(人教版数学)七年级竞赛专题讲解：第七讲物以类聚——话说同类项

1、精品资源第七讲物以类聚一一话说同类项俗话说“物以类聚，人以群分” .在数学中，我们把整式中那些含相同的字母、并且 相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类一一称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起一一称为合并同类项.整式的加减实质就是去括号合并同类项.整式的加减这一章涉及到许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是 解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：理解“三式”和“四数”的概念、熟悉“两种排列”、掌握三个法则.解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这样能使解题 过程大为简化.例题【例1】当x的取值范围为 时，式子4x+4 7x 13x+4的

2、值恒为一个常数，这个值是 .（北京市“迎春杯”竞赛题 ）思路点拨 去掉绝对值符号、合并同类项后，式子应不再含“x”的项，由此得出 x的取值范围.注：数学概念是容的基础.是数学推理和论证的基础.科学研究表明，概念的形成过程中，人们的心理活动经历着以下阶段：（1）辨别不同的事物；（2）抽象一类事物的共同属性；（3）用简洁的语言符号给概念下定义、定名称.在概念学习中，应注意以下策略：（1）关键字词理解的策略；（2）正、反例对比策略；（3）相似概念比较策略；（4）概念系统化策略.ba【例2】已知a+b =0,a #b,则化简b（a+1） +-（b+1）得（）.aba. 2a b. 2b c.十 2 d

3、. 一 2（江苏省竞赛题）思路点拨由已知条件可推得多个关系式，这是解本例的关键.31,-1【例3】 已知x=2, y=- 4时，代数式ax +- by +5 =1997 ,求当x = -4, y =-时，代数式3ax - 24by3 +4986的值.思路点拨一般的想法是先求出 a, b的值，这是不可能的（为什么？）解本例的关键是： 将给定的x、y值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代人求值.【例4】已知关于；的二次多项式 a（x3 -x2 +3x） +b（2x2 +x） +x3 5,当x=2时的值为一 17,求当x=-2时，该多项式的值.（“希望杯”邀请赛培训题）思路点拨

4、 设法求出a, b的值，解题的突破口是根据多项式降哥排列、多项式次数等 概念挖掘隐含的关于 a, b的等式.【例4】（1）已知：5 i （x+9y）（x , y为整数），求证：5 i （8x十7y）.（2）试证：每个大于6的自然数n都可表示为两个大于 1且互质的自然数之和.（全国初中数学联赛试题）思路点拨 （1）尝试把8x+7y写成x+9y的倍数与5的倍数的代数和的形式，（2）逆用整式 的加减，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互质，注意分类讨论.注：解代数式化简求值问题的基本方法有：将字母的值代入或字母间的关系整体代入等.关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的

5、结构，是变形求简的一种常用工具.“回到定义中去”，这是美国著名数学家玻利亚称为的一种解题方法，在解题遇到困难 的时候，请记住“回到定义中去”这个重要的思考提示.欲证明一个多项式能被某数整除，常需对该多项式进行适当的变换，或对字母进行代换， 充分利用巳知条件及整除的有关性质解决问题.数学中有许多可以类比的对象，如数与式，整数与整式.教学中的许多结论就是通过类比得到的，同时类比也是学习数学中的一种有效方法.学力训练1,已知2axbn与3a2b2m是同类项，那么（2m n）x=（江苏省竞赛题）2.已知代数式（2x2+ax-y+6） （2bx2-3x+5y-1）.当a=, b=时，此代数式的值与字母x

6、的取值无关；（2）在（1）的条件下，多项式 3（a2-2ab-b2）（4a2+ab+b2）的值为_43_2._3_2 一 3,已知 a=1999,则 3a -2a +4a13a -3a +3a2001 =4 .已知当x=- 2时，代数式ax3 +bx +1的值为6,那么当x=2时，代数式ax3 +bx +1的值是.（安徽省中考题）5 .火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别为 x、y、z的箱子按如图的 方式打包，则打包带的长至少为（）.a. 4x+4y+10z b. x+2y+3z c.2x+4y+6z d. 6x+8y+6z（太原节中考题）6 .同时都含有字母 a、b、c,且系

7、数为1的7次单项式共有（）.a . 4 个 b. 12 个c. 15 个 d. 25 个（北东市竞赛题）7 .有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：则代数式a - a+b+c-a+|b-c化简后的结果是（）.a. 2 一 a b. 2a- 2b c. 2c ad. a8 .已知m+2n =25,那么 5（m-2n）2 +6n3m 60的值为（）.a. 80s. 10 c. 210 d. 409 .把一个正方体的六个面分别标上字母a、b、c、d、e、f并展开如图所示，已知：_2_ 22-21a=x 4xy+3y , c =3x 2xy y , b=b（ca） , e = b2c,若正万体相对的

8、两个面上的多项式的和都相等，求d、f.10 .已知单项式0.25xbyc与单项式0.125xmy2j的和为0.625xnym,求abc的值.11 .对于整式6x5+5x4+4x3+3x2+2x+2002,给定x的一个数值后，如果小颖按四则运算的规 则计算该整式的值，需算15次乘法和5次加法.小明说：“有另外一种算法，只要适当添加括号，可以做到加法次数不变，而乘法只算5次” .小明同学的说法是 的.（填“对”或“错”）（“希望杯”邀请赛试题）12 .若 a b =2,bc = 3,cd =5,则（a c）（b d）+（a d） =.13 .当x = 2时，代数式ax3 bx+1的值等于一 17,

9、那么当x=- 1时，代数式12ax3bx35 的值等于 .（北京市“迎春杯”竞赛题 ）14 .将1, 2, 3,，100这100个自然数，任意分为 50组，每组两个数，现将每组的两 一1 .个数中任一数值记作 a,另一个记作 b,代入代数式 一（a-b + a+b）中进行计算，求出其2结果，50组数代人后可求得 50个值，则这50个值的和的最大值是 .15 .计算 1+2 3 4+5+6 - 7 - 8+9+1011 12+1993+1994 1995 一1996+1997+1998 19992000,最后结果是（）.a. 0 b. 1 c. 1999 d. 200016 .已知 a 0 ,则

10、 a b+a+b + ab 等于（）.a. 2a+2b+ab b. 一 ab c. 一 2a 2b+ab d. 一 2a+ab17.已知代数式253x (ax bx cx)4 t2x dx当x = l时，值为l,那么该代数式当x = - l时的值是（）a. 1 b. l c. 0 d. 2（“希望杯”邀请赛试题）18 .如果对于某一特定范围内 x的任意允许值p=|12x + 13x +|1-9x + 1 10x 的值恒为一常数，则此值为（a. 2 b. 3（安徽省竞赛题）19 . （1）已知a、b为整数，且)c. 4 d. 5n=l0a+b,如果17 | a - 5b,请你证明:17 n.（2

11、）已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数.证明：这个三位数也是11的倍数.20.在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc（a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字）,并请这个人算出 5个数acb、bac、bca、cab与cba的和n,把n告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc.现在设n=3194 ,请你当魔术师，求出数 abc而来.21. x、v、z 均为整数，且 11 i 7x+2y 5z,求证：1l | 3x-7y 十 12z.（北东市竞赛题）22计算多项式ax3 +bx2 +cx+d的值时有以下3种算法，分别统计 3种算法中

12、的乘法次 数.直接计算：ax3 +bx2+cx+d时共有3十2+l = 6（次）乘法；利用已有哥运算结果：x3 =x2 x ,计算ax3 +bx2 +cx+d时共有2+2+1= 5（次）乘法；逐项迭代：ax3+bx2+cx + d = ax+b）x+ ck + d ,其中等式右端运算中含有3次乘法.请问：（1）分别使用以上3种算法，统计算式aox10 +a1x9 +a2x8+agx+ao中乘法的次数，并比较 3种算法的优劣.（2）对 n次多项式 a0xn+a1xn + a2xn/ + +an/x + an （其中 a0 ,a1,a2,，an为系数，n1）,分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数

13、，并比较3种算法的优劣.欢迎下载参考答案物以类k话说同类项【例国求解】例i,1提示上的系数之而为年,须使且143上五。囹2选力 提示，由已知肉心=等=1。-40. 0 o例3 1998 提示由已知将4a-b*=g96.特求式=一*轴&+498轧例4 -1 提示：匏理原先项式得2+。工+ (幼一 + 4 -sjj -11x+210. 12 提示；由题意林 &=e -i = n.r = ek】 = e.o.823n =。一2$41一0.】35k11,对 12, 一十 13. 22i* 3775提示:不妨设w原式=o,由比知每用bt的南个数代人代数式运算后的结聚为两个数中较大的一个,从展体考患， 只要称51,53531,，100这5*个效俵次性人看一第中.便可他5白个值的相加最尢佰15, d i叽di九b1第b 提示内+3+，9+1。=34