山西省太原市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析)

1、2015-2016学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12小题，每小题 只有一个符合题目要求的.1. （5分）（2014?重庆）在复平面内复数 a.第一象限b.第二象限c.第三象限5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中,z=i （1 - 2i）对应的点位于（d.第四象限2. （5分）（2015秋？太原期末）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）a. y=x2+1b . y=2xtc. y=sinxd . y=cosx3. （5分）（2015秋？太原期末）若m, n是两条不同的直线，m，平面%则m，n”是n/ 的（）a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.

2、充分必要条件d.既不充分也不必要条件4. （5分）（2016?陕西校级一模）已知 d为4abc的边bc的中点，4abc所在平面内有_ 叵一个点p,满足pa=pb+pc,则l的值为（）i ia. 3 b. 2 c. 1d. 25. （5分）（2014?济南一模）执行如图的程序框图输出的t的值为（）a. 4b. 6c. 8d. 10逗32l6. （5 分）（2016?萍乡二模）已知 sin“=- 1。，且 小（兀，工），贝 u tan2 =（）23- 1a. 4 b. - 4 c. 5 d, - 37. （5分）（2015秋?太原期末）从集合1 , 2, 3, 4, 5, 6中随机抽取一个数 a,

3、从集合1 ,2, 3中随机收取一个数 b,则loga2b=1的概率为（）a.b.d.8. (5分)(2015秋？太原期末)设变量 x, y满足|x-a|+|y-a|司，若2x - y的最大值为5, 则实数a的值为()a. 0b. 1c. 2d. 39. (5分)(2015秋？太原期末)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(mma. 16-田.8+ ttc. 16+ td. 8- %10. (5分)(2015秋？太原期末)已知函数 f (x) =x2- ax+b (a 0, b0)有两个不同的零 点m, n,且m, n和-2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的

4、值为()a. 7b. 8c. 9d. 1011. （5分）（2015秋？太原期末）的图象如图所示，若 f ( a)二3已知函数兀代(jf （x）=asin （cox+4） （a0, w0, 0v（j）2ex的解集是()a. (2, +8)b. (0, +oo)c. (8, 0)d. (8, 2)二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分.、共20分.a13. (5分)(2016？大兴区一模)已知函数 f (x) =4x+x (x0, a0)在x=2时取得最小 值，则实数a二.mhr-fi -|h14. (5 分)(2015 秋？太原期末)若向量 之二(cos15, sin15),匕=(cos

5、75, sin75),贝产+h与之的夹角为.c15. (5分)(2015秋？太原期末)若ab1,且a+b+c=0 ,则之的取值范围是16. (5分)(2015秋？太原期末)定义在 r上的函数f (x)满足f (x+6) =f (x).当-3今 v 1 时，当 f (x)二(x+2) 2,当1a表小未经加.(1)估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率；(2)估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率；(3)如果一个学生参加了数学培训，则该生同时参加英语、物理、化学培训中哪一种的可 能性最大？说明理由.18. (12分)(2015秋？太原期末)已知a, b, c分别为4abc内角a

6、,b,c的对边，且ccosa=5 , asinc=4.(1)求边长c;(2)若4abc的面积s=16.求4abc的周长.19. (12分)(2015秋？太原期末)已知等差数列an的前3项和为-6,前8项的和为24.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn= (an+6) qn (q%),求数列bn的前 n 项和 sn.20. (12分)(2015秋？太原期末)已知平行四边形 abcd中，/a=45,且ab=bd=1 ,将 abd沿bd折起，使得平面 abd，平面bcd,如图所示：(1)求证：ablcd;(2)求棱锥a - bcd的表面积.21. (12 分)(2015 秋？太原期末)函数 f

7、 (x) =axn (1 - x) (x0, ncn*),当 n=-2 时，f i 4(x)的极大值为27 .(1)求a的值；(2)若方程f (x) - m=0有两个正实根，求 m的取值范围.请在22、23、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分选彳4-1:几何证明选讲22. (10分)(2015秋？太原期末)如图，四边形 abcd内接于。o, ba , cd的延长线相交 于点e, ef/da,并与cb的延长线交于点 f, fg切。于g.(1)求证：be?ef=ce?bf;(2)求证：fe=fg.选彳4-4:坐标系与参数方程(-2 - t23.

8、(2015秋？太原期末)已知曲线 c1的参数方程为(t为参数)，当t=t时，对 应曲线c1上一点a且点a关于原点的对称点为 b,以原点。为极点，以x轴为正半轴为极轴建立坐标系，曲线 c2的极坐标方程为 平也-3与i d 8 .(1)求a, b两点的极坐标；(2)设p为曲线c2上动点，求|pa|2+|pb|2的最大值.选彳4-5:不等式选讲24. (2016?新余校级一模)设函数 f (x) =|x- 2|- 2|x+1|.(1)求f (x)的最大值；(2)若f (x)前x+3+m恒成立，求 m的取值范围.2015-2016学年山西省太原市高三(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择

9、题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中， 只有一个符合题目要求的.1. (5分)(2014?重庆)在复平面内复数 z=i (1-2i)对应的点位于()a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限【分析】根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数z化为a=bi (a, b cr)的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案.【解答】 解：二复数z=i (1 - 2i) =2+i复数z的实部20,虚部10复数z在复平面内对应的点位于第一象限故选a【点评】本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数z化为a=bi (a, bcr)的

10、形式，是解答本题的关键.2. （5分）（2015秋？太原期末）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）a. y=x2+1b . y=2xtc. y=sinxd . y=cosx【分析】 根据函数奇偶性和函数零点的定义进行判断即可.【解答】解：a. .y=x2+im, .函数y=x2+1没有零点，不满足条件.b. y=2x- 1为增函数，不是偶函数，不满足条件.c. y=sinx是奇函数，不满足条件.d. y=cosx是偶函数，且函数存在零点，满足条件.故选：d【点评】 本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数零点的应用，比较基础.3. （5分）（2015秋？太原期末）若m, n是两条不同的直线，

11、m，平面%则m，n”是n/的（）a .充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【分析】 m，n”推不出n n/ a? mn【解答】 解：:m, n是两条不同的直线，m_l平面a, mn”推不出 n/ a；nn a ? mn,mn”是n / 的必要不充分条件.故选：b.【点评】 本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、 面面间的位置关系的合理运用.4. （5分）（2016?陕西校级一模）已知 d为4abc的边bc的中点，4abc所在平面内有|p5一个点p,满足近=？5+五，则l的值为（）a. j b.上 c. 1d, 2【分析】如

12、图所示，由于fa=pb+fc,可得：pa是平行四边形 pbac的对角线，pa与bc的交点即为bc的中点d.即可得出.【解答】解：如图所示，.屈福+国.pa是平行四边形pbac的对角线，pa与bc的交点即为bc的中点d.i&l =1 .故选：c.【点评】本题查克拉向量的平行四边形法则、平行四边形的性质， 考查了推理能力，属于基础题.5. （5分）（2014?济南一模）执行如图的程序框图输出的t的值为（a. 4b. 6c. 8d. 10【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件 s*5,计算输出t的值.【解答】 解：由程序框图知：第一次运行s=0+0+1=1 , t=0+2=2;第

13、二次运行 s=1+2x2+1=6, t=2+2=4 ;第三次运行 s=6+2 4+1=155, t=4+2=6 ;满足条件s5,程序终止运行，输出 t=6,故选：b.【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法.逗 32l6. （5 分）（2016?萍乡二模）已知 sinr- 10 且 “c （兀，2 ）,贝u tan2 /=（）1311111a. 4 b. - 4 c. 3 d. - 3【分析】由条件利用查同角三角函数的基本关系求得求得tan2 a的值.逗3兀【解答】解：sinc=- 10 ,且“c （兀，2 ）,tan e的值，再利用二

14、倍角的正切公式 cos（x= 一71-sin2 u102ysin ct的；w宜则 tan2= 一 =-=：故选：a.【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，属于基础题.7. （5分）（2015秋?太原期末）从集合1 , 2, 3, 4, 5, 6中随机抽取一个数 a,从集合1 ,2, 3中随机收取一个数 b,则loga2b=1的概率为（）a./ c.d.m【分析】所有的数对（a, b）共有6刈=18个，而满足loga2b=1的数对用列举法求得有 3个, 由此求得所求事件的概率.【解答】解：从集合1, 2, 3, 4, 5, 6中随机抽取一个数 a,从集合1 , 2

15、, 3中随机收 取一个数b,共有6刈=18种，log a2b=1,a=2b,则有（2, 1）, （4, 2）, （6, 3）,共 3 种，故loga2b=1的概率为 正后故选：b.【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题.8. （5分）（2015秋？太原期末）设变量 x, y满足|x-a|+|y-a|司，若2x - y的最大值为5, 则实数a的值为（）a. 0b. 1c. 2d. 3【分析】满足条件的点（x, y）构成趋于为平行四边形及其内部区域，令 z=2x-y,显然当 直线y=2x-z过点c

16、（1+a, a）时，z取得最大值为5,即2 （1+a） - a=5,由此求得a的值.【解答】解：设点m （a, a）则满足 |x- a|+|y- a|4 的点（x, y）构成区域为平行四边形及其内部区域，如图所示：令z=2x - y,贝u z表示直线y=2x - z在y轴上的截距的相反数，故当直线y=2x - z过点c （1+a, a）时，z取得最大值为5,即 2 （1+a） - a=5,解得 a=3.故选：d.j - u体现了转化、数形结合的【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、简单的线性规划问题, 数学思想，属于中档题.9. （5分）（2015秋？太原期末）某几何体的三视图如图所示，则该几

17、何体的体积为（a. 16-田.8+ ttc. 16+ q. 8- %l【分析】由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的4 ,故可使用作差法求体积.11【解答】解：由三视图可知几何体为正方体切去两个圆柱的4 ,正方体的棱长为 2,圆柱的高为2,底面半径为1.1.2, q丁2x2所以几何体的体积 v=2 3- 4=8-71.故选d.【点评】 本题考查了空间几何体的三视图和结构特征，属于基础题.10. （5分）（2015秋？太原期末）已知函数 f （x） =x2-ax+b （a 0, b0）有两个不同的零 点m, n,且m, n和-2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则 a+b的

18、值为（）a. 7b. 8c. 9d. 10【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到 m+n=a, mn=b ,再由m, n, - 2这三个数可 适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于m, n的方程组，求得 m, n后得答案.【解答】 解：由题意可得：m+n=a, mn=b ,. a0, b0,可得 m0, n0,又m, n, - 2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，f 2n-m - 212ntn - 2可得访4 或血户4 .解 得：m=4, n=1;解 得：m=1 , n=4. a=5, b=4,则 a+b=9.故选：c.【点评】本题考查了一元二次方程根与

19、系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题.11. （5分）（2015秋？太原期末）已知函数兀f (x)=asin (cox+4) (a0, w0, 0v(j) 兀)的图象如图所示，若 f （ a）二3& ），则sin a的值为（）a.b.wc.d.0)【分析】根据函数的最值得到 a,再由图象可得函数的周期，结合周期公式得到再根据函数的最大值对应的 x值，代入并解之得 6从而得到函数的表达式，最后求得的值，cos【解答】解：二.函数. . a=5 ,f （x）的最大值为5,最小值为-5,又函数的周期t=2兀3 ) =2 兀, 3一2江 2兀一二一二17u函数图象经过点（x,5),即：

20、5sin (+ +4) =5,7t，解得：,.,0 (j)2ex的解集是()a. (2, +8)b. (0, +oo)c.(8, 0)d. (-8, 2)【分析】造函数g (x)=巴式，利用导数可判断g (x)的单调性，再根据f (0) =2,求得g (0) =2,继而求出答案.【解答】解：wx贝，都有f (x) f (x)成立，f (x) - f (x) 0,于是有(厂)0, f (0) =2,，g (0) =2, 不等式 f (x) 2ex, -g (x) 2=g (0), . .x0, 故选：b.【点评】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已

21、知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性.二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分.、共20分.a13. (5分)(2016?大兴区一模)已知函数 f (x) =4x+k (x0, a0)在x=2时取得最小 值，则实数a= 16 .【分析】由基本不等式等号成立的条件和题意可得a的方程,解方程可得.a i工旦【解答】解：.0, a0, ，f (x) =4x+置或v 工 x=4、i, a当且仅当4x=k即x= 2时取等号，又f (x)在x=2时取得最小值，通2 =2,解得 a=16,故答案为：16.【点评】本题考查基本不等式求最值，属基础题.14. (5 分)(2015 秋?太原期末)若向

22、量 a= (cos15, sin15),匕=(cos75, sin75),贝产+h与之的夹角为 30 .【分析】利用单位圆作出图形，根据菱形的性质即可得出答案.【解答】 解： =(cos15, sin15), b= (cos75, sin75),=1,=60。，以由，b为邻边的平行四边形为菱形,+叫日的夹角为30.故答案为：30.【点评】 本题考查了平面向量加法的几何意义，数形结合的思想方法，属于基础题.15. （5分）（2015秋？太原期末）若ab1,且a+b+c=0,则&的取值范围是 （-2, -1）【分析】根据ab1,求出它的范围，根据a+b+c=0,得到;a = -1-a,从而求出其范

23、围 即可.【解答】 解：-.ab1, .-.0a1,- 1 v -勺 v 0, b_- 2v - 1 - a v - 1,由 a+b+c=0 ,得：c= - a - b,，-2 v 刁 v - 1,故答案为：（-2, - 1）.【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查转化思想，求出卜的范围是解题的关键，本题是一道基础题.16. (5分)(2015秋？太原期末)定义在 r上的函数f (x)满足f (x+6) =f (x).当-3今 v 1 时，当 f (x) = - (x+2) 2,当1a3 时.f (x) =x，贝u f (1) +f (2) +f (3) + - +f(2015) = 33

24、6 .【分析】 由f (x+6) =f (x)知函数的周期为 6,求出f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5)+f (6)的值.【解答】解：.f (x+6) =f (x), .t=6 , 当3今 1 时，当 f (x) =- (x+2) 2,当1 毛3 时.f (x) =x, -f (1) =1,f=2f (3) =f ( - 3) = - 1,f (4) =f (-2) =0,f (5) =f ( 1) =- 1,f (6) =f (0) =0,.f (1) +f (2) +f (3) +f (4) +f (5) +f (6) =1;f (1) +f(2)+f(3)

25、+- +f (2015) =335x1+f(1) +f (2) +f(3)+f(4)+f(5)=336故答案为：336.【点评】本题考查函数的周期性，根据周期性求代数式的值，属于一道基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (12分)(2015秋？太原期末)某地一家课外培训机构随机选取当地1000名学生的数据,研究他们报名参加数学、英语、物理、化学培训的情况，整理成如下统计表：课程人数数学英语物理化学100vxvv217xvxv200vvvx300vxvx85vxxx98xvxx表中小经力口，表小未经加.(1)估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率；(2)估计当地

26、某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率；(3)如果一个学生参加了数学培训，则该生同时参加英语、物理、化学培训中哪一种的可 能性最大？说明理由.【分析】(1)由统计表得1000名学生中，同时参加英语和物理培训的学生有200人，由此能估计当地某一学生同时参加英语和物理培训的概率.(2)由统计表得1000名学生中，在以上四门课程同时参加三门培训的学生有300人，由此能估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率.(3)该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大.【解答】解：(1)由统计表得1000名学生中，同时参加英语和物理培训的学生有200人，200.估计当地某一学生

27、同时参加英语和物理培训的概率p1000 =0.2.(2)由统计表得1000名学生中，在以上四门课程同时参加三门培训的学生有：100+200=300人，3m.估计当地某一学生在以上四门课程同时参加三门培训的概率p2=000 =0.3.(3)该生同时参加英语、物理、化学培训中参加物理培训的可能性最大.理由如下:200 人，100+200=300 人,100 人，参加数学培训的学生有 100+200+300+85=685人, 学生参加了数学培训，该生同时参加英语培训的学生有 学生参加了数学培训，该生同时参加物理培训的学生有 学生参加了数学培训，该生同时参加化学培训的学生有该生同时参加英语、物理、化学

28、培训中参加物理培训的可能性最大.【点评】本题考查概率的求法， 是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公 式的合理运用.18.(12分)(2015秋？太原期末)已知a, b, c分别为4abc内角a,b,c的对边，且ccosa=5 , asinc=4.(1)求边长c;(2)若4abc的面积s=16.求4abc的周长.1 里【分析】(1)由正弦定理可得 asinc=csina,可得sina=2，由ccosa=5,可得：cosa=0, n cn ),当 n=-2 时，f i 4(x)的极大值为2t.(1)求a的值；(2)若方程f (x) - m=0有两个正实根，求 m的取值范围.42 a

29、l【分析】(1)求出函数的对数，根据 n=2时，f (x)的极大值为27 ,得到f (3 ) =a?9出 4 i二27，解出即可；(2)求出f (x)的导数，得到函数的单调区间，求出 f (x)的值域，从而求出 m的范围.【解答】解：(1) n=2 时，f (x) =ax2(1x),f z (x) =ax (2 - 3x),2令 f ( x) =0 得：x=0 或 x= 3 ,4n=2时，f (x)的极大值为27 ,2_ a工且故 a0,且 f ( 3) =a?9 x3 =27 ,解得：a=1 ；(2) -.-f (x) =xn (1 -x),f (x) =nxn 1- ( n+1) xn=

30、(n+1) xn 1 (口+l -x), n显然，f (x)在x=n+l处取得最大值，nn f(西=(1心 .f (x)的值域是(0,nn(n+1) i),若方程f (x) - m=0有两个正实根,只需0v mv (n+1)”过即可.【点评】 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题.请在22、23、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分选彳4-1:几何证明选讲22. (10分)(2015秋？太原期末)如图，四边形 abcd内接于。o, ba , cd的延长线相交 于点e, ef/da,并与cb的延长线交于点 f, f

31、g切。于g.(1)求证：be?ef=ce?bf;(2)求证：fe=fg.【分析】(1)圆的内接四边形的性质，平行线的性质，判断cfesefb,线段对应成比例，从而证得式子成立.（2）根据 cfesefb,可得be?ef=cf?bf,在根据圆的切线性质可得fc2=fb?fc,从而证得结论成立.【解答】 证明：（1） .ef/da, ，/ dae= /aef ,四边形 abcd 内接于。o,，/dae=/c, ，/c=/aef,ef 里又/cfe=/efb,acfeaefb ,=be , be?ef=cf?bf.ef eb(2) -. cfeaefb,，fc =ef , ef?ef=fb?fc,. fg 切。o 于 g,fc2=fb?fc,ef?ef=fg2,，fg=fe .【点评】本题主要考查与圆有关的比例线段,圆的内接四边形的性质，三角形相似的判定与性质，属于中档题.选彳4-4:坐标系与参数方程k=2 - t23. （2015秋？太原期末）已知曲线 c1的参数方程为尸禽t（t为