2-21.1.1函数的平均变化率学案

1、第一章导数及其应用l1导数i1. 1.1 函数的平均变化率【明目标、知重点】1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率3能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题.填要点记疑点1 .函数的平均变化率已知函数y = f(x), xo, x1是其定义域内不同的两点，记zx=xj1-xo, ay= y1一 yo= f(x1)f(xo)= 叫+ ax) f(x),则当axw 0时，商“xo+ :匚x0x 乎叫做函数y=f(x)在xo到+ax(或 4-x4-xxo+ax, xo)之间的平均变化率.2 .函数y=f(x)的平均变化率的几何意义?=皿_匚3汰示函数y = f(x

2、)图象上过两点 , f(x1)，的，仪)的割线的斜率.xx2-x1一探要点究所然情境导学某市2。13年5月3。日最高气温是33.4c ,而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4c和18.6 c,短短两天时间，气温 “陡增” 14.8c,闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！ ”但是，如果我们将该市 2013年4月28日最高气温3.5 c和5月28日最高气温18.6c进行比较，可以发现二者温差为 15.1 c,甚至超过了 14.8c,而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那 么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢?探究点一

3、函数的平均变化率思考1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示a、b之间的曲线和 b、c之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜 率来量化.如用比值yc二期近似量化b、c这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在xb, xc上的平xc xbj均变化率.思考2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用 y=f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子逅匚3)麦示，x2 xi我们把这个式子称为函数y = f(x)从xi到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢.思考3平均变化率有什么几何意义？答 设a(xi, f(xi), b(x2, f(x2)

4、是曲线y=f(x)上任意不同的两点，函数 y= f(x)的平均变化率/二3户)=卫等也为割线ab的斜率.zaxx2 xizaxy0 *!由 工xi, x2是定义域内不同的两点，因此axw 0,但ax可正也可负；ay=f(x2)f(xi)是相应 ax= x2 xi的改变量，ay的值可正可负，也可为零.因此，平均变化率可正可负，也可为零.例i某婴儿从出生到第i2个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 3个月与第6 个月到第i2个月该婴儿体重的平均变化率.3-1?解 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为6.5-3.5=i（千克/月）.3-0从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为118

5、.6 24=24= 0.4(千克 /月).12-66反思与感悟求平均变化率的主要步骤:(1)先计算函数值的改变量ay= f(x2) -f(x1).(2)再计算自变量的改变量ax = x2-xi.ay f(x2 f(x1 ) 得平均变化率事?二产跟踪训练1如图是函数y=f(x)的图象，则:(1)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为(2)函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为、13答案1 (2)3f (1 - f( 一 1 2 一 1解析 (1)函数f(x)在区间1,1上的平均变化率为一f=(t)212.fx+3, - k x 1(2)由函数f(x)的图象知，f(x)= 2、x+1, 1x

6、3f(2 尸 f(0 )所以函数f(x)在区间0,2上的平均变化率为* 2-03 2=3 =4.探究点二求函数的平均变化率例2已知函数f(x) = x2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率:(1)1,3; (2)1,2; (3)1,1.1; (4)1,1.001.解(1)函数f(x)在1,3上的平均变化率为f(3 上甲)_32-13-12一= 4；(2)函数f(x)在1,2上的平均变化率为f(2 卜甲)22-12-12一= 3;(3)函数f(x)在1,1.1上的平均变化率为f(1.1 厂 f(1 ) 1.12- 11.1 10.12一=2.1;(4)函数f(x)在1,1.001上的平均变

7、化率为f(1.001 / f(1) 1.0012- 11.001 10.0012-=2.001.反思与感悟函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量 ax取值越小,越能准确体现函数的变化情况.跟踪训练2求函数y= x2在x= 1,2,3附近的平均变化率，判断哪一点附近平均变化率最大？解 在x=1附近的平均变化率为1- = 2+ ax;2k1 =f(1 + ax j- f(1 ) (1+axj ax_ax在x=2附近的平均变化率为k2=f(2+ 瓜厂 f(2 ) (2+ ax 2-xax22=4+ ax;在x=3附近的平均变化率为k3=x;f(3+ ax / f(3 ) (3+ a

8、x 2- 32 ax_ax对任意 ax有，k1k2s2(0),s1(t0 广 s1(0 ) s2(t0 ) s2(0 )t0 t0所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大.反思与感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值 越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢.跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？1010 1 2斛 甲赚钱的平均速度为5* .=硒=6(万兀/月)，乙赚钱的平均速度为 石(万兀/月).因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数, 所以乙的经营成果比

9、甲的好.*-49ax4.9zk-3.3.当堂测查疑缺当 ax= 2 时，芈=4.9 %3.3= 13.1;ax当 ax= 1 时，半=4.93.3= 8.2;瓜当 ax= 0.1 时，?=4.9 %3.3=3.79;瓜当 ax= 0.01 时，孚=4.93.3= 3.349.ax3.3.(2)当|阖越来越小时，函数f(x)在区间1,1 + ax上的平均变化率逐渐变大，并接近于一呈重点、现规律1 .函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢.2 .求函数f(x)的平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量ay= f(x2)f(xi);(2)再计算自变量的改变量ax = x2-xi；(3)得平均变化率axf(x ) f(xi ).x2 xi1.如果质点m按规律s= 3 + t* 2运动，则在一小段时间2, 2.1中相应的平均速度是(a. 4 b. 4.1 c. 0.41 d. 3答案 b 一(3+ 2.12) (3+22 解析 v =x-= 4.1.0.12. 一物体的运动方程是s= 3+2t,则在2,2.1这段时间内的平均速度为 .答案 23.已知函数 h(x) = 4.9