思考 师提示：长方形的每个内角都是多少度？正方形的每个内角呢？师：请同学们猜想一般四边形内角和的度数。 生答：四边形内角和是 360 。（教师板书） 师肯定：同学们回答的非常好！我们小学学过的长方形的内角和是 360 ，正方形的内角和也是 360 ，由此我们猜测一般四边形内角和也是 360 。 师指出：这个结论是否正确呢？我们要从理论上加以验证。 【点评】以小学学过长方形、正方形的每个内角都是 90 为依托，猜想一般四边形内角和的度数。向学生渗透“特殊到一般”的数学思想方法。 2 、探究推导的方法并交流。 师质疑：怎样说明四边形内角和是 360 呢？ 师指出：科学研究的常用方法，就是将

45、未知转化为已知，用已有知识研究新问题。所以，研究四边形的问题可转化为用已学过的知识去解决。这里可以用什么知识来解决问题？生答：三角形。 师：对！同学们回答的非常好！把四边形问题转化为三角形问题来解决。 师追问：转化的关键是什么？生答：作辅助线。 【点评】将四边形的内角和问题转化为三角形内角和去解决，向学生渗透“化归”的数学思想方法。 师：请同学们考虑说明的方法。 学生独立思考 - 生生交流讨论（教师个别辅导） - 学生再独立思考。 师：请同学们说说各自的思路。 众生：如图 2 ，连接 ac 如图 3 ，在 bc 边上任取一点 p （也可在 ab 或 cd 或 ad 边上任取一点 p ），连接

46、ap ， dp 如图 4 ，在四边形 abcd 内任取一点 o ，连接 ao ， bo ， co ， do 师：同学们的思路都非常的好！你想到的是哪一种方法呢？ 生甲：比较而言，应该说连接 ac 时说明的过程最好。 【点评】四边形内角和这一结论的解释说明是本节课突破难点的一个关键，关键的关键又在“添加辅助线”。本环节的学习中，探索了多种的说明方法，活跃了学生的思维，为后面的进一步的探究“n 边形的内角和”作了铺垫。同时，这里还运用了“分类讨论”的思想方法。在教学过程中，我们就应这样鼓励学生通过独立思考，不拘一格，创造性地解决问题，使学习数学成为再发现和再创造的过程。3 、归纳概括所得结论 师指

47、出：经过分析，同学们猜想得到的结论“四边形的内角和等于 360 ”是正确的。同学们要熟记这个内容，并能运用它解决有关的问题。同学们还要认真体会“转化与化归”的思想方法，这种解决问题的思想方法在今后的解题中经常会用到。从分析思路看，同学们得到了多种方法，各种方法都非常好。当一个题目有多种方法时，特别是几何问题，通常我们选择最简单的方法。 4 、巩固性应用 下面的判断是否正确？请说明理由！(1) 四边形的各内角可以都是锐角。（ ） 变式 1 ：将“锐角”改为“直角”。 变式 2 ：将“锐角”改为“钝角”。 生口答：（ l ）错误。变式 1 正确。变式 2 错误。 (2) 在一个四边形中，如果有两个

48、角都是直角，那么其余的两个角的关系一定是互为补角。（） 生口答：正确。 (3) 如图 5 ，四边形 abcd 中， d 的大小不能确定。（ ） 生口答：错误。 d 的大小能确定。 变式：此题中 d 的大小若能确定，试求 d 的度数；若不能确定，请说明理由。 生口答： d=360-a-b-c=360-75-60-90=135 对于学生的回答教师及时给予肯定表扬。 【点评】第（二）环节是一个浅层次的探索与证明，意在为下面的第（三）环节作铺垫（三）探究n边形的内角和师：有了前面的经验，你能探求五边形、六边形和一般 n 边形的内角和是多少度吗？请同学们探究。 多边形的边数3456n多边形的内角和180

49、360填空：1从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于 1802从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于 180同学们，通过上述过程，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？3从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将n边形分为 个三角形，n边形的内角和等于 180板书：n 边形的内角和为： (n-2)180 师：这就是n 边形的内角和公式，它清楚地表明了多边形的内角和是如何受边数的变化影响的。【点评】这个环节是“探索发现规律”和“证明评价规律”。渗透了“特殊到一般”、“类比”和“化归”的数学思

50、想方法。（四）应用与巩固1看谁回答的最快。 （1）10边形的内角和是 ； 12 边形的内角和是 。 （2） 边形的内角和是 360 ； 边形的内角和是 720；（3）一个多边形的内角和是 1080 ，则这个多边形的边数是 。 （4）有没有内角和等于1000的多边形？答： （5）正六边形的一个内角是 。 【点评】一套简单应用题从多角度帮助学生加深了对“n 边形的内角和公式”的认识2阅读课本p82例1师：对课本的解答，你有什么不明之处？请报告！师：如果将题目中的“对角”改为“邻角”，问题的结论又会如何？【点评】（1）上面的“阅读”环节体现了“能看懂的就让学生自己看”的学生主体教学思想，同时又能将问

51、题进行变式，拓展了思维训练。（2）第（四）环节就是“应用与推广规律”（五）归纳小结（教师引导学生从以下几个方面进行小结） 1 、研究和解决问题的一般思维方法有： 观察、分析、猜想、类比、解释、说明、应用。 2 、n边形内角和公式的得出与证明所用到的数学思想方法有：特殊到一般、类比、化归3 、事物之间是相互联系、相互转化、相互制约的，数学来源于实践，又反过来作用于实践。 【总评】1优点：11 教学目标的确定是恰当的。特别强调了研究多边形的问题时常常通过作辅助线的方法将之转化为三角形问题来解决，并以此为载体强化数学化归的思想方法，整节课还渗透了特殊到一般和类比的思想。12 教学方法与学法指导方面：

52、（1）结论的发现：考虑到学生已学习了三角形内角和定理，而且知道长方形、正方形的每一个角都是 90 ，所以教师对结论的发现采取类比猜想的方法。教师直接提出问题：四边形的内角和是多少度？学生很容易猜想得出 360 的结论，这个问题虽然不难回答，但渗透了“特殊到一般”的思想。 (2) 探究结论的推导过程：为了帮助学生迅速找到新旧知识的结合点，教师提出问题：科学研究的常用方法，就是将未知转化为已知，用已有知识研究新问题。所以，研究四边形的内角和问题可转化为已学过的什么知识去解决？这可引起学生的联想，渗透了“化归”的思想，有利于培养学生的发散思维能力。接下去教师继续提问：“怎样转化？转化的关键是什么？”

53、教师没做更多的引导，只是提出问题。这样，教师不仅为解决问题创造了一个好的情境，而且指导学生通过自己的努力按既定方向将已有知识、经验和方法进行重组从而解决了问题。从课堂教学实际效果看，这个引导是符合多数学生的认知规律的，既没有超越学生的认知能力，又能促进学生积极探索。 在探求结论的推导过程中，集中体现了数学化归思想的应用。在这里，教师有意识地做了强化，这可以使学生更加深刻地体会到这种思想方法对解决问题的作用。 （3）结论的应用是通过例题教学和指导学生做练习实现的。在这个过程中，教师做了适当、及时、必要的点拨和提示。这样做应该说是符合了“导而弗牵，开而弗达”的原则的。 2可进一步优化之处：本节课其

54、实还可以渗透“数形结合”的思想。我们在第（三）环节类比第（二）环节的第2步，根据点与多边形的位置关系，用三种转化办法都可得出“n 边形的内角和=”。在此，我们可以深入地追问：如何想到这些转化方法的呢？我们可以引导学生去分析及它的两个变式、结构上的特点，学生就容易明白这三个式子分别对应前述三个转化方法了。这里就要揭示“数形结合”的思想，即：由“式的特征”联想到“形的表现”。 附4：解题教学的案例与分析例：已知a、b、c均为非零实数，且 ，求证：【解前思路定向】注意到已知式左边的结构与方程根的判别式相类似，不妨构造一个以已知式左边为判别式的一元二次方程，运用一元二次方程的知识来解决（直观感知，展开联想，化归思想自然流露！找到了解题的方向）【试解与反馈】有部分学生作不出方程或作出对解决问题毫无帮助的方程，如；也有部分学生虽然作出了方程，但心中默认了cabc0，缺乏对cabc0的讨论；还有部分学生构造出关于x的一元二次方程后看不出“1是方程的一个根”以及“方程有两个相等的实数根x1x21”；当然，也有学生在教师的指导下顺利完成了解答。【交流与展示】证明：若cabc0，则有abc，结论显然成立若cabc0，构造关于x的一元二次方程方程的系数和为0，1是方程的一个根由 知0，方程有两个相等的实数根x1x21由根与系数的关系，得ab+bc2ca，【解后点评反思