浅析二次函数在高中教学中的应用

1、浅析二次函数在高中教学中的应用 【摘 要】在高中阶段的学习过程中，函数思想贯穿始终，而可以说对高中每个知识点的学习都能看到二次函数的身影，在每年数学高考中二次函数占的比例都很高。因此学好二次函数尤为重要。本文从二次函数的基本概念和基本性质着手，并对在不等式、导数、解析几何中的应用进行了一定阐述，希望能够对在高中辛勤付出的广大教育工作者带来些许帮助。 【关键词】二次函数；基本性质；不等式；导数；解析几何 一、深抓概念，牢固掌握二次函数基础知识 在初中阶段就对函数的定义进行了相应的阐述，指出而随着高中知识的深入，对函数的概念通过从映射的角度进行了从新解释，但仍具有普通函数的基本素和特性等。本文以二

2、次函数的概念和基础知识为例，加固对基础知识概念的理解。即二次函数是从一个集合a（定义域）按照一定的对应关系f映射到集合b（值域）中，使集合b中元素y与集合a中的元素x按照y=ax2+bx+c（a0）的关系对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a0），学生只有深刻掌握基本概念后才能做到更好的应用。例如对以下问题的求解： 类型i：已知f（x+1）=x2-4x+1求f（x） 分析：对于此例题的求解如果充分掌握理解函数的概念定义，找出那个是自变量，那个是因变量，并判断出它们之间的对应关系，那么此问题便很好解决。因此可从两个方面入手结果此问题：将所给表达式通过配方法转换成x+1的表达式：f（x+1）=（

3、x+1）2-6（x+1）+6，然后将函数中的自变量x+1用x替代，即为所求表达式f（x）=x2-6x+6。直接用变量换元的方法假设t=x+1，那么x=t-1，带入所给表达式可知f（t）=t2-6t+6，因此f（x）=x2-6x+6。 二、二次函数基本性质的应用 在高中阶段对基本性质的考察主要围绕着二次函数的单调性、奇偶性和有界性（最值问题）等方面，而对单调性和有界性的考察最为常见，因此，必须让学生对基本性质的应用熟练掌握，尤其是单调性和有界性相结合的系统考察。 类型ii：已知函数f（x）=x2-2x+3，求函数在区间m，m+1内的最小值。 分析：由函数图像可知，对称轴为x=1，在区间（-，1上

4、是递减函数，在1，+）上是增函数，而区间m，m+1中m的数值不确定，那么应当对所求区间的大小和1进行分类讨论，以便求出最小值点。 解：根据函数f（x）的图像可知，对称轴为x=1，那么f（x）在x=1时取得最小值为fmin（x）=f（1）=2。当m1时，那么fmin（x）=f（m）=m2-2m+1。 三、二次函数在二次方程和二次不等式中的应用 在高中阶段针对求解一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）根的问题比较普遍，在求解过程中往往转化成函数f（x）=ax2+bx+c（a0）的零点求解问题，而对于二次不等式的求解问题主要是先转换成二次方程根的求解，然后在坐标轴上画出根的位置，最后根据所求不等式

5、的范围确定所取x值的范围，即是所求不等式的范围，但值得注意的是在求解过程中一定要求学生对二次函数定义域、值域、单调性等概念的熟练掌握理解透彻。 类型iii：已知函数f（x）=（4-3a）x2-2x+a，若0x1，x为自变量，a为常数，证明当a时，f（x）a。 分析：根据所给的已知条件，判断出4-3a和0之间的关系，然后确定函数图像的确切开口方向和精确的对称轴位置，然后利用二次函数的单调性和有界性进行求解分析。 证明：根据已知条件a可知，4-3a 四、二次函数在导数中的应用 针对二次函数在导数中的应用，考察最多的就是极值、最值问题，但必须注意在特殊点的可导性问题，这也是很多学生最容易出现问题的地

6、方。 类型iv：已知函数f（x）=3x2+2x，求f（x）在何处取极小值 分析：题目已经给出了函数f（x）的表达式，只需求出f（x）=0的点和判断出在不同范围内的单调性即可求出函数f（x）的极值。 解：当f（x）=3x2+2x=0时，解得x1=0，x2=-，当x在（-，-2/3）区间时，f（x）0，故函数f（x）在相应的区间上单调递增；当x（0，-），f（x）0，故函数f（x）在相应的区间上单调递增，因此函数f（x）在x=0时取极小值f（0）=0。 五、二次函数在解析几何中的应用 二次函数在解析几何中的应用在高考题中往往出现在压轴题或高档题中，主要考察位置关系、最值和轨迹问题，在解决直线和所给

7、曲线的位置关系问题时，主要是考察两个曲线方程组成的二次函数有无实数根或几个实数根的问题，应当注意的是，针对此综合性的问题应当充分利用好数形结合和分类讨论的方法。 类型v：探究直线y=kx+1和双曲线x2-y2=1交点的个数。 分析：根据所给的已知条件，此题目主要考察的是交点的个数，实际上讨论的组成的一元函数方程根的问题，然后充分利用韦达定理和分类讨论的方法便可解答。 解：由已知条件，将上述两个方程联立消去自变量y得（1-k2）x2-2kx-2=0。那么当1-k2=0，故组成的函数方程只有一个根，在直线和双曲线的公共交点处取得。当1-k20时，根据韦达定理可知，判别式=b2-4ac=8-4k2；当=8-4k20时，组成的二次函数有两个实数根，故直线和双曲线有两个交点；当=8-4k2=0时，组成的二次函数有且只有一个实数根，且在直线和双曲线的切点出取得；当=8-4k2 六、结束语 二次函数贯穿于初高中的整个学习阶段，且在每年高考中都已较高的频率出现，且考试的重点往往将二次函数结合别的相关知识点结合起来进行的考察。故在高中能熟练掌握运用二次函数的知识点极为重要。本文列举的二次