2021年湖南省郴州市高考数学三模试卷（文科）含答案解析

1、2021年湖南省郴州市高考数学三模试卷文科一、选择题1集合M=x|x26x+50，xZ，N=1，2，3，4，5，那么MN=A1，2，3，4B2，3，4，5C2，3，4D1，2，4，52设=a+bia，bR，i为虚数单位，那么|abi|=A1BCD3从集合A=2，1，2中随机选取一个数记为a，从集合B=1，1，3中随机选取一个数记为b，那么直线axy+b=0不经过第四象限的概率为ABCD4函数fx=2sin2x的图象关于直线x=x0对称，那么|x0|的最小值为ABCD5?九章算术均输?中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何其意思为“甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、

2、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？“钱是古代的一种重量单位这个问题中，乙所得为A钱B钱C钱D钱6一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积是A4+2B4+C4+2D4+7设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点Px0，y0，满足x02y0=2，求得m的取值范围是ABCD8如图，程序输出的结果s=1320，那么判断框中应填Ai10？Bi10？Ci11？Di11？9函数fx=的图象可能是ABCD10三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱椎PABC的体积为，那么该三棱锥的外接球的外

3、表积为ABCD11如图，过双曲线=1a0，b0的右顶点A2作一个圆，该圆与其渐近线bxay=0交于点P，Q，假设PA2Q=90，|PQ|=2|OP|，那么该双曲线的离心率为ABCD12曲线C：y=ex和直线l：ax+by=0，假设直线l上有且只有两个关于y轴的对称点在曲线C上，那么的取值范围是A，eB，C0，De，+二、填空题13设向量=x，2，=1，1，且，那么x 的值是14奇函数fx=，那么函数hx的最大值为15直线l：x+y6=0和圆M：x2+y22x2y2=0，点A在直线l上，假设直线AC与圆M至少有一个公共点C，且MAC=30，那么点A的横坐标的取值范围为16数列an的前n项和为Sn

4、，且Sn=1an，nN*，令bn=nan，记bn的前n项和为Tn，假设不等式1nTn+bn对任意正整数n都成立，那么实数的取值范围为三、解答题17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，cosB=求+的值；假设ABC的面积为2，求ABC的周长182021年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据说明，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组15，25，第2组25，35，第3组35，45，第4组45，55，第5组55，65，得到的频率分布直方图如下图：求出频率分

5、布直方图中a的值，并求出这200人的平均年龄；现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人赠送礼品，求抽取的2人中至少有人年龄在第1组的概率；把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，假设选出的200人中不关注民生问题的人中老年人有10人，根据以上数据，完成以以下联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为关注民生问题与年龄有关？关注民生不关注民生合计青少年组中老年组合计附：pK2k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87

6、910.828，其中n=a+b+c+d19如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且ABC=60，M为PC的中点在棱PB上是否存在一点Q，使用A，Q，M，D四点共面？假设存在，指出点Q的位置并证明；假设不存在，请说明理由求点D到平面PAM的距离20椭圆C： +=1ab0过点A，1，斜率为的直线l1过椭圆C的焦点及点B0，2求椭圆C的方程；直线l2过椭圆C的左焦点F，交椭圆C于点P、Q，假设直线l2与两坐标轴都不垂直，试问x轴上是否存在一点M，使得MF恰为PMQ的角平分线？假设存在，求点M的坐标；假设不存在，说明理由21函数fx=ln+ax1a

7、0I求函数fx的单调区间；gx+xfx=x，假设函数gx有两个极值点x1，x2x1x2，求证：gx10请考生在22-23题中任选一题作答，选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系1求圆C的极坐标方程；2直线l的极坐标方程是2sin+=3，射线OM：=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长选修4-5：不等式选讲23设fx=|x|+2|xa|a01当a=1时，解不等式fx82假设fx6恒成立，求实数a的取值范围2021年湖南省郴州市高考数学三模试卷文科参考答案与试题解析一、选择题1集合M=x|x26x

8、+50，xZ，N=1，2，3，4，5，那么MN=A1，2，3，4B2，3，4，5C2，3，4D1，2，4，5【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合M和N，由此利用交集定义能求出MN【解答】解：集合M=x|x26x+50，xZ=2，3，4，N=1，2，3，4，5，MN=2，3，4应选：C2设=a+bia，bR，i为虚数单位，那么|abi|=A1BCD【考点】复数求模【分析】求出a，b的值，求出|abi|的值即可【解答】解： =+i=a+bi，故abi=i，|abi|=，应选：D3从集合A=2，1，2中随机选取一个数记为a，从集合B=1，1，3中随机选取一个数记为b，那么直线axy+b=0不经

9、过第四象限的概率为ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型【分析】此题是一个古典概型，试验发生包含的事件a，b的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第四象限，符合条件的a，b有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含的事件aA=2，1，1，bB=1，1，3，得到a，b的取值所有可能的结果有：2，1；2，1；2，3；1，1；1，1；1，3；2，1；2，1；2，3共9种结果由axy+b=0得y=ax+b，当时，直线不经过第四限，符合条件的a，b有2，1；2，3，2种结果，直线不过第四象限的概率P=，应选：A4函数fx=2

10、sin2x的图象关于直线x=x0对称，那么|x0|的最小值为ABCD【考点】正弦函数的图象【分析】利用正弦函数的对称轴方程即可求解【解答】解：函数fx=2sin2x，其对称轴方程：2x=，可得：x=，kZ那么x0=，即为|的最小值当k=1时，|x0|的最小值为应选：B5?九章算术均输?中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何其意思为“甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？“钱是古代的一种重量单位这个问题中，乙所得为A钱B钱C钱D钱【考点】等差数列的性质【分析】设等差数列的公差是

11、d，首项为甲所得为a1，由题意和等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出公差和首项，即可求出乙所得的钱数【解答】解：设等差数列的公差是d，首项为甲所得为a1，由题意可得，即，解得，所以=，即乙所得为钱，应选：B6一个几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积是A4+2B4+C4+2D4+【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是如下图的三棱锥，其中侧面SAC面ABC，SAC，ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形据此可计算出外表积【解答】解：由三视图可知：该几何体是如下图的三棱锥，其中侧面SAC面ABC，SAC，ABC都是底边长为2，高为2的等腰三角形，过D作AB的

12、垂线交AB于E，连SE，那么SEAB，在直角三角形ABD中，DE=，在直角三角形SDE中，SE=，于是此几何体的外表积S=SSAC+SABC+2SSAB=22+22+2=4+2应选A7设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点Px0，y0，满足x02y0=2，求得m的取值范围是ABCD【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域要使可行域存在，必有m2m+1，要求可行域包含直线y=x1上的点，只要边界点m，12m在直线y=x1的上方，且m，m在直线y=x1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m2m+1，要求可行域包含

13、直线y=x1上的点，只要边界点m，12m在直线y=x1的上方，且m，m在直线y=x1的下方，故得不等式组，解之得：m应选C8如图，程序输出的结果s=1320，那么判断框中应填Ai10？Bi10？Ci11？Di11？【考点】程序框图【分析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果判断出当k为何值时输出，得到判断框中的条件【解答】解：经过第一次循环得到s=112=12，k=121=11不输出，即k的值满足判断框的条件，经过第二次循环得到s=1211=132，k=111=10不输出，即k的值满足判断框的条件，经过第三次循环得到s=13210=1320，k=101=9输出，即k的值不满足判断框的条件，故

14、判断框中的条件是k10？应选：A9函数fx=的图象可能是ABCD【考点】函数的图象【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x2，1时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案【解答】解：假设使函数的解析式有意义那么，即即函数的定义域为2，11，+可排除B，D答案当x2，1时，sinx0，lnx+20那么0可排除C答案应选A10三棱锥PABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，ABC是边长为4的等边三角形，三棱椎PABC的体积为，那么该三棱锥的外接球的外表积为ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和外表积【分析】根据题意作出图形，欲求球O的外表积

15、，只须求球的半径r利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题【解答】解：根据题意作出图形设球心为O，球的半径r过ABC三点的小圆的圆心为O1，那么OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，那么PD平面ABCCO1=，OO1=，高PD=2OO1=2，ABC是边长为4正三角形，SABC=4V三棱锥PABC=42=r2=那么球O的外表积为4r2=应选：D11如图，过双曲线=1a0，b0的右顶点A2作一个圆，该圆与其渐近线bxay=0交于点P，Q，假设PA2Q=90，|PQ|=2|OP|，那么该双曲线的离心率为AB

16、CD【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可得QA2P为等腰直角三角形，设|A2Q|=R，取PQ的中点M，求得|OM|=|PQ|，|A2M|，由渐近线的斜率和正切函数的定义，计算可得a=2b，运用离心率公式，即可得到所求值【解答】解：因为PA2Q=90，|PQ|=2|OP|，所以QA2P为等腰直角三角形，设|A2Q|=R，那么|PQ|=R，|OP|=R，取PQ的中点M，那么|A2M|=R，|OM|=|OP|+|PM|=R，在直角OMA2中，tanMOA2=，那么离心率e=应选：B12曲线C：y=ex和直线l：ax+by=0，假设直线l上有且只有两个关于y轴的对称点在曲线C上，那么的取值范围是A

17、，eB，C0，De，+【考点】函数的最值及其几何意义【分析】设k=，求出l关于y轴的对称直线方程，把直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线：y=ex上，转化为直线y=kx与y=ex有两个交点，然后求出过原点与曲线：y=ex相切的直线的斜率得答案【解答】解：设k=，直线l：y=kx关于y轴的对称直线方程为y=kx，要使直线l上有且只有两个点关于y轴的对称点在曲线：y=ex上，那么直线y=kx与y=ex有两个交点，如图，设过原点的直线切曲线y=ex于Pm，em，由y=ex，得y=ex，y=em，那么切线方程为yem=emxm，把O0，0代入，可得m=1，切线的斜率k=e1=e，ke，那么ke

18、，e，的取值范围是0，应选：C二、填空题13设向量=x，2，=1，1，且，那么x 的值是4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】，可得=0，解出即可得出【解答】解： =x1，3，=x13=0，解得x=4故答案为：414奇函数fx=，那么函数hx的最大值为1e【考点】函数奇偶性的性质【分析】先求出x0，fx=1的最小值，根据奇函数的性质，即可得出结论【解答】解：先求出x0，fx=1的最小值，fx=，x0，1，fx0，函数单调递减，x1，+，fx0，函数单调递增，x=1时，函数取得极小值也即最小值e1，hx的最大值为1e，故答案为1e15直线l：x+y6=0和圆M：x2+y22x2y2=

19、0，点A在直线l上，假设直线AC与圆M至少有一个公共点C，且MAC=30，那么点A的横坐标的取值范围为1，5【考点】直线与圆的位置关系【分析】设点A的坐标为x0，6x0，圆心M到直线AC的距离为d，那么d=|AM|sin30，由直线AC与M有交点，知d=|AM|sin302，由此能求出点A的横坐标的取值范围【解答】解：如图，设点A的坐标为x0，6x0，圆心M到直线AC的距离为d，那么d=|AM|sin30，直线AC与M有交点，d=|AM|sin302，x012+5x0216，1x05，故答案为1，516数列an的前n项和为Sn，且Sn=1an，nN*，令bn=nan，记bn的前n项和为Tn，假

20、设不等式1nTn+bn对任意正整数n都成立，那么实数的取值范围为【考点】数列的求和【分析】数列an的前n项和为Sn，且Sn=1an，nN*，那么n=1时，a1=1a1，解得a1n2时，an=SnSn1，化为：利用等比数列的通项公式可得an再利用等比数列的求和公式与“错位相减法可得Tn对n分类讨论即可得出【解答】解：数列an的前n项和为Sn，且Sn=1an，nN*，那么n=1时，a1=1a1，解得a1=n2时，an=SnSn1=1an1an1，化为：数列an是等比数列，公比为an=令bn=nan=bn的前n项和Tn=+，=+，=+=，Tn=2不等式1nTn+bn化为：1n2+=2不等式1nTn+

21、bn对任意正整数n都成立，当n为偶数时，2，可得当n为奇数时，2，可得1综上可得：实数的取值范围为故答案为：三、解答题17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，cosB=求+的值；假设ABC的面积为2，求ABC的周长【考点】余弦定理；正弦定理【分析】根据cosB求出sinB的值，利用a，b，c成等比数列，根据正弦定理和同角三角函数的根本关系及诱导公式，求出+的值；根据ABC的面积公式求出b的值，再利用余弦定理求出a2+c2以及a+c即可【解答】解：ABC中，cosB=0，sinB=，由a，b，c成等比数列，得b2=ac，根据正弦定理得：sin2B=sinAsi

22、nC，+=；ABC的面积为SABC=acsinB=b2=2，b=；由余弦定理b2=a2+c22accosB=a2+c225，a2+c2=b2+6=5+5=11，a+c2=a2+2ac+c2=11+25=21，a+c=；ABC的周长为a+b+c=+182021年郴州市两会召开前夕，某网站推出两会热点大型调查，调查数据说明，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组15，25，第2组25，35，第3组35，45，第4组45，55，第5组55，65，得到的频率分布直方图如下图：求出频率分布直方图中a的值，并求出这2

23、00人的平均年龄；现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人赠送礼品，求抽取的2人中至少有人年龄在第1组的概率；把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，假设选出的200人中不关注民生问题的人中老年人有10人，根据以上数据，完成以以下联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为关注民生问题与年龄有关？关注民生不关注民生合计青少年组9030120中老年组701080合计16040200附：pK2k00.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.

24、6357.87910.828，其中n=a+b+c+d【考点】独立性检验的应用【分析】根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算频率分布直方图中a的值，以各组的区间中点值代表该组的取值，即可求出这200人的平均年龄；利用对立事件的概率公式，可得结论；求出回归系数，即可得出结论【解答】解：由题意，20.01+0.015+0.03+a10=1，a=0.035，200人的平均年龄=200.1+300.15+400.3+500.35+600.1=42；年龄较小的第1组和第2组，有20，30人，用分层抽样的方法抽取5人，那么抽样第1组和第2组的人数为2，3，再从这5人中随机抽取2人

25、赠送礼品，有=10种方法，抽取的2人中至少有人年龄在第1组的概率=1=0.7；K2=4.68756.635，不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为关注民生问题与年龄有关19如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，且ABC=60，M为PC的中点在棱PB上是否存在一点Q，使用A，Q，M，D四点共面？假设存在，指出点Q的位置并证明；假设不存在，请说明理由求点D到平面PAM的距离【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面取棱PB的中点Q，连结QM，QA，由得QMBC，由此能证明A，Q

26、，M，D四点共面点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由得得PO为三棱锥PACD的体高，由VDPAC=VPACD，能求出点D到平面PAM的距离【解答】解：当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面，证明如下：取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，所以QMBC，在菱形ABCD中ADBC，所以QMAD，所以A，Q，M，D四点共面点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，取AD中点O，连结OP，OC，AC，可知POAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，即PO为三棱锥PACD的体高在RtPOC中，PO=OC

27、=，PC=，在PAC中，PA=AC=2，PC=，边PC上的高AM=，所以PAC的面积SPAC=，设点D到平面PAC的距离为h，SACD=由VDPAC=VPACD得，解得h=，所以点D到平面PAM的距离为20椭圆C： +=1ab0过点A，1，斜率为的直线l1过椭圆C的焦点及点B0，2求椭圆C的方程；直线l2过椭圆C的左焦点F，交椭圆C于点P、Q，假设直线l2与两坐标轴都不垂直，试问x轴上是否存在一点M，使得MF恰为PMQ的角平分线？假设存在，求点M的坐标；假设不存在，说明理由【考点】直线与椭圆的位置关系【分析】直线l1过椭圆C的右焦点c，0，得c=2，又椭圆C： +=1ab0过点A，1，得，设点

28、Mm，0，左焦点为F2，0，设直线PQ的方程，与椭圆联立，由此利用韦达定理、角平分线性质、椭圆性质，结合已条条件能求出点M坐标【解答】解斜率为的直线l1过椭圆C的焦点及点B0，2那么直线l1过椭圆C的右焦点c，0，c=2，又椭圆C： +=1ab0过点A，1，且a2=b2+4，解得a2=6，b2=2椭圆C的方程：设点Mm，0，左焦点为F2，0，可设直线PQ的方程为x=，由消去x，得y22=0，设Px1，y1，Qx2，y2，那么那么y1+y2=，y1y2=要使MF为PMQ的一条角平分线，必满足kPM+kQM=0即，代入上式可得y1y22y1+y2my1+y2=0，解得m=3，点M3，0x轴上存在一

29、点M3，0，使得MF恰为PMQ的角平分线21函数fx=ln+ax1a0I求函数fx的单调区间；gx+xfx=x，假设函数gx有两个极值点x1，x2x1x2，求证：gx10【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】I求导数，分类讨论，利用导数的正负求函数fx的单调区间；gx+xfx=x，那么gx=xlnxax2，gx=lnx2ax+1，进一步得出gx1=，再确定0a且0x1x2，即可证明结论【解答】I解：fx=ln+ax1=lnx+ax1，定义域是0，+fx=a0时，令fx=0，得x=，0x，fx0，x，fx0，函数的单调减区间是0，单调增区间是，+；a0，fx0在0，+上恒成立，函数单调递减；证明：gx+xfx=x，那么gx=xlnxax2，gx=lnx2ax+1，函数g