(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.2平面向量的基本定理及坐标表示习题理

1、5.2 平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 入1,入2,使.我们把不共线的向量 ei, e2叫做表示这一 平面内所有向量的一组 2向量的夹角(1)已知两个 向量a和b,作oa= a, ob= b,则/ ao屋0叫做向量a与b的夹角 ( 如图 ) (2)向量夹角 0的范围是. a与b同向时，夹角 0=； a与b反向时，夹角 0 =(3) 如 果 向 量 a 与 b 的 夹 角 是 ， 我 们 就 说 a 与 b 垂 直 ， 记 作3.平面向量的正交分解及坐标表不(1)平面向量的正交分解把一个

2、向量分解为两个 的向量，叫做向量的正交分解.(2)在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j作为基底.任作一个向量 a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x, y,使得a=xi +yj .则实数对 叫做向量a的(直角)坐标，记作 a =,其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示.与 a相等的向量的坐标也为. 显然，i =, j =, 0 =.4.平面向量的坐标运算(1)已知 a=(xi, yi), b=(x2, y2), 则 ab=.(2)如果 a(xi, yi), b(x2, y2),则晶=.(3)若 a=(x, y),则 x

3、 a =.(4)如果 a = (xi , yi) , b = (x2 , y2)( bw0),则 all b 的充要条件是x5.线段的分点坐标设点p是线段pip2上的一点，且pi(xi, yi), 一，. 一,，.p2(x2, y2), f(x, y).xi +入 x2 yi + 入 y2i+入i+入特别地：当入=i时，点p为线段rp2的中点，其坐标为xi + x2p2,yi + y22当pip=xpp2寸，点p的坐标(x, y)=g(x,y)为4abc的重心，若a(xi,yi),rx2,c(x3,y3),则ab中点d的坐标xi+x2 yi +y27xi +x2+x3为 ，匚2工.再由cg=

4、2gd我们便得到了三角形的重心坐标g(-,333yi + y2 + y33) .自查自纠1. a =入iei +入2e2 基底2. (i)非零 (2)0 & e wi800i80(3)90 ab3. (i)互相垂直 (2)( x, y)(x, y)(x, y)(i ,0) (0 , i) (0, 0)4. (i)( xix2, yiy2)(2)( x2 xi, y2 yi)(3)(入x,入 y)(4) xiy2-x2yi = 02 / i813 / 18c (1， 4)1) =(-7, -4).故选 a.(2015 全国i )已知点a(0 , 1),日3 , 2),向量ac= (4, 3),则

5、向量 bc=(b (7 ， 4)a （ 7 ， 4）d (1 ， 4)解：ab= (3 , 1) , bo=acab= ( -4, 3)(3,如果ei, e2是平面a内所有向量的一组基底，那么以下表述正确的是 （）a.若实数入i,入2使入e +入2e2= 0,则入1=入2 = 0b.空间任一向量 a可以表不为a=入iei+入2e2,这里 入i,入2是实数c.对实数 入1,入2,入入2e2不一定在平面 “内d.对平面a内的任一向量a,使a=入+入2e2的实数 入i,入2有无数对 解：依平面向量基本定理，选项 b, c, d都错，只有a的表述是正确的，故选 a.(2013 陕西)已知向量 a=(1

6、 , m), b= (m 2),若all b,则实数 m等于()d. 0c. - v2或/b+a. -v2解：由 a/b 知 1x2 m2=0, .m 爽.故选 c(2015 t工防)已知向量a=(2, 1), b=(1 , - 2),若 ma+ nb= (9 , - 8)( m n c r),则 m- n 的值为.2m n = 9,m= 2,解：因为 ma+nb=(2m+ n, m-2n) = (9, 8),所以解得故m- 2n= 8, n = 5,m- n = 3.故填3.已知向量 a= (。3, 1) , b= (0 ,1), c= (k,小).若 a 2b 与 c 共线，贝u k=.

7、解：因为 a-2b= (3, 1) -2(0 , 1) = (。3, 3)与 c=(k,5)共线，cwo,所以 3x3-3k=0,解得 k=1.故填 1.平面内给定三个向量类型一向量共线充要条件的坐标表示a=(3 , 2),b= (-1, 2), c=(4, 1).(1)求满足a=nb + nc的实数 n；(2)若(a+ kc) / (2 b-a),求实数 k 的值；(3)若nwo,且na +nb与a2b共线，求m勺值.n解：（1）由题意得（3 ,2)=m(-1,所以m 4n=3, 2m n = 2,2) + n(4, 1), 5m= 6解得8n=6(2) a+kc=(3 +4k,2+k) ,

8、 2b-a=(-5, 2),由题意得 2x(3+4k)( 5)x(2+k)=0,解得 k= ；6. 13 ma+nb=(3m- n, 2m2n) , a2b=(5, 2),一.r-m1由题息信一2(3 rn n) 5(2 rn-l- 2n) = 0,解信 n= - 2【点拨】 解决此类题目，我们只需要牢记：(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式： 若 a=(xi,yi), b=(x2,、斗，则 a /b(bw0)的充要条件是xiy2 x2yi = 0 ；a/b(aw0),当且仅当唯个实数 入，使b=入a.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时

9、，也可以利用坐标对应成比例来求解.1已知向量 a= 8, 2x , b=(x,1),其中 x0,若(a 2b) /(2a+b),则 x 的值为1解：a-2b= 8 2x, 2x 2 , 2a + b=(16+x, x+1)所以存在唯一的实数入(2)已知向量 oa= (1 , 3), ob= (2, -1)解：若点a, b, c不能构成三角形，一一 1 一 一- -3) = (1 , 2), ac=oc-oa= (k+ 1因为(a2b)/(2 a+b),显然 2a+bw0, 1使得 8 2x, 2x-2 =入(16+x, x+1),8-2x=入(16+ x),1解得 x = 4(x0).2x-2

10、=入(x+1),故填4.oc= (k+1, k-2),若 a, b, c三点不能构成三角形，则实数 k=一.， 一- 则向量 ab a 或线.ab=ob-oa= (2, 1)(1,- - -k2) (1, -3) =(k, k+1). ab/ac ao0, -1x(k+1)-2k=0,解得 k=1.故填 1类型二平面向量基本定理及其应用(1)设ei, e2是相互垂直的单位向量，ei绕起点沿逆时针方向旋转90。到e2.设向量v的模|v| = r, ei绕原点旋转到 v的方向所成的角为 ”.则v在基底ei, e2下的坐标为 .解：如图示，在平面上建立直角坐标系，o是原点，ei, e2的方向分别为x

11、轴，y轴正方向，ei, &的模为单位长.设v= op则v的坐标就是点p 的坐标(x, y).|op = r, a =/xop 当 r 0 时，由xy7三角函数定义知cosa=l, sin a=-，从而 x= rcos a , y= r sin a.v = oip= (rcosa,r /r /,rsin a ),当r = 0时显然也成立.故填(2)在平行四边形 abc珅，e, f分别是bc, cd的中点，de交af于h,记ab b汾别为 a, b,则ah=()24b. a + b5524d. r 二 b5524a. 7a -tb5524c. - -a+-b55解：设 ah=入 af, dh= d

12、e1而 dh=daah= b+ 入 af b+入 b+-a ,=dee=a-2b .dh11因此，a2b = b+ 入 b+2a .由于a, b不共线，因此由平面向量的基本定理有42尸5.1入=5， 解之得一.24,故aiai b+2a =5a+5b.故选 b【点拨】平面上任意一个向量 v可分解为不共线向量 e1, e2的线性组合：v = xe1 + ye2,若向量u= aedb/与v = xe + ye2相等，则对应系数相等，即a=x且b=y, 一个平 面向量方程相当于两个普通方程.若e1, e2是平面内的一组基底，则对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数 入1,入2使a=入巧+ za,简

13、单地说，就是平面内任一向量均 可由该平面内的两个不共线向量线性表示，且表示方式惟一. 特别地，当a=0即 入1a +入2e2 = 0时，必有入1=入2 = 0.此题利用的是“基底方式”，即用a, b作为基底，选择 两个参数 人，,然后将同一向量dh作两种表示，由平面向量基本定理知系数对应相等，即可得关于 入，的方程组.应注意这种题型及相应的解法，它在近几年各地模拟题中频繁出现.| b| =2,贝ucd=()12a. a+ b3334c. a b55解法一：因为cd平分/ acb由角平分线定理, 在 abc中，点d在边ab上，cd平分/acb若显 a, ca= b, |a| = 1,21b.a

14、+ b3 34 3d. a + -b55得ad=能株=2,所以ab= 2限db bc |a|匕 2f2m &2m121所以 c氏 c什 ad= cn ab= caf-(cb- ca = %c抖-ca= -a+b. 333333解法二：(特殊值法)构造直角三角形，令cb= 1, ca= 2, ab= g 则/dcb= 30 ,所以 bd=甲.故bd= 1ba cb=cb+ba+；(ba)=2a+；b.故选 b. 33333（2）（ 2013 北京）向量a, b, c在正方形网格中的位置如图所示.若c= x a +,，_db （入，（1 f）,则=解：设i , j分别为水平向右和竖直向上的单位向量

15、，则 a= i +j , b=6i +2j , c=入=-2,1 所以一=4.故填 (1 = 1 2.w4.i 3j,所以一i 3j=x(i+j)+(i(6i+2j),即一i 3j=(一入 + 6(i)i+(入 +1 =入 + 6口，2)j ,根据平面向量基本定理得解得- 3=入+ 2,类型三求向量的坐标设向量 a= (1 , 3) , b= ( -2,4) , c=( 1, 2),若表示向量4a, 4b2c, 2( a-c) , d的有向线段首尾相接能构成四 边形，则向量为()b. (2, 6)a. (2, 6)d. (2, -6)c. (2, -6)解：设 d=(x, y).因为 4a=

16、(4, 12), 4b-2c=( -6, 20), 2(ac)=(4, 2), 依题意，有 4a+(4b 2c) +2(a-c) + d = 0,解得 x= 2, y=- 6.故选 d【点拨】 将三角形法则推广后，便可得：在如图所示的n边形aa1a中，有a0a1+a1a4 a2a讣 + an-1ae a0an, a0a什 a1a2+ a2a* + an-1a叶 ana0= 0.已知o为坐标原点，点 c是线段 ab上一点，且a：1, 1), q2 , 3), |bc = 2| ac,则向量ob勺坐标是 ., 一 , 一一 一一一 _ . . 一 _、一 解：由点c是线段ab上一点，|bc=2|a

17、c,得bc= 2ac设点b为(x, y),则(2 2 x = 2,x = 4,一x, 3-y) =-2(1 ,2),即解得所以向量ob勺坐标是(4, 7).故填3-y=-4,y = 7,(4, 7).1 对平面向量基本定理的理解(1) 平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础(2) 平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a=入iei+入2e2(入1,入2c(3) e1， e2 为同一平面内不共线的两个向量) 的形式 ， 它是向量线性运算知识的延伸(4)如果ei,

18、&是同一平面内的一组基底，且 入心+入2e2=0(入1,入2cr),那么 入i=入 2= 0.2 对两向量夹角的理解两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角若起点不同，则应通过平移，使其起点相同3向量的坐标表示向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标两个向量相等，当且仅当其坐标相同1.下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是a. a= (12), b=(0, 0)b. a= (1 2), b=(3,

19、5)c. a= (33d a= 4，2), b=(912 , b=(36)-2)解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底.故选b.2 . (2013 辽宁)已知点a(1 , 3), b(4 , 1),则与向量ab司方向的单位向量为b.d.435，一54 35, 53a. 5,c.4 一53 45, 5解:ab= (3, -4), | ab|=5ab|ab|a.3. (2015 沈阳检测)已知在？abcdk ad= (2, 8), ab= (3, 4),对角线ac与bd16 /18相交于点m则a阵（b.1 一2，61d. 2, 61a. 一2,1c. 2,解：因为在？abc

20、d中，ac=ab+ah 芥 2ac,所以am= 2( ab+ad)=2x( -11212)=6 .故选b.4. （2015 江西检测）已知向量 a=（ 1,2) , b= (3 , m) , mc r,则“m= - 6“a/ ( a+ b)”的(a.充要条件b.充分不必要条件c.必要不充分条件d.既不充分也不必要条件1解：由题息住f a+ b= (2 , 2 + m).由 rn= - 6 付 a + b= (2 , 4) = 2a,所以 a / ( a+b)；由 a/ (a+b)得一1x(2 + m) =2x 2,所以 m= 6.故m= 6 是a/ (a+b)” 的充 要条件.故选a5 .在平

21、面直角坐标系 xoy中，已知a(1 , 0), b(0, 1), c为坐标平面内第一象限内一点，/ aoo。，且|oc=2,若o0入热科丽则入+=()d. 4 2c. 2b. 2 a. 2 2解：因为 | oc=2, z aoc=-4,所以 q42,42),又oc=入 oa。o区 所以(、/2,22.)=入(1, 0)+! (0, 1)=(入，),所以入= (! = 2 ,入 + ! = 2/2.故选 a6 . (2015 山西联考)在abck 点d在线段bc的延长线上，且bc= 32 点o在线段cd (与点c, d不重合)，若ao= x丽(1 -x) ac则x的取值范围是()11b. 0,

22、3a. 0, 211d. 30c. 20解：依题意，设bo=入的 其中1入am入(ac3-一-_ ，一.ab) = (1 入)ab+ 入 ac 又 ao= xab+ (1 x) ac,且 ab, act共线,于是有 x = 1 11入c 0 , ip x的取值范围是 一% 0 .故选d.337 .已知向量 a= (1 , 2), b= (x, 1) , u=a+2b, v = 2a-b,且 u/ v,则实数 x 的值为解：u= (1 , 2) +2(x, 1)=(2x+1, 4), v=2(1 , 2) - (x, 1)=(2 x, 3).因为-r-1 1u/v, vwo,所以 3(2x+1)

23、 4(2 x) =0,即 10x=5,解得 x = 5.故填8.设向量 a= (a1, a2),1 支f 2, 2 , n=0 ,b=(b, b2),定义一种向量积 a名)b=(a1b, a2b2),已知向量点rx, y)在y= sin x的图象上运动.q是函数y = f(x)图象上的点，且满足o容n)of n(其中o为坐标原点)，则函数y = f(x)的值域是 1兀解：设qc ,d),由新的运算可得 oq=m0op+ n =2x,-sinx+ , 0 =23汽2x+,31 .sinx ,汽c=2x+ ,311n消去 x 得 d = in、c t .1226d=2sinx ,11n1 11 1

24、 -y=f(x) =2sin 2x-,易知 y=f(x)的值域是 金 2 .故填 一力 2 .9.已知向量 a= (1 , 0), b = (2 , 1).(1)当实数k为何值时，kab与a+2b共线？(2)若ab= 2a+3b, bc= a+mb且a, b, c三点共线，求实数 m的值.解：(1) ka-b=k(1 , 0) (2, 1) = (k-2, 1), a+2b = (1 , 0) +2(2 , 1) = (5 , 2). kab与 a+2b共线，. 2(k-2) -( -1) x5= 0,rl1即 2k 4+5=0,得 k=-2.(2)解法一：b, c三点共线,存在实数入使得ab=入bc 即2a+3b=入(a+nfe),2=入，3= m入,解得m= 2.解法二：ab= 2a+3b= 2(1 , 0)+3(2, 1)=(8, 3),= a+mb=(1, 0) + m(2, 1) = (2m 1, m). bc.a, b, c三点共线，一一 一 一一.ab/bc 又 bcw 0, ，8m- 3(2 m 1) =0,rm 3即 2m- 3= 0,得 m= 2.10.已知点 q0, 0) , a(1 , 2),