幂函数与指数函数的区别

1、精品资料幕函数与指数函数的区别嘉函数的定义,一般地，我们把形如丫二人优的函数称为嘉函数（power如nction）土其中x是自变量，。,是常数的小 概念的理解：指出下列函数哪些是嘉函数，(1)t = y(9)v = x 彳(2)】 二 。v=l (4) v -v2n(6)t = ot = x2 + 2y(8)i，=(丫+1广x23(10) t = w(11)t =/幕函数与指数函数的区别二.指数函数的概念：一般地.函数二门（力。且9关1）.，叫做指数函数，其中工是自变量,函数的定义域是r.- 结论:从它们的解析式来看有如下区别：/幕函数 底数是自变量,指数是常数0口 指数函数一指数是自变量、底

2、数是常数.1 .指数函数：自变量x在指数的位置上，y=aax （a0, a不等于1）性质比较单一，当a1时，函数是递增函数，且y0;当0a0.2 .幕函数：自变量x在底数的位置上，y=xaa （a不等于1）.a不等于1,但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的。高中数学里面，主要要掌握 a=-1、2、3、1/2时的图像即可。其中当a=2时，函数是过原点的二次函数。其他a值的图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像的走向即可。3 .y=8a(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幕函数联系起来也是可以的。首先你可以将其看成：指数函数y=8ax (a=8),当x=-0.7时

3、, y的值；或者将其看成：幕函数 y=xa(-0.7) (a=-0.7),当x=8时，y的值。几种常见的幕函数图象：口幕函数的性质：根据图象，幕函数性质归纳如下：(1)所有的幕函数在(0, 十)都有定义，并且图象都过点 (1,1)；(2)当a0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间0,+若上是增函数.特别地，当a1时，幕函数的图象下凸；当0a1时，幕函数的图象上凸;（3）当a “ 4 h 1）当a1时，x 0,即0和负数无对数；当x=1时，y=0 ;当 x 1 时，y0;当 0vx 1 时，y 0;在（0, +00）上是增函数.当0a0,即0和负数没有对数;当x=1时，y=0 ;当 x 1 时，

4、y 0;当 0 x 0;在（0, 十）上是减函数.函数y = 1叫做幕函数，其中x是自变量，a是常数（这里我们只讨论a是有理 数n的情况）.对数与对数函数学习目标1、理解对数概念；2、能进行对数式与指数式的互化；3、掌握对数的运算性质；4、培养应用意识、化归意识。5、掌握对数函数的概念；6、掌握对数函数的图像的性质；7、掌握比较对数大小的方法，培养应用意识；8、培养图形结合、化归等思想。知识要点：我们在学习过程遇到2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算一一对数运算。4 .对数的定义:如果ab=n（a0，且a为），那

5、么数b叫做以a为底n的对数，记作:logan=b （其中a叫做对数的底数，n叫做真数。注意：由于a0,故n0,即n为正数，可见零和负数没有对数。上面的问题：- i 通常将以10为底的对数叫做常用对数，bgin病记作收m。以e为底的对 数叫做自然对数，脸病记作1n加。5 .对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化。它们的关系可由下图表示。指数式对数式指数对数幕真数u i1小logqn=bi|底数由此可见a, b, n三个字母在不同的式子中名称可能发生变化。6 .三个对数恒等式由于对数式与指数式可以互化，因此指数的恒等转化为对数恒等式。在（

6、a0, a月）前提下有：（i。= 1 logfl 1 = 0（2） a1 = loga 0 , a力的前提下有:令 am=m , an=n ,贝u有 m=logam , n=logan ,=屋棺，m+n=loga(mn),即 logfl jz+logazm*t =logam-logaat=log n ,令 am=m , an=n ,贝u有 m=logam , n=logan ,m_ .if1 财1 sz 1 az 1 m阳= logs 7；logajl/-loga27 = log w ,即n 0(。)-a = *log m tog 止 m 伪 er),令 am=m ,则有 m=logam ,-

7、 mn=nlog*; mn=amn , mn=i% (n 虫)， n og 口 =1空 a 材5.两个换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a0, a为，m0的前提下有：（i）令 logam=b ,则有 ab=m , (ab)n=mn ,即j 一，即材 即:脸。hgam = - -;(c 0/ h 1),令 logam=b ,贝u有 ab=m ,贝有logj =logm(c0,ca脸”脸m,即1,即嘀1当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性。而且由(2)还可以得到一个重要的结log a 4 = - 0 )0, 1 h 1)0, b

8、 h 1)论：！：遥:一例题选讲：第一阶梯例1将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式(1)log216=4 ；(2) log 27 = f3 4)心尸=1694解：(1)24=1654=625 ;(3) .54=625 ,log5625=4., 1 1(4)7 3-3=-/.log3- = -2(5)(；厂=16/1呵16 = -2例2解下列各式中的x:(1)1% (也-1) = 72 (2)log4x = -)(3)2x=3 ;(4)log3(x-1)=log9(x+5).解:。油工-1 =也7 得m = - = /2 +l 72-14 1 v4i、矿丁(3)x=log23.(4)将方程变

9、形为logp(7-02 =logp(x + 5)(x-l)2 = x + 5汗-100工=4汗+ 5 0例3求下列函数的定义域:(阶=1空式/-4工-51y=加5(4k力；m_ 在一4 丁.3+2x7)(4)尸。6-%思路分析:0且不求定义域即求使解析式有意义的x的范围，真数大于0、底大于等于1是对数运算有意义的前提条件。解:(1)令 x2-4x-50 ,得(x-5)(x+1)0 ,故定义域为x|x5log0,s(4x-3) 0 = logoil 4x-30.,04x-3 10解得，e4:定义域是x|z1lg( x2 +2x - 3) # h 一1 土 斯故所求定义域为犬t -后或7-jjx0

10、 卜0 得卜 7x + 1 11 h 0一所以所求定义域为x|-10 ,或0x2.第二阶梯例4比较下列各组数中两个值的大小(1)log23.4 , log28.5 ;(2)log0.31.8 , log0.32.7 ;(3)loga5.1 , loga5.9(a0 , a力)。思路分析：题中各组数可分另j看作对数函数 y=log2x、y=log0.3x、y=logax的两函 数值，可由对数函数的单调性确定。解：(1)因为底数21 ,所以对数函数y=log2x在(0, +3上是增函数，于是log23.4log28.5 ;(2)因为底数为0.3,又00.3log0.32.7 ;(3)当a1时，函数

11、y=logax在(0, +)上是增函数，所以 loga5.1loga5.9 ;当0loga5.9 。说明：本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小， 利用函数单调性比较对数的大小，是重要的基本方法。例5若a0, a有，x0, y0, xy,下列式子中正确的个数是()(1)logax logay=loga(x+y)；(2)logax-logay=loga(x-y)； y 晚自一= log j+bg忠产 a(4)logaxy=logax logay ；a、0 b、1 c、2 d、3思路分析：对数的运算实质是把积、商

12、、幕的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算。如logax科oga x, logax是不可分开的一个整体。4个选项都把对数符号当作字母参与运 算，因此都是错误的。答案：a例 6已知 lg2=0.3010 , lg3=0.4771，求 1g 抑 。思路分析：解本题的关键是设法将 日 的常用对数分解为2, 3的常用 对数代入计算。解:1g a/45 = -1g 45 = 1g = lg9+lg10-lg2)2= l(21g3n-lg2)=33 + ；恁2= 0 4771 + 0.5-0 1505=08266.第三阶梯例7若方程lg(ax) l

13、g(ax2)=4的所有解都大于1,求a的取值范围。思路分析：由对数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化 归为一元二次方程解的讨论问题。解：原方程化为(lgx+lga)(lga+21gx)=4。21g2x+31ga 1gx+1g2a-4=0 ,令t=1gx ,则原方程等价于2t2+3t1ga+1g2a-4=0 , (*)若原方程的所有解都大于1,则方程(*)的所有解均大于0,则 fa-(31g d)y -4,2包。-4)2 0,4 - ,陪 s 0,触l解得。的.100说明：换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。例8将y=2x的图像()a、先向左平行移动1个单位b、先向右平行

14、移动1个单位c、先向上平行移动1个单位d、先向下平行移动1个单位再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log2(x+1)的图像。思路分析：由于第二步的变换结果是已知的，故本题可逆向分析。解法1：在同一坐标系内分别作为y=2x与y=log2(x+1)的图像，直接观 察，即可得do解法2:与函数y=log2(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2x-1的图像，为了得到它，只需将 y=2x的图像向下平移1个单位。解法3:由f姐式工卜所以(0,0)点在函物=她式工+ 1)的图像上,0)点关于y =1对称的点还是口 =工 9 = q本身。函数y=2x的图像向左或向右或向上平行移动

15、都不会过 (0, 0)点， 因此排除a、b、c,即得d。说明：本题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。例9已知log189=a , 18b=5 ,求log3645的值；(用含有a、b的式子 表示)思路分析：当指数的取值范围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算(扩 展之前开方运算是乘方运算的逆运算)。因此，当一个题目中同时出现指数式和 对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上。解：由 18b=5 ,得 b=log185 ,又 log189=a , log189+log185=log3645=a+b ,则log k 45% 45% 36a_ a+a _ q +b1

16、+ log 13 2 2-log ie9 2-a说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的 教学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活应用详细题解1.求值：（i）3h*（2）210g 5 25 + 3喻 64-81%山1lg5lg20+g32解：要5出=3 . 2 有7。=2.晦 52 +3 logs 2fi- 8x 0=4+18- 0= 22.=ig5（lg4+lg5）+ lga2 = 21g2 lg5+lgj5+lg32= 0g2+lg5）a = 1注意:lg2=log102 ,此为常用对数，lg22=

17、（lg2）2 ,区别于电2 = 2a2。2.求值:帼3+*3（%2+喻2）（2）喻9-%32（3）口目5解:物；卜,嚏小二：:魄3 22 jog口 3 log/923m ”麻义535)qog3 2 +) = - log331og32 = -26241g 9 . 1g 32 _ 21g 3lg8初一右51g 2 _ 103te3-i一mg5 5法一：92= 32= 3小3 = 1253251y *=9帖即25注意:运用换底公式时，理论上换成以大于 0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可。（3）的第二种方法直接运用的第一个换底公式，

18、很方便。3.已知:log23=a, log37=b ,求:log4256=?*56臀窖警用管客log 3 42 log37 + log36 fog37 + l + log32a +i 1 .4.已知:a2+b2=7ab , a0, b0求证一- = -(lg + lg5)ui证明：: a2+b2=7ab，.二 a2+2ab+b2=9ab ,即(a+b)2=9ab , lg(a+b)2=lg(9ab),: a0 , b0，.二 21g(a+b)=lg9+lga+lgb，.二 2lg(a+b)-lg3=lga+lgblg+即 二 ,5 .已知:2=3劭=6* 求证:3ab-bc-2ac=0。证明:

19、设2位刁二产=制清0),则：6a = log2 叱 3b 二卜灯 叫 2r = logfi m ,3ab =-log2 ffslog3 mbe + 2ac = (b +2a)c = (-log3 m 十一log 口= - (log m + log2 w) log63326“eg?加 4 jog?冽 h i , 1 4vi mi=-(-7 + log 2 m)-=-log 2 w log 3(-+ dqog 5 6)6 log 3log 3 v v10g 2 3, log/log3 6, . 3ab=bc+2ac ,即 3ab-bc-2ac=0。70 .6 .求值:10目口7 gm ,（7电今崛

20、7%，（_1）死71。，（！）-1=(22)研2 = 2.27运” ,（1）用另解:设2=m (m0),1g 7皿+喊；）% =他测乙 . lg2=lgm ,2=m ,即图1ig21g7 + lg-g-lgw . ig2-lg7 + (jg7-l)(-lg2) = |gw课后练习:-102521(57 9u史-jg60、”4ft】1. 。+ 他52.3*2 + *9十代班2% + 234.已知:x log34=1 ,求：21r - 2t5.已知：lg2=a , lg3=b ,求:log512的值331.-22. - 217 27 2a+63.4. 35. j：对数函数的性质及应用概念与规律：1

21、 .对数函数y=logax是指数函数y=ax的反函数，在学习对数函数的概念， 图象与性质时，要处处与指数函数相对照。2 .在同一坐标系内，当a1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴;当0a1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴。(见图1)例1.求下列函数的定义域。布mg 1(-1)-1(1) y= (2) y=ln(ax-k 2x) (a0 且 a 力，k r)卜-1。fjogx-t 02 4工-10,所以(2)xk。10,当k怎时，定义域为r;吗20,当k0时，(i)若a2,则函数定义域为(k k, +5%(ii)若0a2，且a力，则函数定义域为 , k k)；(iii)若a=2,则当

22、0k1时，函数定义域为 r;当k*时，此时不 能构成函数，否则定义域为0。例2.若logm3.5logn3.5(m , n0,且m月，n为)，试比较 m , n的大小。解：(1)当m1 , n1时，,3.51,由对数函数性质：当底数和真数都大于1时, 对同一真数，底数大的对数值小，：nm1。(2)当 m1 , 0n1 时，-.1ogm3.50 , logn3.50 , . . 0n1m也是符合题意的解。(3)当 0m1 , 0n1 时,3.5 1,由对数函数性质， 此时底数大的对数值小，故 0mn1 。综上所述，m,n的大小关系有三种：1mn或0n1m 或0mn1 。例3.作出下列函数的图象：

23、 y=lgx , y=lg(-x) , y=-lgx y=lg|x| y=-1+lgx解:(1)如图2;(2)如图3;(3)如图4。例4.函数y=f(2x)的定义域为-1 , 1,求y=f(log2x)的定义域。jj提示:由-1&x&1,可得y=f(x)的定义域为g , 2,再由2 log2x2得y=f(log2x)的定义域为五,4。喻例5.求函数y= 2(-x2+2x+3)的值域和单调区间。啕解:设 t=-x2+2x+3 ,贝u t=-(x-1)2+4 , v y=5 t 为减函数，且 0t = =-2,即函数的值域为-2, +oo)0logi再由：函数 y= 2 (-x2+2x+3)的定义

24、域为-x2+2x+30 ,即-1x3 。logi. t=-x2+2x+3在(-1, 1)上递增而在1, 3)上递减，而y= 耳为减函数。啕函数y= 5(-x2+2x+3)的减区间为(-1 , 1),增区间为1, 3)。例 6.已知 f(x)=ax-a-x(其中 0a1) 。(1)求函数f(x)的反函数f-1(x); (2)试判断函数f-1(x)的奇偶性，并证明你的 结论。y +旧十4解:(1)设 y=ax-a-x ,贝u a2x-yax-1=0 , = ax0 ,解得 ax= 2,了十少+可 x=loga 2,x + j1 2 +4所求函数白反函数f-1(x)=loga 2 (xcr)。_ /

25、 + g +7：(2) /x r 且 f-1(-x)=loga 2 =loga x + j/+4 x + & + 4=loga( 2)-1=-f-1(x) o 函数 f-1(x)是奇函数。a(x2 -1)例7.已知f(logax)=久(7t) (a0且awl),试判断函数f(x)的单调性。解:设t=logax(x cr+, tc r)。当 a1 时，t=logax 为增函数，若 t1t2,则0x1x2 ,函7) _虫-1)=强-冷)(斗+1) f(t1)-f(t2)=32-1)x2(a 7 个式。i),v 0x11 , . f(t1)f(t2) , f在 r 上为增函数，当0a1时，同理可得f

26、在r上为增函数。.不论a1或0a1 , f(x)在r上总是增函数。例 8.已知函数 f(x)=lg(ax2+2x+1)。(1)若函数f(x)的定义域为r,求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为 r,求实数a的取值范围。分析:与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题。f(x)的定义域为r,即关于x的不等式ax2+2x+10的解集为r,这是不等式中的常 刀规问题。f(x)的值域为r与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察 此函数的图象的各种情况，如图5,我们会发现，使u能取遍一

27、切正数的条件是 z 020lo解:(1)f(x)的定义域为r,即:关于x的不等式ax2+2x+10的解集为r,当a=0时，此不等式变为2x+10 ,其解集不是r;(a 0当aw0时，有3一4。1。. a的取值范围为a1。(2)f(x)的值域为r,即u=ax2+2x+1能取遍一切正数匕a=0或(a 0iq 0 a1,. a的取值范围为0a1),记a abc的面积为so(1)求s=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3)判断函数s=f(a)的单调性，并予以证明； 若s2,求a的取值范围。解:(1)依题意有g(x)=log2x(x0),并且 a、b、c三点的坐标分别为 a(a, log2

28、a) , b(a+4, log2(a+4) , c(a+8 , log2(a+8) (a1),如图 6。a, c 中点 d 的纵坐标为 2log2a+log2(a+8)1s= 2 |bd| - 4 2=4|bd|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8)。0+4)2(2)把 s=f(a)变形得：s=f(a)=22log2(a+4)-log2a-log2(a+8) =2log2 a(a + 8)16-2=2log2(1+ 琪 +心)。1625由于 a1 时，a2+8a9 , ；11+ ba 9 ,又函数 y=log2x 在(0, +00) 上是增函数，162525 02log2(

29、1+ j+&i)2log2 9 ,即 0s2log2 9 。(3)s=f(a)在定义域(1 , +00)上是减函数，证明如下：任取a1, a2,使1a1a21 , a21 ,且 a2a1 ,. a1+a2+80 , 4 +8a20 , 4 +8a10 ,a1-a20 ,161611+ 1 1+1 f(a2)s=f(a)在(1, +00)上是减函数。；iog2(2 竺叱 240俗 + 8) q d a(a +8)由s2,即得 卜 1卜”，解之可得：10 且 a w 1, b1时，f(x)在(-8,2), (- 2, +oo)上都是增函数，b b0a1 时，f(x)在(-8,2), (- 2 ,

30、+oo)上都是减函数。如+1)(4) f-1(x)= 2/t)(xw0, xcr)。3. (1)证明f(x)为奇函数；(2)证明f(x)为r上的增函数。74. log2 4a1 。专题辅导对数与对数函数1 .本单元重、难点分析1)重点：对数的定义；对数的性质与运算法则；在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质。2)难点：对数定义中涉及的名称较多，易混难记；对数的运算法则的指导和应用；对数函数的图象与性质及其运用。2 .典型例题选讲例 1.已知 log23=a, 3b=7,求 log1256 的值。讲解：先将3b=7转化为log37=b ,然后设法将log1256化成关于log23

31、和 log37的表达式，即可求值。解法 1 v log23=a ,. 2a=3。又 3b=7 ,. 7=(2a)b=2ab ,故 56=23+ab。又 12=3 - 4=2a - 4=2a+2 。1解法 2log23=a ,log32=。，又 3b=7 ,log37=b ,从而log 3 56 = 1啊 7+1 啊 g = 1% 7+ 3* 2 =处+ 3lcg312 log5 3 +logs4 l + 21og32 + 2， a + 2log1256=a0lg3解法 3log23=也 2 =a , ig3=alg2 ,又 3b=7 ,. lg7=blg3 , . lg7=ablg2。 lg

32、56.3电 2 +lg7 _ 31g 2 + nblg 2 _ 3 +ab从而 log1256=也12 21g2 + lg3 2!g2 + alg2 2+以。说明：解法1借助指数变形来解；解法2与解法3是利用换底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数，从而把已知对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可。例2.已知loga3logb30 ,贝u a, b, 1的大小关系是。讲解：由对数函数的性质可知，a1, b1,关键是判断a与b的大小，这 可以利用对数函数的单调性来解决。-l-l解法 1由 loga3logb30 q0 q log3blog3a0 qlog3

33、blog3alog31 。y=log3x 是增函数，故 ba1。史与解法2由loga3logb30 q 他4 3上0。v lg30 , . lga0 , lgb0 ,上式等价于k”0 o lgblga0 o lgblgalg1。: y=lgx是增函数，故ba1 o解法3分别作出y=logax与y=logbx的图象，然后根据图象特征进行推断。loga3logb30 ,a1 , b1 ,故 y=logax 与 y=logbx 均为增函数。又. loga3logb30 ,当x1时，y=logax的图象应在y=logbx图象的上方，如图所示。根据对数函数的图象分布规律，可知：ba1。说明：解法1利用了

34、 logab与logba互为倒数，转化为同底的对数，再利用 单调性判断。解法2利用了换底公式。解法3利用了图象的特征。3 .容易产生的错误1)对数式logan=b中各字母的取值范围(a0且aw 1, n0 , b r)容易记 错。2)关于对数的运算法则，要注意以下两点：一是利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边 的对数都存在时等式才能成立。如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的， 因为虽然10g2(-3)(-5)是存在的，但10g2(-3)与log2(-5)是不存在的。二是不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、积、商、幕混淆起

35、来，即下面的等式是错误的：1oga(m n)=1ogam logan ,1oga(m - n)=1ogam logan ,m =n bg 用loga m 且 o3)解决对数函数y=logax (a0且aw 1)的单调性问题时，忽视对底数 a的 讨论。4)关于对数式logan的符号问题，既受a的制约又受n的制约，两种因素 交织在一起，学生应用时经常出错。下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习 时参考以1为分界点，当a, n同侧时，logan0 ；当a, n异侧时，logan0反馈练习一、选择题1 .设a,b,c为正数，且3a=4b=6c ,则有（）。1 1 12 2 11 2 22 1 2_ =

36、 一=一 + 一 = 一 + _ = _ +a、cab b、cab c、cab d、cab屈2第学图图log a 4 12.已知 2,那么a的取值范围是（）。0a-ala、2b、2c、2d、0a13 .图2中曲线是对数函数y=logax的图象，已知a值取 3 5 10 ,则 相应于c1, c2, c3, c4的a值依 次为（）。a、3 5 10b、3 10 5士欣3叔uc、 35 10d、310 5f（x） =logi |x2 -6x +514 .函数5的单调递增区间为（）。a、（-oo3b、（-引）或3, 5） c、3,+ 3 d、（1,3）或（5, +g5 .设偶函数f（x）=loga|x

37、-b|在（-?0）上是增函数，则f（a+1）与f（b+2）的大小关 系是（）。a、f(a+1)=f(b+2) b、f(a+1)f(b+2)c、f(a+1)f(b+2) d、不能确定6 .设方程2x+x-3=0的根为a ,方程log2x+x-3=0的根为0 ,贝u a + 0的 值是()。a、1 b、2 c、3 d、6二、填空题：7 .已知函数y=loga(kx2+4kx+3),若函数的定义域为r,则k的取值范围是;若函数的值域为r,则k的取值范围是f(x) =8.已知函数f (x + 1) (x4)贝u f(log23)的值为9 .已知 a=0.33,b=30.3, c=log30.3, d=

38、log0.33 ,则 a,b,c,d 的大小关系是解答题:1 -x叫)=设logac10 .设logac, logbc是方程x2-3x+1=0的两根，求 修 的值。1)判断f(x)的单调性，并给出证明；2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明f-1(x)=0有唯一解；3)解关于x的不等式22 012.光线通过一块玻璃板，具强度要损失10%,把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为 a,通过x块玻璃板以后强度值1)试写出y关于x的函数关系式;12)通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来的 3以下答案：一、选择题1、b 2、d 3、a 4、b 5、b 6、c1 .设 3a=4b=6c=k

39、,a=log3k, b=log4k, c=log6k,11121- = logks c- = 10gk3_ = logk4& log3k ，同理 b 一log l1时，由 上al知 2 ,故al ；0a-,故 2阴4第61伊等用第loga7logaa当 0a1 时，由 2 知 0a v：shapes=_x0000j1212” src=tgg1sx09.files/image076.gif0 al。0-14 .因为 2,所以只求出y二|x2-6x+5的递减区间即可。f(x)的定义域为(-勺)1,5) 5,+3。作出 y=|x2-6x+5|=|(x-3)2-4|的图象。如图3所示，由图象即可知。5

40、 .由f(x)是偶函数，得b=0;又因为f(x)在(-书)上是增函数，得0a1.所以0a+1 ,由f(x)在(0,+ )上是减函数，得 f(a+1)f(b+2)6 .将方程整理得2x=-x+3 , log2x=-x+3 ,如图4所示，可知a是指数函数 y=2x的图象与直线y=-x+3的交点a的横坐标；0是对数函数y=log2x的图象 与直线y=-x+3的交点b的横坐标。由于函数y=2x与函数y=log2x互为反函数， 它们的图象关于直线y=x对称，所以a,b两点也关于直线y=x对称，所以a( a邛), b( b , a )。注意至lj a( a , b )在直线 y=-x+3 上，所以有 b

41、=- a +3,即 a + 0 =3。二、填空题：of-) j 岛+)7 .44 o要使函数的定义域为r,只需对一切实数x, kx2+4kx+30恒成立，其充要卜0,攵住曰 l j4 = 16k2 721c0,条件是k=0或i330kq3=叱-12co.，解得匕故k的取值范围是_8. 24。 .1log234,24 _f(3 + *3) =(/峪 3 =124又丁当 xadc, , 0.30 , 30,. =0.330, b=30.30.31,00.31,c=log30.30, d=log0.331,a=0.33ac = log 3 o.3 log93 - = 而一一：，一一二 dc.logc

42、 a + lo5cb = 3, logc a logc b = 1.ogc&t，cb = 后。11.fl 0, j 1 + x1)由卜+2=得-1x所以f(x)的定义域为(-1,1).11 1一当 $ 1, l-xj+ -(+ 电设-1x1x20,(1-x1)(1+x2)0,(1+x1)(1-x2)0,(1 一碎1+工2)所以。+勺)。一句)1g31o町-町。所以 0 +瓦)(1 -工3,又易知 ( + 2)(町+2) f(x1)-f(x2)0 ,即 f(x1)f(x2). 故 f(x)在(-1,1)上是减函数。f(o) = l + lgl=- f-1(-)=0x =-2)因为 22 ,所以

43、2 ，即f-i(x)=0有一个根 21沏假设f-1(x)=0还有一个根 2 ,则f-1(x0)=0 ,12 ,这与f(x)在(-1,1)内单调递减相矛盾。1x =-故 2是方程f-1(x)=0的唯一解。3)因为 2,所以 20 -) 1又f(x)在(-1,1)上单调递减，所以2笈e( 解得叫吗4212.1经过1块玻璃板后光线强度为：(1-10%)a=0.9a ;经过2块玻璃板后光线强度为：(1-10%) 0.9a=0.92a ;经过3块玻璃板后光线强度为：(1-10%) - 0.92a=0.93a ;经过x块玻璃板后光线强度为：0.9xa.所以，y=0.9xa (x n+).0.9xa - o

44、,9x 12由题意可知：3 ,3,3-.1042两边取常用对数得：xlg0.9 3 ,又lg0.9. 收。9故 xmin=11.答：需要11块以上玻璃板重叠起来，光线强度减弱到原来的3以下。检测题1、在b=log(a-2)(5-a)中，实数a的范围是()a、a5 或 a2b、2aa3 或 3aa42馈的值是()b、c-2d、3、若 logab=logba(awb),贝 ab=(a、1b、2d、44、若 lg2=aa.1 +1lg3=b ,则 log512 等于d.ai方程=:的解是()4 14工=_ 9c.x =3zh = 96、已知姆飒飒卜q那么一等于a-5-cd 32732加 3后7、y=

45、（0.2）-x+1的反函数是（）a、y=log5x+1(x0)x w 1)c、y=log5(x+1)(x-1)b、y=log5x+1(x0 且d、y=log5(x-1)(x1)8、已知y=loga（2-ax）在0, 1上是x的减函数，则a的取值范围是（）a、（0, 1）b、（1, 2） c、（0, 2）d、2, +oo）9、若 0a0且不=1),从上面我们对于幕函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。在函数y=aax中可以看到：(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，同时a等于0 一股也不考虑。(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。(3)函数图形都是下凹的（ 4 ） a 大于 1 ，则指数函数单调递增； a 小于 1 大于0 ，则为单调递减的。（ 5 ） 可以看到一个显然的规律， 就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中 （当然不能等于 0 ），函数的曲线从分别接近于 y 轴与 x 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于 y 轴的正半轴与x 轴的负